Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Уникальная точка, в которой взвешенное относительное положение распределенной массы суммируется в ноль.
Unique point where the weighted relative position of the distributed mass sums to zero
В физике центр масс распределения массы в пространстве (иногда называемый барицентром или точкой равновесия) – это уникальная точка в любой момент времени, в которой взвешенное относительное положение распределенной массы суммируется в ноль. Это точка, к которой можно приложить силу, чтобы вызвать линейное ускорение без углового ускорения. Расчеты в механике часто упрощаются, если они сформулированы относительно центра масс. Это гипотетическая точка, в которой можно представить, что вся масса объекта сконцентрирована для визуализации его движения. Иными словами, центр масс – это эквивалентная частица для данного объекта при применении законов движения Ньютона. В случае единого жесткого тела центр масс фиксирован относительно тела, и если тело имеет однородную плотность, он будет расположен в центроиде. Центр масс может находиться за пределами физического тела, как это иногда бывает для полых или открытых объектов, таких как подкова. В случае распределения отдельных тел, таких как планеты Солнечной системы, центр масс может не совпадать с положением какого-либо отдельного члена системы. Центр масс является полезной отсчетной точкой для расчетов в механике, связанных с массами, распределенными в пространстве, таких как линейный и угловой импульс планетарных тел и динамика твердого тела. В орбитальной механике уравнения движения планет формулируются как точечные массы, расположенные в центрах масс (см. Барицентр (астрономия) для получения подробной информации). Система отсчета центра масс – это инерциальная система отсчета, в которой центр масс системы покоится относительно начала координат.
In physics, the center of mass of a distribution of mass in space (sometimes referred to as the barycenter or balance point) is the unique point at any given time where the weighted relative position of the distributed mass sums to zero. This is the point to which a force may be applied to cause a linear acceleration without an angular acceleration. Calculations in mechanics are often simplified when formulated with respect to the center of mass. It is a hypothetical point where the entire mass of an object may be assumed to be concentrated to visualise its motion. In other words, the center of mass is the particle equivalent of a given object for application of Newton's laws of motion. In the case of a single rigid body, the center of mass is fixed in relation to the body, and if the body has uniform density, it will be located at the centroid. The center of mass may be located outside the physical body, as is sometimes the case for hollow or open shaped objects, such as a horseshoe. In the case of a distribution of separate bodies, such as the planets of the Solar System, the center of mass may not correspond to the position of any individual member of the system. The center of mass is a useful reference point for calculations in mechanics that involve masses distributed in space, such as the linear and angular momentum of planetary bodies and rigid body dynamics. In orbital mechanics, the equations of motion of planets are formulated as point masses located at the centers of mass (see Barycenter (astronomy) for details). The center of mass frame is an inertial frame in which the center of mass of a system is at rest with respect to the origin of the coordinate system.
История
Концепция центра тяжести или веса была всесторонне изучена древнегреческим математиком, физиком и инженером Архимедом из Сиракуз. Он работал с упрощенными предположениями о гравитации, эквивалентными предположению о равномерном поле, и таким образом пришел к математическим свойствам того, что мы сейчас называем центром масс. Архимед показал, что крутящий момент, создаваемый весами, расположенными в различных точках рычага, равен крутящему моменту, который возник бы, если бы все веса были сосредоточены в одной точке – их центре масс. В своей работе «О плавающих телах» Архимед продемонстрировал, что плавающий объект принимает ориентацию, при которой его центр масс находится как можно ниже. Он разработал математические методы для определения центров масс объектов с однородной плотностью и различных определенных форм. Среди других древних математиков, внесших вклад в теорию центра масс, – Герон Александрийский и Папп Александрийский. В эпоху Возрождения и Нового времени работы Гидо Убальди, Франческо Мауролико, Федерико Командино, Евангелисты Торричелли, Симона Стевина, Луки Валерио, Жана Шарля де ла Фейля, Пола Гулдина, Джона Уоллиса, Кристиана Гюйгенса, Луи Карре, Пьера Варниона и Алексиса Клерё дополнительно расширили эту концепцию. Второй закон Ньютона переформулируется относительно центра масс в первом законе Эйлера.
The concept of center of gravity or weight was studied extensively by the ancient Greek mathematician, physicist, and engineer Archimedes of Syracuse. He worked with simplified assumptions about gravity that amount to a uniform field, thus arriving at the mathematical properties of what we now call the center of mass. Archimedes showed that the torque exerted on a lever by weights resting at various points along the lever is the same as what it would be if all of the weights were moved to a single point—their center of mass. In his work On Floating Bodies, Archimedes demonstrated that the orientation of a floating object is the one that makes its center of mass as low as possible. He developed mathematical techniques for finding the centers of mass of objects of uniform density of various well defined shapes. Other ancient mathematicians who contributed to the theory of the center of mass include Hero of Alexandria and Pappus of Alexandria. In the Renaissance and Early Modern periods, work by Guido Ubaldi, Francesco Maurolico, Federico Commandino, Evangelista Torricelli, Simon Stevin, Luca Valerio, Jean Charles de la Faille, Paul Guldin, John Wallis, Christiaan Huygens, Louis Carré, Pierre Varignon, and Alexis Clairaut expanded the concept further. Newton's second law is reformulated with respect to the center of mass in Euler's first law.
