Необъяснимая эффективность математики в естественных науках.

Введение

Статья 1960 года Юджина Вигнера "Необоснованная эффективность математики в естественных науках" – статья 1960 года, написанная физиком Юджином Вигнером и опубликованная в журнале Communications in Pure and Applied Mathematics. В ней Вигнер отмечает, что математическая структура теоретической физики зачастую указывает путь к дальнейшему развитию теории и к эмпирическим предсказаниям. Математические теории нередко обладают способностью предсказывать явления природы.

Наблюдения и аргументы

Вигнер утверждает, что математические концепции применимы далеко за пределами контекста, в котором они были первоначально разработаны. Он пишет: "Важно отметить, что математическая формулировка часто грубого опыта физика в удивительном числе случаев приводит к удивительно точному описанию большого класса явлений". Он добавляет, что высказывание "законы природы написаны на языке математики", которое триста лет назад правильно сформулировал Галилей, "теперь более верно, чем когда-либо прежде". Первый пример Вигнера – закон всемирного тяготения, сформулированный Исааком Ньютоном. Первоначально использовавшийся для моделирования свободно падающих тел на поверхности Земли, этот закон был расширен на основе того, что Вигнер называет "очень скудными наблюдениями". Вигнер говорит, что "Ньютон заметил, что парабола траектории брошенного камня на Земле и окружность траектории Луны в небе являются частными случаями одного и того же математического объекта – эллипса, и постулировал универсальный закон тяготения на основе единственного, и в то время весьма приблизительного, численного совпадения". Второй пример Вигнера взят из квантовой механики: Макс Борн "заметил, что некоторые правила вычислений, предложенные Гейзенбергом, были формально идентичны правилам вычислений с матрицами, установленным математиками задолго до этого. Борн, Иордан и Гейзенберг затем предложили заменить переменные положения и импульса в уравнениях классической механики матрицами. Они применили правила матричной механики к нескольким высоко идеализированным задачам, и результаты оказались вполне удовлетворительными. Однако в то время не было никаких рациональных оснований полагать, что их матричная механика окажется верной в более реалистичных условиях". Но Вольфганг Паули обнаружил, что их работа точно описывает атом водорода: "Это применение дало результаты, согласующиеся с опытом". Атом гелия с двумя электронами более сложен, но "тем не менее, расчет самого низкого энергетического уровня гелия, проведенный несколько месяцев назад Киношитой в Корнелле и Базли в Бюро стандартов, согласуется с экспериментальными данными в пределах точности наблюдений, которая составляет одну часть на десять миллионов. В этом случае мы, безусловно, 'извлекли' из уравнений нечто, чего в них не закладывали". То же самое справедливо и для атомных спектров более тяжелых элементов. Последний пример Вигнера происходит из квантовой электродинамики: "В то время как теория тяготения Ньютона все еще имела очевидные связи с опытом, опыт вошел в формулировку матричной механики лишь в усовершенствованной или сублимированной форме предписаний Гейзенберга. Квантовая теория сдвига Ламба, как она была сформулирована Бете и установлена Швингером, является чисто математической теорией, и единственным прямым вкладом эксперимента было подтверждение существования измеримого эффекта. Согласие с расчетом лучше, чем одна часть на тысячу". Существуют и другие примеры, помимо упомянутых Вигнером. Другой часто приводимый пример – уравнения Максвелла, выведенные для моделирования элементарных электрических и магнитных явлений, известных в середине XIX века. Эти уравнения также описывают радиоволны, открытые Дэвидом Эдвардом Хьюзом в 1879 году, примерно во время смерти Джеймса Клерка Максвелла.

