Распределение Максвелла-Больцмана: энергия и скорости частиц

Введение

Специфическая функция распределения вероятностей, важная в физике энергетических уровней и скоростей частиц.

В физике (в частности, в статистической механике) распределение Максвелла — Больцмана, или распределение Максвелла, является частным случаем функции распределения вероятностей, названной в честь Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана. Оно было впервые определено и использовано для описания распределения скоростей частиц в идеализированных газах, где частицы свободно движутся внутри неподвижного сосуда, не взаимодействуя друг с другом, за исключением кратковременных столкновений, в ходе которых они обмениваются энергией и импульсом друг с другом или с окружающей средой. Термин «частица» в данном контексте относится исключительно к газообразным частицам (атомам или молекулам), и предполагается, что система частиц достигла термодинамического равновесия. Энергии таких частиц подчиняются статистике Максвелла — Больцмана, а статистическое распределение скоростей выводится путем приравнивания энергии частиц к кинетической энергии. Математически распределение Максвелла — Больцмана представляет собой распределение хи с тремя степенями свободы (компоненты вектора скорости в евклидовом пространстве) и параметром масштаба, измеряющим скорости в единицах, пропорциональных квадратному корню из отношения температуры к массе частицы. Распределение Максвелла — Больцмана является результатом кинетической теории газов, которая предоставляет упрощенное объяснение многих фундаментальных свойств газов, включая давление и диффузию. Распределение Максвелла — Больцмана фундаментально применимо к скоростям частиц в трех измерениях, но оказывается, что оно зависит только от величины скорости частиц. Функция распределения вероятностей скорости частиц указывает, какие скорости более вероятны: случайно выбранная частица будет иметь скорость, случайно выбранную из этого распределения, и с большей вероятностью будет находиться в определенном диапазоне скоростей, чем в другом. Кинетическая теория газов применима к классическому идеальному газу, который является идеализацией реальных газов. В реальных газах существуют различные эффекты (например, силы Ван-дер-Ваальса, вихревые потоки, релятивистские ограничения скорости и квантовые обменные взаимодействия), которые могут привести к отличию распределения скоростей от распределения Максвелла — Больцмана. Однако разреженные газы при обычных температурах ведут себя почти как идеальный газ, и распределение скоростей Максвелла является отличным приближением для таких газов. Это также справедливо для идеальных плазм, которые представляют собой ионизированные газы с достаточно низкой плотностью. Распределение было впервые получено Максвеллом в 1860 году на эвристической основе. Позднее, в 1870-х годах, Больцман провел значительные исследования физических основ этого распределения. Распределение можно вывести из принципа максимизации энтропии системы. Список выводов:

In physics (in particular in statistical mechanics), the Maxwell–Boltzmann distribution, or Maxwell(ian) distribution, is a particular probability distribution named after James Clerk Maxwell and Ludwig Boltzmann. It was first defined and used for describing particle speeds in idealized gases, where the particles move freely inside a stationary container without interacting with one another, except for very brief collisions in which they exchange energy and momentum with each other or with their thermal environment. The term "particle" in this context refers to gaseous particles only (atoms or molecules), and the system of particles is assumed to have reached thermodynamic equilibrium. The energies of such particles follow what is known as Maxwell–Boltzmann statistics, and the statistical distribution of speeds is derived by equating particle energies with kinetic energy. Mathematically, the Maxwell–Boltzmann distribution is the chi distribution with three degrees of freedom (the components of the velocity vector in Euclidean space), with a scale parameter measuring speeds in units proportional to the square root of (the ratio of temperature and particle mass). The Maxwell–Boltzmann distribution is a result of the kinetic theory of gases, which provides a simplified explanation of many fundamental gaseous properties, including pressure and diffusion. The Maxwell–Boltzmann distribution applies fundamentally to particle velocities in three dimensions, but turns out to depend only on the speed (the magnitude of the velocity) of the particles. A particle speed probability distribution indicates which speeds are more likely: a randomly chosen particle will have a speed selected randomly from the distribution, and is more likely to be within one range of speeds than another. The kinetic theory of gases applies to the classical ideal gas, which is an idealization of real gases. In real gases, there are various effects (e. g., van der Waals interactions, vortical flow, relativistic speed limits, and quantum exchange interactions) that can make their speed distribution different from the Maxwell–Boltzmann form. However, rarefied gases at ordinary temperatures behave very nearly like an ideal gas and the Maxwell speed distribution is an excellent approximation for such gases. This is also true for ideal plasmas, which are ionized gases of sufficiently low density. The distribution was first derived by Maxwell in 1860 on heuristic grounds. Boltzmann later, in the 1870s, carried out significant investigations into the physical origins of this distribution. The distribution can be derived on the ground that it maximizes the entropy of the system. A list of derivations are:

Распределение вероятностей с максимальной энтропией в фазовом пространстве при ограничении сохранения средней энергии.
Канонический ансамбль.

Ограничения

Распределение Максвелла — Больцмана предполагает, что скорости отдельных частиц значительно меньше скорости света, то есть для электронов температура электронов должна быть K.