Определение
Центр масс — это единственная точка в пространстве, являющаяся центром распределения массы, обладающая свойством, при котором сумма взвешенных радиус-векторов относительно этой точки равна нулю. По аналогии со статистикой, центр масс можно рассматривать как среднее положение распределения массы в пространстве.
The center of mass is the unique point at the center of a distribution of mass in space that has the property that the weighted position vectors relative to this point sum to zero. In analogy to statistics, the center of mass is the mean location of a distribution of mass in space.
Определение
Экспериментальное определение центра масс тела использует силы тяжести, действующие на тело, и основано на том факте, что центр масс совпадает с центром тяжести в однородном гравитационном поле вблизи поверхности Земли. Центр масс тела с осью симметрии и постоянной плотностью должен находиться на этой оси. Следовательно, центр масс цилиндра постоянной плотности лежит на оси цилиндра. Аналогично, центр масс сферически симметричного тела с постоянной плотностью находится в центре сферы. В общем случае, для любой симметрии тела, его центр масс будет точкой, неподвижной относительно этой симметрии.
The experimental determination of a body's centre of mass makes use of gravity forces on the body and is based on the fact that the centre of mass is the same as the centre of gravity in the parallel gravity field near the earth's surface. The center of mass of a body with an axis of symmetry and constant density must lie on this axis. Thus, the center of mass of a circular cylinder of constant density has its center of mass on the axis of the cylinder. In the same way, the center of mass of a spherically symmetric body of constant density is at the center of the sphere. In general, for any symmetry of a body, its center of mass will be a fixed point of that symmetry.
В двух измерениях
Экспериментальный метод определения центра масс заключается в подвешивании объекта в двух точках и опускании отвесов из точек подвеса. Пересечение этих двух линий и является центром масс. Форма объекта может быть уже математически определена, но она может оказаться слишком сложной для использования известной формулы. В этом случае сложную форму можно разбить на более простые элементарные формы, центры масс которых легко определить. Если общую массу и центр масс можно определить для каждой части, то центр масс целого будет являться взвешенным средним центров этих частей. Этот метод применим даже к объектам с отверстиями, которые можно учитывать как отрицательные массы. Для определения положения центроида или центра масс нерегулярной двумерной фигуры можно использовать прямое развитие планиметра, известное как интеграфометр или интегрометер. Этот метод можно применять к фигурам с неровной, гладкой или сложной границей, где другие методы оказываются слишком трудоемкими. Судостроители регулярно использовали его для сравнения с требуемой водотоннажностью и центром плавучести судна, чтобы гарантировать его устойчивость и предотвратить опрокидывание.
An experimental method for locating the center of mass is to suspend the object from two locations and to drop plumb lines from the suspension points. The intersection of the two lines is the center of mass. The shape of an object might already be mathematically determined, but it may be too complex to use a known formula. In this case, one can subdivide the complex shape into simpler, more elementary shapes, whose centers of mass are easy to find. If the total mass and center of mass can be determined for each area, then the center of mass of the whole is the weighted average of the centers. This method can even work for objects with holes, which can be accounted for as negative masses. A direct development of the planimeter known as an integraph, or integerometer, can be used to establish the position of the centroid or center of mass of an irregular two dimensional shape. This method can be applied to a shape with an irregular, smooth or complex boundary where other methods are too difficult. It was regularly used by ship builders to compare with the required displacement and center of buoyancy of a ship, and ensure it would not capsize.
Автомобильные приложения
Инженеры стремятся спроектировать спортивный автомобиль так, чтобы его центр масс был опущен, что улучшает управляемость, то есть позволяет сохранять сцепление с дорогой при выполнении достаточно резких поворотов. Характерно низкий профиль американского военного Humvee был разработан, в частности, для того, чтобы он мог наклоняться сильнее, чем более высокие машины, не рискуя перевернуться, благодаря тому, что его низкий центр масс остается над площадью, ограниченной четырьмя колесами, даже при значительных углах наклона от горизонтали.
Engineers try to design a sports car so that its center of mass is lowered to make the car handle better, which is to say, maintain traction while executing relatively sharp turns. The characteristic low profile of the U. S. military Humvee was designed in part to allow it to tilt farther than taller vehicles without rolling over, by ensuring its low center of mass stays over the space bounded by the four wheels even at angles far from the horizontal.
