Введение

Термин в квантовой механике В квантовой механике, особенно в теории квантовой информации, верность - это мера "близкости" двух квантовых состояний. Она выражает вероятность того, что одно состояние пройдет тест, чтобы идентифицировать как другое. Верность не является метрикой на пространстве матриц плотности, но она может быть использована для определения метрики Буреса на этом пространстве.

Единица инвариантности

Прямые расчеты показывают, что точность сохраняется за счет единичной эволюции, т.е. для любого единичного оператора .

Отношение к верности между соответствующими распределениями вероятности

Пусть будет произвольной положительной оцененной оператором величиной (POVM); то есть множество положительных полуопределенных операторов удовлетворяющих Затем, для любой пары состояний и , у нас есть где в последнем шаге мы обозначили с и распределения вероятности, полученные путем измерения с POVM Это показывает, что квадратный корень верности между двумя квантовыми состояниями верхней границей является коэффициент Бхаттачарьи между соответствующими распределениями вероятности в любой возможной POVM. Действительно, в более общем смысле верно, что где , и минимум принимается за все возможные POVM. Более конкретно, можно доказать, что минимум достигается проективной POVM, соответствующей измерению в собственной базе оператора.

Поведение при квантовых операциях

Можно показать , что точность между двумя состояниями никогда не уменьшается , когда неселективная квантовая операция применяется к состояниям: для любого следа , сохраняющего полностью положительную карту .

Схема доказательства

Простое доказательство можно очертить следующим образом. Пусть вектор и σ1/2 будет единственным положительным квадратным корнем от σ. Мы видим, что из-за унитарной свободы в квадратных корневых факторизациях и выборе ортонормальных основ произвольное очищение σ имеет форму, где Vi являются унитарными операторами. Теперь мы напрямую рассчитаем Но в целом, для любой квадратной матрицы A и унитарной U, это правда, что tr{\displaystyle \AU} ≤ tr{\displaystyle \A*A}1/2. Кроме того, равенство достигается, если U* является единичным оператором в полярном разложении А. Из этого следует непосредственно теорема Ульмана.

Доказательство с явным разложением

Мы предоставим здесь альтернативный, ясный способ доказать теорему Ульмана. Let и be очищения от и , соответственно. Для начала давайте покажем, что общая форма очищений состояний: were - это собственные векторы , и являются произвольными ортонормальными основами. Накладывание между очищениями - это то, где унитарная матрица определяется как: Действительно, для общей матрицы и унитарной , мы имеем где (всегда реальные и не отрицательные) единичные значения , как в декомпозиции единичных значений. Неравенство насыщается и становится равенством, когда , то есть, когда и таким образом Выше показано, что когда очистки и такие, что Поскольку этот выбор возможен независимо от состояний, мы можем, наконец, сделать вывод, что