Wigner argues that mathematical concepts have applicability far beyond the context in which they were originally developed. He writes: "It is important to point out that the mathematical formulation of the physicist's often crude experience leads in an uncanny number of cases to an amazingly accurate description of a large class of phenomena." He adds that the observation "the laws of nature are written in the language of mathematics," properly made by Galileo three hundred years ago, "is now truer than ever before." Wigner's first example is the law of gravitation formulated by Isaac Newton. Originally used to model freely falling bodies on the surface of the Earth, this law was extended based on what Wigner terms "very scanty observations" Wigner says that "Newton noted that the parabola of the thrown rock's path on the earth and the circle of the moon's path in the sky are particular cases of the same mathematical object of an ellipse, and postulated the universal law of gravitation on the basis of a single, and at that time very approximate, numerical coincidence." Wigner's second example comes from quantum mechanics: Max Born "noticed that some rules of computation, given by Heisenberg, were formally identical with the rules of computation with matrices, established a long time before by mathematicians. Born, Jordan, and Heisenberg then proposed to replace by matrices the position and momentum variables of the equations of classical mechanics. They applied the rules of matrix mechanics to a few highly idealized problems and the results were quite satisfactory. However, there was, at that time, no rational evidence that their matrix mechanics would prove correct under more realistic conditions." But Wolfgang Pauli found their work accurately described the hydrogen atom: "This application gave results in agreement with experience." The helium atom, with two electrons, is more complex, but "nevertheless, the calculation of the lowest energy level of helium, as carried out a few months ago by Kinoshita at Cornell and by Bazley at the Bureau of Standards, agrees with the experimental data within the accuracy of the observations, which is one part in ten million. Surely in this case we 'got something out' of the equations that we did not put in." The same is true of the atomic spectra of heavier elements. Wigner's last example comes from quantum electrodynamics: "Whereas Newton's theory of gravitation still had obvious connections with experience, experience entered the formulation of matrix mechanics only in the refined or sublimated form of Heisenberg's prescriptions. The quantum theory of the Lamb shift, as conceived by Bethe and established by Schwinger, is a purely mathematical theory and the only direct contribution of experiment was to show the existence of a measurable effect. The agreement with calculation is better than one part in a thousand." There are examples beyond the ones mentioned by Wigner. Another often cited example is Maxwell's equations, derived to model the elementary electrical and magnetic phenomena known in the mid 19th century. The equations also describe radio waves, discovered by David Edward Hughes in 1879, around the time of James Clerk Maxwell's death.

Ричард Хамминг

Математик и лауреат премии Тьюринга Ричард Хамминг в 1980 году размышлял и развивал идею "Необоснованной эффективности" Вигнера, обсуждая четыре "частичных объяснения" этого феномена. Хамминг представляет Галилея, проводящим следующий мысленный эксперимент (эксперимент, который Хамминг называет "школастическим рассуждением", описан в книге Галилея "О движении"):

Предположим, что падающее тело разделилось на две части. Разумеется, обе части немедленно замедлились бы до соответствующих скоростей. Но предположим далее, что одна часть случайно коснулась другой. Станут ли они теперь одним целым и начнут ли ускоряться вместе? Предположим, я свяжу эти две части. Насколько прочно мне нужно это сделать, чтобы они стали единым целым? Легкой нитью? Веревкой? Клеем? Когда две части становятся одним целым? Падающее тело никак не может "ответить" на подобные гипотетические "вопросы". Следовательно, Галилей мог бы заключить, что "падающим телам незачем что-либо знать, если все они падают с одинаковой скоростью, если только им не препятствует другая сила". Придя к этому аргументу, Хамминг обнаружил схожее обсуждение у Поли (1963: 83–85). Из изложения Хамминга не следует, что он был знаком с научными дебатами XX века относительно того, что именно делал Галилей. Закон обратных квадратов всемирного тяготения неизбежно вытекает из закона сохранения энергии и из того факта, что пространство имеет три измерения. Измерение показателя степени в законе всемирного тяготения является скорее проверкой евклидовости пространства, чем проверкой свойств гравитационного поля. Неравенство, лежащее в основе принципа неопределенности квантовой механики, вытекает из свойств преобразований Фурье и из предположения о временной инвариантности. Хамминг утверждает, что новаторская работа Альберта Эйнштейна по специальной теории относительности в значительной степени была "школастической" по своему подходу. Он с самого начала знал, как должна выглядеть теория (хотя он знал это только благодаря эксперименту Майкельсона — Морли), и исследовал возможные теории с помощью математических инструментов, а не фактических экспериментов. Хамминг утверждает, что Эйнштейн был настолько уверен в правильности своих теорий относительности, что результаты наблюдений, предназначенных для их проверки, не вызывали у него особого интереса. Если бы наблюдения противоречили его теориям, то виноватыми были бы сами наблюдения. 2. Люди создают и выбирают математику, которая соответствует конкретной ситуации. Математика не всегда работает. Например, когда одних скаляров оказалось недостаточно для понимания сил, были изобретены сначала векторы, а затем тензоры. 3. Математика охватывает лишь часть человеческого опыта. Большая часть человеческого опыта не подпадает под науку или математику, а относится к философии ценностей, включая этику, эстетику и политическую философию. Утверждать, что мир можно объяснить с помощью математики, — значит проявлять веру. 4. Эволюция подготовила людей к математическому мышлению. Самые ранние формы жизни должны были содержать зачатки способности человека создавать и следовать длинным цепочкам логических рассуждений.

