Введение
Математическое описание в кристаллографии В физике конденсированной материи и кристаллографии статический фактор структуры (или коротко фактор структуры) - это математическое описание того, как материал рассеивает падающее излучение. Фактор структуры является важнейшим инструментом в интерпретации моделей рассеяния (интерференционных моделей), полученных в рентгеновских, электронных и нейтронных дифракционных экспериментах. Вызывает путаницу то, что используются два различных математических выражения, оба называются "структурным фактором". Одно из них обычно пишется как; это более общее значение, и связывает наблюдаемую дифракционную интенсивность на атом с интенсивностью, производимой единицей рассеяния. Другой обычно записывается или и действителен только для систем с длинным диапазоном позиционного порядка кристаллов. Это выражение соотносит амплитуду и фазу луча, дифрактируемого плоскостями кристалла (это индексы Миллера плоскостей), с той, которая производится единицей рассеяния на вершинах примитивной единичной ячейки. не является особым случаем ; дает интенсивность рассеяния, но дает амплитуду. Это модуль квадрата, который дает интенсивность рассеяния. определяется для идеального кристалла и используется в кристаллографии, в то время как наиболее полезна для беспорядочных систем. Для частично упорядоченных систем, таких как кристаллические полимеры, очевидно, есть перекрытие, и эксперты будут переключаться от одного выражения к другому по мере необходимости. Коэффициент статической структуры измеряется без разрешения энергии рассеянных фотонов/электронов/нейтронов. Измерения с энергетическим разрешением дают коэффициент динамической структуры.
In condensed matter physics and crystallography, the static structure factor (or structure factor for short) is a mathematical description of how a material scatters incident radiation. The structure factor is a critical tool in the interpretation of scattering patterns (interference patterns) obtained in X ray, electron and neutron diffraction experiments. Confusingly, there are two different mathematical expressions in use, both called 'structure factor'. One is usually written ; it is more generally valid, and relates the observed diffracted intensity per atom to that produced by a single scattering unit. The other is usually written or and is only valid for systems with long range positional order — crystals. This expression relates the amplitude and phase of the beam diffracted by the planes of the crystal ( are the Miller indices of the planes) to that produced by a single scattering unit at the vertices of the primitive unit cell. is not a special case of ; gives the scattering intensity, but gives the amplitude. It is the modulus squared that gives the scattering intensity. is defined for a perfect crystal, and is used in crystallography, while is most useful for disordered systems. For partially ordered systems such as crystalline polymers there is obviously overlap, and experts will switch from one expression to the other as needed. The static structure factor is measured without resolving the energy of scattered photons/electrons/neutrons. Energy resolved measurements yield the dynamic structure factor.
Кристальная структура цинкбленды
Структура цинк-бленды похожа на структуру алмаза, за исключением того, что она представляет собой соединение двух различных взаимно проникающих решётков fcc, а не одного и того же элемента. Обозначая два элемента в соединении и , полученный коэффициент структуры
Идеальные кристаллы в одном и двух измерениях
Реципрочная решетка легко построена в одном измерении: для частиц на прямой с периодом , решетка является бесконечным массивом точек с расстоянием. В двух измерениях существует только пять решеток Брэва. Соответствующие взаимные решетки имеют ту же симметрию, что и прямые решетки. 2D решетки отлично подходят для демонстрации простой дифракционной геометрии на плоском экране, как показано ниже. Уравнения (1) 7) для структурного фактора применяются с вектором рассеяния ограниченной размерности, и кристаллографический структурный фактор может быть определен в 2D как Однако, напомним, что реальные 2D кристаллы, такие как графен, существуют в 3D. Взаимная решетка 2D шестиугольного листа, которая существует в 3D пространстве в плоскости, представляет собой шестиугольный массив линий, параллельных оси, которые простираются и пересекают любую плоскость константы в шестиугольном массиве точек. На рисунке показана конструкция одного вектора 2D-реципрочной решетки и ее отношение к эксперименту рассеяния. Параллельный луч, с волновым вектором, падающим на квадратную решетку параметра Рассеянная волна обнаруживается под определенным углом, который определяет волновой вектор исходящего луча (при предположении эластичного рассеяния). Можно также определить вектор рассеивания и построить гармоническую модель В изображенном примере расстояние этой модели совпадает с расстоянием между рядами частиц: , так что вклад в рассеивание от всех частиц находится в фазе (конструктивная интерференция). Таким образом, общий сигнал в направлении силен и принадлежит к взаимной решетке. Легко показать, что эта конфигурация соответствует закону Брэгга.
However, recall that real 2 D crystals such as graphene exist in 3 D. The reciprocal lattice of a 2 D hexagonal sheet that exists in 3 D space in the plane is a hexagonal array of lines parallel to the or axis that extend to and intersect any plane of constant in a hexagonal array of points. The Figure shows the construction of one vector of a 2 D reciprocal lattice and its relation to a scattering experiment. A parallel beam, with wave vector is incident on a square lattice of parameter The scattered wave is detected at a certain angle, which defines the wave vector of the outgoing beam, (under the assumption of elastic scattering, ). One can equally define the scattering vector and construct the harmonic pattern In the depicted example, the spacing of this pattern coincides to the distance between particle rows: , so that contributions to the scattering from all particles are in phase (constructive interference). Thus, the total signal in direction is strong, and belongs to the reciprocal lattice. It is easily shown that this configuration fulfills Bragg's law.
