Введение

1929 математическая гипотеза В диофантическом приближении гипотеза Оппенгейма касается представления чисел реальными квадратными формами в нескольких переменных. Он был сформулирован в 1929 году Александром Оппенхаймом, а позже предполагаемое свойство было еще больше укреплено Гарольдом Давенпортом и Оппенхаймом. Первоначальные исследования по этой проблеме приняли число n переменных как большое и применили версию кругового метода Харди Литтлвуда. В окончательной работе Маргулиса, обосновавшей гипотезу в утвердительном свете, использовались методы, вытекающие из эргодической теории и изучения дискретных подгрупп полупростых групп Ли.

Обзор

Теорема Мейера утверждает, что неопределенная интегральная квадратная форма Q в n переменных, n ≥ 5, нетривиально представляет ноль, т. е. существует ненулевой вектор x с целочисленными компонентами, такие, что Q ((x) = 0. Предположение Оппенгейма можно рассматривать как аналог этого утверждения для форм Q, которые не являются кратными рациональной формы. В этом случае множество значений Q на целых векторах является плотным подмножеством реальной прямой.

История

Несколько версий гипотезы были сформулированы Оппенгейм и Гарольдом Давенпортом. Пусть Q является реальной недегенерированной неопределенной квадратной формой в n переменных. Предположим, что n ≥ 3 и Q не является кратным формы с рациональными коэффициентами. Тогда для любого ε > 0 существует ненулевой вектор x с целочисленными компонентами, таким, что Q (x) < ε. Для n ≥ 5 это было предположено Оппенгейм в 1929 году; более сильная версия была создана Давенпортом в 1946 году. Пусть Q и n имеют то же значение, что и раньше. Затем для любого ε > 0 существует ненулевой вектор x с целочисленными компонентами, таким, что 0 < Q < x, x < ε. Это было предположено Оппенгейм в 1953 году и доказано Бирчем, Давенпортом и Ридутом для n по крайней мере 21, а также Давенпортом и Хейлброном для диагональных форм в пяти переменных. Другие частичные результаты связаны с Оппенгеймом (для форм в четырех переменных, но под сильным ограничением, что форма представляет собой ноль над Z), Уотсон, Иванец, Бейкер Шликеви. Ранняя работа по аналитической теории чисел и теории редукции квадратных форм. Предположение было доказано в 1987 году Маргулисом в полной обобщенности с использованием методов эргодической теории. Геометрия действий некоторых однопотентных подгрупп ортогональной группы на однородном пространстве решётки в R3 играет решающую роль в этом подходе. Достаточно установить случай n = 3. Идея вывести гипотезу Оппенгейма из утверждения о гомогенных групповых действиях обычно приписывается М. С. Рагхунатан, который в 1970-х годах заметил, что гипотеза для n = 3 эквивалентна следующему свойству пространства решеток: Любая относительно компактная орбита SO ((2, 1) в SL ((3, R) / SL ((3, Z) компактна. Однако Маргулис позже заметил, что в неявной форме эта эквивалентность уже имела место в статье Кассельса и Х. П. Ф. Суиннертона Дайера 1955 года, хотя и на другом языке. Вскоре после прорыва Маргулиса доказательство было упрощено и обобщено Дани и Маргулисом. Качественные версии гипотезы Оппенгейма были позже доказаны Эскином-Маргулисом-Мозесом. Борел и Прасад установили некоторые арифметические аналоги S. Изучение свойств унипотентных и квази-нипотентных потоков на однородных пространствах остается активной областью исследований, с применением к дальнейшим вопросам в теории диофантового приближения.