Кіріспе
1929 жылғы математикалық болжам Диофантиандық шамалауда Оппенгейм болжамдары сандарды нақты квадраттық формалармен бірнеше айнымалыларда бейнелеуге қатысты. Оны 1929 жылы Александр Оппенхайм тұжырымдады, ал кейіннен болжамдық қасиетті Гарольд Давенпорт пен Оппенхайм одан әрі нығайтты. Бұл мәселені зерттеудің алғашқы кезеңінде n айнымалылардың саны үлкен деп есептелді және Харди Литтлвуд шеңберінің әдісін қолданды. Маргулистің нақты жұмысы, болжамды оңға шешіп, ергодикалық теориядан және жартылай қарапайым Lie топтарының дискретті кіші топтарын зерттеуден туындаған әдістерді қолданды.
In Diophantine approximation, the Oppenheim conjecture concerns representations of numbers by real quadratic forms in several variables. It was formulated in 1929 by Alexander Oppenheim and later the conjectured property was further strengthened by Harold Davenport and Oppenheim. Initial research on this problem took the number n of variables to be large, and applied a version of the Hardy Littlewood circle method. The definitive work of Margulis, settling the conjecture in the affirmative, used methods arising from ergodic theory and the study of discrete subgroups of semisimple Lie groups.
Шолу
Мейер теоремасы Q n айнымалыдағы, n ≥ 5 сандағы, анықталмаған интегралды квадраттық формасы нөлді білдіреді, яғни Q (((x) = 0 санды компоненттері бар нөлдік емес вектор x бар. Оппенгейм болжамын рационалды форманың көбейтіндісі емес Q формалары үшін осы мәлімдеменің аналогы ретінде қарастыруға болады. Бұл жағдайда Q мәндерінің жиынтығы бүтін сандық векторларда нақты түзудің тығыз субжиыны болып табылады.
Тарих
Бұл болжамның бірнеше нұсқасын Оппенхайм мен Гарольд Давенпорт ұсынған. Q n айнымалыдағы нақты, дегенерацияланбаған шексіз квадраттық формасын берсін. n ≥ 3 және Q рационалды коэффициенттері бар нысанның есесі емес деп есептеңіз. Содан кейін кез келген ε > 0 үшін Q ((x)) < ε деген бүтін компоненттері бар нөлдік емес вектор x бар. n ≥ 5 үшін бұл 1929 жылы Оппенхайм болжады; 1946 жылы Давенпорттың арқасында күшейтілген нұсқа. Q және n бұрынғы мағынада болсын. Содан кейін кез келген ε > 0 үшін 0 < Q {\\displaystyle {Q}{x,x}< ε деген бүтін компоненттері бар нөлдік емес вектор x бар. Бұл 1953 жылы Оппенхайммен болжалды және Бёрч, Давенпорт және Ридутпен n кем дегенде 21, Давенпорт және Хейлброннмен диагональды нысандар үшін бес айнымалыда дәлелденді. Басқа да жартылай нәтижелер Оппенгеймге (төрт айнымалыдағы нысандар үшін, бірақ нысанның Z үстіндегі нөлді білдіретін күшті шектеумен), Уотсонға, Иваницке, Бейкерге, Шликеуиге байланысты. Алғашқы еңбектері аналитикалық сандар теориясы және квадраттық формалардың қайтару теориясы. Бұл болжамды 1987 жылы Маргулис ергодикалық теория әдістерін қолдана отырып, толық жалпылаумен дәлелдеді. Бұл тәсілде R3 торларының біртекті кеңістігінде ортогональды топтың кейбір біртекті қосалқы топтарының әрекеті геометриясы шешуші рөл атқарады. n = 3 жағдайын анықтау жеткілікті. Оппенгейм болжамын гомогенді топтық әрекеттер туралы мәлімдемеден алу идеясы әдетте М. С. Рагхунатанға тиесілі, ол 1970 жылдары n = 3 үшін болжамы торлар кеңістігінің келесі қасиеттеріне тең екенін байқады: SL(3, R) / SL(3, Z) -дегі SO ((2, 1) -дің кез келген салыстырмалы түрде компактты орбитасы компактты. Алайда, Маргулис кейіннен бұл теңдіктің жасырын түрде 1955 жылы Кассельс пен Х. П. Ф. Суиннертон Дайердің басқа тілінде болса да, басқа тілінде пайда болғанын атап өтті. Маргулис ілгерілеуінен кейін көп ұзамай дәлелді Дани мен Маргулис қарапайым және жалпылады. Оппенгейм болжамының сапалық нұсқаларын кейіннен Эскин-Маргулис-Мозес дәлелдеді. Борел мен Прасад S арифметикалық аналогтарын анықтады. Біртекті кеңістіктердегі унипотентті және квазипотентті ағымдардың қасиеттерін зерттеу Диофанттық шамалау теориясындағы қосымша сұрақтарға арналған белсенді зерттеу саласы болып қала береді.
but under the strong restriction that the form represents zero over Z), Watson, Iwaniec, Baker–Schlickewey. Early work analytic number theory and reduction theory of quadratic forms. The conjecture was proved in 1987 by Margulis in complete generality using methods of ergodic theory. Geometry of actions of certain unipotent subgroups of the orthogonal group on the homogeneous space of the lattices in R3 plays a decisive role in this approach. It is sufficient to establish the case n = 3. The idea to derive the Oppenheim conjecture from a statement about homogeneous group actions is usually attributed to M. S. Raghunathan, who observed in the 1970s that the conjecture for n = 3 is equivalent to the following property of the space of lattices:
Any relatively compact orbit of SO(2, 1) in SL(3, R)/SL(3, Z) is compact. However, Margulis later remarked that in an implicit form this equivalence occurred already in a 1955 paper of Cassels and H. P. F. Swinnerton Dyer, albeit in a different language. Shortly after Margulis's breakthrough, the proof was simplified and generalized by Dani and Margulis. Qualitative versions of the Oppenheim conjecture were later proved by Eskin–Margulis–Mozes. Borel and Prasad established some S arithmetic analogues. The study of the properties of unipotent and quasiunipotent flows on homogeneous spaces remains an active area of research, with applications to further questions in the theory of Diophantine approximation.