Введение
Процесс контакта - это стохастический процесс, используемый для моделирования роста населения на наборе участков графика, в котором занятые участки становятся пустыми с постоянной скоростью, в то время как пустые участки становятся занятыми со скоростью, пропорциональной количеству занятых соседних участков. Поэтому, если мы обозначаем постоянной пропорциональности, каждое место остается занятым в течение случайного периода времени, который экспоненциально распределен параметром 1 и помещает потомков на каждом свободном соседнем месте во время событий параметра процесса Пуассона в течение этого периода. Все процессы независимы друг от друга и случайный период времени остается занятым. Процесс контакта также может быть истолкован как модель распространения инфекции, рассматривая частицы как бактерию, распространяющуюся на людей, которые расположены в местах, где есть инфекция, занятые места соответствуют инфицированным людям, в то время как свободные соответствуют здоровым. Основная величина, представляющая интерес, - это количество частиц в процессе, скажем, в первой интерпретации, которое соответствует количеству инфицированных участков во второй. Поэтому процесс продолжается, когда количество частиц всегда положительное, что соответствует тому, что во втором всегда есть инфицированные особи. Для любого бесконечного графа существует положительное и конечное критическое значение, так что если тогда выживание процесса, начинающегося с конечного числа частиц, происходит с положительной вероятностью, тогда как если их исчезновение почти наверняка. Обратите внимание, что по reductio ad absurdum и теореме о бесконечной обезьяне выживание процесса эквивалентно , как , тогда как вымирание эквивалентно , как , и поэтому естественно спрашивать о скорости, с которой когда процесс выживает.
thinking of particles as a bacterium spreading over individuals that are positioned at the sites of , occupied sites correspond to infected individuals, whereas vacant correspond to healthy ones. The main quantity of interest is the number of particles in the process, say , in the first interpretation, which corresponds to the number of infected sites in the second one. Therefore, the process survives whenever the number of particles is positive for all times, which corresponds to the case that there are always infected individuals in the second one. For any infinite graph there exists a positive and finite critical value so that if then survival of the process starting from a finite number of particles occurs with positive probability, while if their extinction is almost certain. Note that by reductio ad absurdum and the infinite monkey theorem, survival of the process is equivalent to , as , whereas extinction is equivalent to , as , and therefore, it is natural to ask about the rate at which when the process survives.
Связь с просачиванием
Контактный процесс является стохастическим процессом, который тесно связан с теорией просачивания. Тед Харрис (1974) отметил, что процесс контакта, когда инфекции и выздоровление могут происходить только в дискретные времена, соответствует одному шагу по проникновению временной связи на графике, полученном путем ориентирования каждого края в направлении увеличения значения координат.
Закон больших чисел на целых числах
Закон больших чисел для числа частиц в процессе на целых числах неформально означает, что для всех больших , приблизительно равен для некоторых положительных постоянных Харрис (1974) доказал, что, если процесс выживает, то скорость роста в наибольшей степени и по крайней мере линейная во времени. Слабый закон больших чисел (что процесс сходится в вероятности) был показан Дюрретом (1980). Несколько лет спустя Дюррет и Гриффит (1983) улучшили это до сильного закона больших чисел, давая почти уверенную конвергенцию процесса.
Умирают в критическом состоянии
Для контактного процесса на всех целых решетках большой прорыв произошел в 1990 году, когда Безуйденхаут и Гриммет показали, что контактный процесс также почти наверняка заканчивается при критическом значении.
Гипотеза Дюрретта и центральная предельная теорема
Дюррет высказал предположения в обзорных работах и заметках с лекций в 1980-х и начале 1990-х годов относительно центральной предельной теоремы для контактного процесса Харриса, а именно: что, если процесс выживает, то для всех больших , равняется и ошибка равна умножению на (случайную) ошибку, распределенную в соответствии со стандартным гауссовым распределением. Предположение Дюрретта оказалось правильным для другого значения, как было доказано в 2018 году.