Аэронавтика
Центр массы – важная точка на самолете, оказывающая значительное влияние на его устойчивость. Для обеспечения достаточной устойчивости самолета и безопасности полета, центр массы должен находиться в пределах установленных границ. Если центр массы смещен вперед от передней границы, самолет станет менее маневренным, вплоть до невозможности выполнения взлета или выравнивания перед посадкой. Если центр массы смещен назад от задней границы, самолет станет более маневренным, но менее устойчивым, и, возможно, настолько неустойчивым, что управление станет невозможным. Также уменьшится плечо руля высоты, что затруднит выход из сваливания. У вертолетов в висении центр массы всегда находится непосредственно под ротором. В горизонтальном полете центр массы смещается вперед для компенсации отрицательного крутящего момента, возникающего при отклонении циклического шага для движения вертолета вперед; в результате круизный вертолет летит с небольшим наклоном "носом вниз" при горизонтальном полете.
The center of mass is an important point on an aircraft, which significantly affects the stability of the aircraft. To ensure the aircraft is stable enough to be safe to fly, the center of mass must fall within specified limits. If the center of mass is ahead of the forward limit, the aircraft will be less maneuverable, possibly to the point of being unable to rotate for takeoff or flare for landing. If the center of mass is behind the aft limit, the aircraft will be more maneuverable, but also less stable, and possibly unstable enough so as to be impossible to fly. The moment arm of the elevator will also be reduced, which makes it more difficult to recover from a stalled condition. For helicopters in hover, the center of mass is always directly below the rotorhead. In forward flight, the center of mass will move forward to balance the negative pitch torque produced by applying cyclic control to propel the helicopter forward; consequently a cruising helicopter flies "nose down" in level flight.
Астрономия
Центр масс играет важную роль в астрономии и астрофизике, где его обычно называют барицентром. Барицентр – это точка между двумя объектами, в которой они уравновешивают друг друга; это центр масс, вокруг которого вращаются два или более небесных тела. Когда луна обращается вокруг планеты или планета вокруг звезды, оба тела на самом деле вращаются вокруг точки, находящейся не в центре основного (более массивного) тела. Например, Луна обращается не вокруг точного центра Земли, а вокруг точки на линии, соединяющей центры Земли и Луны, примерно в 1710 км под поверхностью Земли, где их массы уравновешены. Это точка, вокруг которой Земля и Луна вращаются, перемещаясь вокруг Солнца. Если массы сопоставимы, например, у Плутона и Харона, барицентр окажется за пределами обоих тел.
The center of mass plays an important role in astronomy and astrophysics, where it is commonly referred to as the barycenter. The barycenter is the point between two objects where they balance each other; it is the center of mass where two or more celestial bodies orbit each other. When a moon orbits a planet, or a planet orbits a star, both bodies are actually orbiting a point that lies away from the center of the primary (larger) body. For example, the Moon does not orbit the exact center of the Earth, but a point on a line between the center of the Earth and the Moon, approximately 1,710 km (1,062 miles) below the surface of the Earth, where their respective masses balance. This is the point about which the Earth and Moon orbit as they travel around the Sun. If the masses are more similar, e. g., Pluto and Charon, the barycenter will fall outside both bodies.
Подводка и безопасность
Знание местоположения центра тяжести при строповке имеет решающее значение, поскольку неверное определение может привести к серьезным травмам или даже смерти. Если центр тяжести находится на уровне или выше точки подъема, существует высокая вероятность опрокидывания груза. В целом, чем ниже расположен центр тяжести относительно точки подъема, тем безопаснее операция. Необходимо также учитывать другие факторы, такие как смещение груза, прочность и масса груза, расстояние между строповочными точками и их количество. В частности, при выборе точек подъема крайне важно располагать центр тяжести по центру и значительно ниже этих точек.
Knowing the location of the center of gravity when rigging is crucial, possibly resulting in severe injury or death if assumed incorrectly. A center of gravity that is at or above the lift point will most likely result in a tip over incident. In general, the further the center of gravity below the pick point, the safer the lift. There are other things to consider, such as shifting loads, strength of the load and mass, distance between pick points, and number of pick points. Specifically, when selecting lift points, it's very important to place the center of gravity at the center and well below the lift points.
Движение тела
В кинезиологии и биомеханике центр масс является важным параметром, помогающим понять человеческую локомоцию. Как правило, центр масс человека определяется одним из двух методов: метод реакционной доски – это статический анализ, при котором человек лежит на этом приборе, и используется уравнение статического равновесия для определения его центра масс; метод сегментации основан на математическом решении, базирующемся на физическом принципе, согласно которому сумма моментов сил отдельных сегментов тела относительно заданной оси должна быть равна моменту сил всей системы, составляющей тело, измеренному относительно той же оси.
In kinesiology and biomechanics, the center of mass is an important parameter that assists people in understanding their human locomotion. Typically, a human's center of mass is detected with one of two methods: the reaction board method is a static analysis that involves the person lying down on that instrument, and use of their static equilibrium equation to find their center of mass; the segmentation method relies on a mathematical solution based on the physical principle that the summation of the torques of individual body sections, relative to a specified axis, must equal the torque of the whole system that constitutes the body, measured relative to the same axis.
Оптимизация
Метод центра тяжести — это метод выпуклой оптимизации, использующий центр тяжести допустимой области.
The Center of gravity method is a method for convex optimization, which uses the center of gravity of the feasible region.