Suppose that a falling body broke into two pieces. Of course, the two pieces would immediately slow down to their appropriate speeds. But suppose further that one piece happened to touch the other one. Would they now be one piece and both speed up? Suppose I tie the two pieces together. How tightly must I do it to make them one piece? A light string? A rope? Glue? When are two pieces one? There is simply no way a falling body can "answer" such hypothetical "questions." Hence Galileo would have concluded that "falling bodies need not know anything if they all fall with the same velocity, unless interfered with by another force." After coming up with this argument, Hamming found a related discussion in Pólya (1963: 83 85). Hamming's account does not reveal an awareness of the 20th century scholarly debate over just what Galileo did. The inverse square law of universal gravitation necessarily follows from the conservation of energy and of space having three dimensions. Measuring the exponent in the law of universal gravitation is more a test of whether space is Euclidean than a test of the properties of the gravitational field. The inequality at the heart of the uncertainty principle of quantum mechanics follows from the properties of Fourier integrals and from assuming time invariance. Hamming argues that Albert Einstein's pioneering work on special relativity was largely "scholastic" in its approach. He knew from the outset what the theory should look like (although he only knew this because of the Michelson–Morley experiment), and explored candidate theories with mathematical tools, not actual experiments. Hamming alleges that Einstein was so confident that his relativity theories were correct that the outcomes of observations designed to test them did not much interest him. If the observations were inconsistent with his theories, it would be the observations that were at fault. 2. Humans create and select the mathematics that fit a situation. The mathematics at hand does not always work. For example, when mere scalars proved awkward for understanding forces, first vectors, then tensors, were invented. 3. Mathematics addresses only a part of human experience. Much of human experience does not fall under science or mathematics but under the philosophy of value, including ethics, aesthetics, and political philosophy. To assert that the world can be explained via mathematics amounts to an act of faith. 4. Evolution has primed humans to think mathematically. The earliest lifeforms must have contained the seeds of the human ability to create and follow long chains of close reasoning.

Макс Тегмарк

Физик Макс Тегмарк утверждал, что эффективность математики в описании внешней физической реальности объясняется тем, что физический мир сам является абстрактной математической структурой. Эта теория, известная как гипотеза математической вселенной, перекликается с идеями, ранее предложенными Питером Аткинсом. Однако Тегмарк прямо заявляет, что "истинная математическая структура, изоморфная нашему миру, если таковая существует, еще не обнаружена". Скорее, математические теории в физике оказываются успешными, поскольку они являются приближением к более сложной и прогностической математике. По словам Тегмарка, "наши успешные теории – это не математика, аппроксимирующая физику, а простая математика, аппроксимирующая более сложную математику".

Айвор Граттан-Гиннесс

Ивор Граттан Гиннесс находил обсуждаемую эффективность вполне разумной и объяснимой с помощью таких концепций, как аналогия, обобщение и метафора.