Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В физике вариационный принцип - альтернативный метод определения состояния или динамики физической системы, определяя ее как экстремум (минимальный, максимальный или седловой пункт) функции или функционала. Вариационные методы используются во многих современных программах для моделирования материи и света. С момента развития аналитической механики в 18 веке фундаментальные уравнения физики обычно устанавливаются с точки зрения принципов действия, где вариационный принцип применяется к действию системы для восстановления фундаментального уравнения движения. В этой статье описывается историческое развитие таких принципов действия и других вариационных методов, применяемых в физике. См. История физики для обзора и Конспект истории физики для связанных историй.
In physics, a variational principle is an alternative method for determining the state or dynamics of a physical system, by identifying it as an extremum (minimum, maximum or saddle point) of a function or functional. Variational methods are exploited in many modern software to simulate matter and light. Since the development of analytical mechanics in the 18th century, the fundamental equations of physics have usually been established in terms of action principles, where the variational principle is applied to the action of a system in order to recover the fundamental equation of motion. This article describes the historical development of such action principles and other variational methods applied in physics. See History of physics for an overview and Outline of the history of physics for related histories.
Античность
Вариационные принципы встречаются среди более ранних идей в геодезии и оптике. Растягиватели веревок в Древнем Египте растягивали веревки между двумя точками, чтобы измерить путь, который минимизировал расстояние разделения, и Клавдий Птолемей в своей Географии (Bk 1, Ch 2) подчеркнул, что нужно исправить "отклонения от прямого курса"; в Древней Греции Евклид в своей Катоптике утверждает, что для пути света, отражающегося от зеркала, угол падения равен углу отражения; и Герой Александрийский позже показал, что этот путь был самой короткой длиной и самым коротким временем.
Variational principles are found among earlier ideas in surveying and optics. The rope stretchers of ancient Egypt stretched corded ropes between two points to measure the path which minimized the distance of separation, and Claudius Ptolemy, in his Geographia (Bk 1, Ch 2), emphasized that one must correct for "deviations from a straight course"; in ancient Greece Euclid states in his Catoptrica that, for the path of light reflecting from a mirror, the angle of incidence equals the angle of reflection; and Hero of Alexandria later showed that this path was the shortest length and least time.
Расширения Гаусса и Герца
Были сформулированы другие крайние принципы классической механики, такие как принцип наименьшего ограничения Карла Фридриха Гаусса 1829 года и его следствие, принцип наименьшей кривизны Генриха Герца 1896 года.
Other extremal principles of classical mechanics were formulated, such as Carl Friedrich Gauss's 1829 principle of least constraint and its corollary, Heinrich Hertz's 1896 principle of least curvature.
В квантовой механике
Вариационные принципы играли решающую роль в критические времена в развитии квантовой механики.
Variational principles played decisive roles at critical times in the development of quantum mechanics.
Атом Соммерфельда
После предложения Макса Планка о том, что квантовые радиаторы объясняют спектр излучения черного тела и гипотезу Альберта Эйнштейна о квантовом излучении для объяснения фотоэлектрического эффекта, Нильс Бор предложил квантовые энергетические уровни для орбит в своей модели атома, тем самым объясняя ряд Балмера для поглощения излучения атомами. Однако эта гипотеза не включала механическую модель. Арнольд Сомерфельд затем показал, что квантование действия орбит для водорода предсказало ряд Балмера, в комплекте с релятивистскими коррекциями, приводящими к тонкой структуре в спектральных линиях. Однако этот подход не мог быть расширен на атомы с большим количеством электронов, и, что более важно, сама квантовая гипотеза не имела объяснения из этого классического механического решения. Дирак смог показать, что амплитуда вероятности волновой функции at была связана с амплитудой at через сложную экспоненциальную функцию действия.
Following Max Planck's proposal that quantum radiators explain the blackbody radiation spectrum and Albert Einstein hypothesis of quantum radiation to explain the photoelectric effect, Niels Bohr proposed quantized energy levels for the orbits in his model of the atom, thereby explaining the Balmer series for absorption of radiation by atoms. However this hypothesis involved no mechanical model. Arnold Sommerfeld then showed that quantization of the action of orbits for Hydrogen predicted the Balmer series, complete with relativistic corrections leading to fine structure in spectral lines. However, this approach could not be extended to atoms with more electrons and, more fundamentally, the quantum hypothesis itself had no explanation from this classical mechanics solution. Dirac was able to show that the wavefunctions probability amplitude at was related to the amplitude at through an complex exponential function of the action.
Механики наименьшего действия Фейнмана
В 1942 году, почти через десять лет после работы Дирака, Ричард Фейнман создал новую формулировку квантовой механики по принципу действия. Фейнман интерпретировал формулу Дирака как физический рецепт для вкладов амплитуды вероятности от каждого возможного пути между и Эти возможности мешают; конструктивное вмешательство дает пути с наибольшей амплитудой. В классическом пределе с большими значениями действия по сравнению с , получается единственный классический путь, данный принципом действия.
In 1942, nearly a decade after Dirac's work, Richard Feynman built a new quantum mechanics formulation on the action principle. Feynman interpreted Dirac's formula as a physical recipe for the probability amplitude contributions from every possible path between and These possibilities interfere; constructive interference gives the paths with the most amplitude. In the classical limit with large values of action compared to , the single classical path given by the action principle results.
Телеология в принципах действия
Широта физических явлений, подлежащих изучению принципами действия, заставляет ученых всех веков рассматривать эти понятия как особенно фундаментальные; связь двух точек путем путей заставляет некоторых предполагать "цель" выбора одного конкретного пути. Эта телеологическая точка зрения простирается от самых ранних физиков через Ферма, Мопертуа и вплоть до Макса Планка, однако без какой-либо научной поддержки. Использование красочного языка продолжается в современную эпоху фразами вроде "Природа повелевает (до) Исследуйте все пути!" или "Дело не в том, что частица идет по пути наименьшего действия, а в том, что она ощущает запах всех путей в окрестностях". Метод Рэйли позволяет приблизить фундаментальные частоты без полного знания состава материала и без потребности в вычислительной мощности. В России физики, такие как Иван Бубнов (в 1913 году) и Борис Галеркин (в 1915 году), вновь открыли и популяризировали некоторые методы Рица с 1908 года. В 1940 году Георгий Петров улучшил эти приближения.
The breadth of physical phenomena subject to study by action principles lead scientists from all centuries to view these concepts as especially fundamental; the connection of two points by paths lead some to suggest a "purpose" to the selection of one particular path. This teleological viewpoint runs from the earliest physics through Fermat, Maupertuis, and on up to Max Planck, without, however, any scientific backing. The use of colorful language continues in the modern era with phrases like "Nature's command (to) Explore all paths!" or "It isn't that a particle takes the path of least action but that it smells all the paths in the neighborhood ". The Rayleigh method allows approximation of the fundamental frequencies without full knowledge of the material composition and without the requirement of computational power. In Russia, physicists like Ivan Bubnov (in 1913) and Boris Galerkin (in 1915) would rediscover and popularize some of Ritz's methods from 1908. In 1940, Georgii I. Petrov improved these approximations.