Введение
В геометрии подмена плиток - это метод построения высоко упорядоченных плиток. Самое важное, что некоторые замены плиток генерируют апериодные плитки, которые являются плитками, прототилы которых не допускают никакой плитки с трансляционной симметрией. Самые известные из них - плитки Пенроуза. Заместительные плитки являются особыми случаями конечных правил подразделения, которые не требуют, чтобы плитки были геометрически жесткими.
Введение
Замена плитки описывается набором прототилей (формы плитки), расширяющейся картой и правилом дисекции, показывающим, как расширить расширенные прототилы, чтобы сформировать копии некоторых прототилей Интуитивно, более высокие и более высокие итерации замены плитки производят плитку плоскости, называемую подменной плитой. Некоторые заменные плитки являются периодическими, определяемыми как имеющие трансляционную симметрию. Каждый заменный плиток (до мягких условий) может быть "принужден соответствовать правилам" - то есть существует набор отмеченных плиток, которые могут образовывать только точно заменные плитки, генерируемые системой. Плитки, которые на них находятся, обязательно не являются периодическими. Простой пример, который производит периодическое чередование, имеет только один прототил, а именно квадрат: путем итерации этой замены плитки, все более крупные области плоскости покрываются квадратной сеткой. Ниже показан более сложный пример с двумя прототилами, с двумя стадиями взрыва и расчленения, объединенными в одну стадию. Можно интуитивно понять, как эта процедура дает замещение целого плана. Ниже дается математически строгое определение. Заместительные плитки особенно полезны в качестве способов определения апоэриодических плиток, которые представляют интерес во многих областях математики, включая теорию автоматов, комбинаторику, дискретную геометрию, динамические системы, теорию групп, гармонический анализ и теорию чисел, а также кристаллографию и химию. В частности, знаменитая плитка Пенроуз является примером апериодного замещения плитки.
By iterating this tile substitution, larger and larger regions of the plane are covered with a square grid. A more sophisticated example with two prototiles is shown below, with the two steps of blowing up and dissecting merged into one step. One may intuitively get an idea how this procedure yields a substitution tiling of the entire plane. A mathematically rigorous definition is given below. Substitution tilings are notably useful as ways of defining aperiodic tilings, which are objects of interest in many fields of mathematics, including automata theory, combinatorics, discrete geometry, dynamical systems, group theory, harmonic analysis and number theory, as well as crystallography and chemistry. In particular, the celebrated Penrose tiling is an example of an aperiodic substitution tiling.
История
В 1973 и 1974 годах Роджер Пенроуз обнаружил семейство апериодных плиток, которые теперь называются плитками Пенроуза. Первое описание было дано с точки зрения "правил соответствия", рассматривающих прототиловые части как кусочки головоломки. Доказательство того, что копии этих прототилей могут быть собраны вместе, чтобы сформировать плитку плоскости, но не могут делать это периодически, использует конструкцию, которая может быть отбракована в качестве заменной плитки прототилей. В 1977 году Роберт Амманн обнаружил ряд наборов апопериодных прототилей, то есть прототилей с соответствующими правилами, заставляющими непериодические плитки; в частности, он вновь обнаружил первый пример Пенроуза. Эта работа оказала влияние на ученых, работающих в области кристаллографии, что в конечном итоге привело к открытию квазикристаллов. В свою очередь, интерес к квазикристаллам привел к открытию нескольких хорошо упорядоченных апериодных плиток. Многие из них можно легко описать как заменные плитки.