Несовершенные кристаллы
Технически, идеальный кристалл должен быть бесконечным, так что конечный размер - это несовершенство. Настоящие кристаллы всегда демонстрируют несовершенство своего порядка, помимо их конечного размера, и эти несовершенства могут оказать глубокое влияние на свойства материала. Андре Гиньер предложил широко применяемое различие между несовершенствами, которые сохраняют длительный порядок кристалла, который он назвал беспорядком первого типа, и теми, которые разрушают его, называемым беспорядком второго типа. Примером первого является тепловая вибрация; пример второго - некоторая плотность дислокаций. Для включения в состав составляющую любого несовершенства можно использовать общепринятый фактор структуры. В кристаллографии эти эффекты рассматриваются как отдельные от структурного фактора, поэтому отдельные факторы для размера или термических эффектов вводятся в выражения для рассеянной интенсивности, оставляя совершенный фактор структуры кристалла без изменений. Поэтому подробное описание этих факторов в моделировании кристаллографической структуры и определении структуры дифракцией не уместно в этой статье.
Эффекты конечного размера
Для конечного кристалла означает, что суммы в уравнениях 17 теперь превышают конечный эффект наиболее легко продемонстрировано с помощью 1D решетки точек. Сумма фазовых факторов представляет собой геометрический ряд, а структурный фактор становится: Эта функция показана на рисунке для различных значений Когда рассеяние от каждой частицы находится в фазе, то есть когда рассеяние находится в взаимной точке решетки, сумма амплитуд должна быть и, таким образом, максимумы в интенсивности. В средней точке (по прямой оценке) ширина пика уменьшается, как в большом пределе, пики становятся бесконечно острыми дельта-функциями Дирака, взаимной решеткой идеальной 1D решетки. В кристаллографии, когда используется, является большим, и формальный эффект размера на дифракцию принимается как , что то же самое, что и выражение для выше близких к взаимным точкам решетки, Используя свёртывание, мы можем описать конечную реальную кристаллическую структуру как [решетки] [базис] прямоугольная функция, где прямоугольная функция имеет значение 1 внутри кристалла и 0 за его пределами. Тогда [кристаллическая структура] = [решетка] [основа] [прямоугольная функция]; то есть, рассеивание [обратная решетка] [фактор структуры] [синк функция]. Таким образом, интенсивность, которая является дельта-функцией положения для идеального кристалла, становится функцией вокруг каждой точки с максимальной шириной области.
This function is shown in the Figure for different values of When the scattering from every particle is in phase, which is when the scattering is at a reciprocal lattice point , the sum of the amplitudes must be and so the maxima in intensity are Taking the above expression for and estimating the limit using, for instance, L'Hôpital's rule) shows that as seen in the Figure. At the midpoint (by direct evaluation) and the peak width decreases like In the large limit, the peaks become infinitely sharp Dirac delta functions, the reciprocal lattice of the perfect 1 D lattice. In crystallography when is used, is large, and the formal size effect on diffraction is taken as , which is the same as the expression for above near to the reciprocal lattice points, Using convolution, we can describe the finite real crystal structure as [lattice] [basis] rectangular function, where the rectangular function has a value 1 inside the crystal and 0 outside it. Then [crystal structure] = [lattice] [basis] [rectangular function]; that is, scattering [reciprocal lattice] [structure factor] [ sinc function]. Thus the intensity, which is a delta function of position for the perfect crystal, becomes a function around every point with a maximum , a width , area .
Идеальный газ
В предельном случае отсутствия взаимодействия система является идеальным газом, а фактор структуры полностью лишен признаков: , потому что нет корреляции между положениями и различных частиц (они являются независимыми случайными переменными), поэтому вне диагональных членов уравнения в среднем до нуля: .
Высокий предел
Даже для взаимодействующих частиц, при высоком векторе рассеяния коэффициент структуры становится 1. Этот результат следует из уравнения , поскольку является преобразованием Фурье "регулярной" функции и, таким образом, идет к нулю для высоких значений аргумента. Это рассуждение не имеет значения для идеального кристалла, где функция распределения демонстрирует бесконечно острые пики.
Жидкости с твердой сферой
В модели твердой сферы частицы описываются как непроницаемые сферы с радиусом; таким образом, их центр к центру расстояние и они не испытывают никакого взаимодействия за пределами этого расстояния. Их потенциал взаимодействия может быть записан как: Эта модель имеет аналитическое решение в приближении Percus Yevick. Хотя она очень упрощена, она дает хорошее описание систем, начиная от жидких металлов и заканчивая коллоидными суспензиями. На рисунке показана иллюстрация структурного фактора для твердой сферической жидкости для объемных долей от 1% до 40%.
This model has an analytical solution in the Percus–Yevick approximation. Although highly simplified, it provides a good description for systems ranging from liquid metals to colloidal suspensions. In an illustration, the structure factor for a hard sphere fluid is shown in the Figure, for volume fractions from 1% to 40%.
Полимеры
В полимерных системах общее определение имеет значение; элементарными составляющими являются мономеры, составляющие цепочки. Однако, поскольку структурный фактор является мерой корреляции между положениями частиц, можно разумно ожидать, что эта корреляция будет различной для мономеров, принадлежащих к одной цепи или к различным цепям. Предположим, что объем содержит идентичные молекулы, каждая из которых состоит из мономеров, таких, что (также известна как степень полимеризации). Мы можем переписать как: где индексы маркируют различные молекулы и различные мономеры вдоль каждой молекулы. С правой стороны мы разделили внутримолекулярные и межмолекулярные термины. Используя эквивалентность цепей, можно упростить: где фактор структуры одной цепи.
where indices label the different molecules and the different monomers along each molecule. On the right hand side we separated intramolecular and intermolecular terms. Using the equivalence of the chains, can be simplified:
where is the single chain structure factor.