Число один: история, свойства и значение

Введение

Число 1 (один, единица, единство) — это число, представляющее собой единственную сущность или единственный объект. 1 также является числовой цифрой и представляет собой единицу счёта или измерения. Например, отрезок линии единичной длины — это отрезок линии длиной 1. В общепринятых соглашениях, где ноль не считается ни положительным, ни отрицательным, 1 является первым и наименьшим положительным целым числом. Иногда его также считают первым в бесконечной последовательности натуральных чисел, за которым следует 2, хотя по другим определениям 1 является вторым натуральным числом после 0. Фундаментальное математическое свойство 1 заключается в том, что оно является мультипликативным нейтральным элементом, то есть любое число, умноженное на 1, остаётся равным самому себе. Большинство, если не все, свойства 1 можно вывести из этого. В высшей математике мультипликативный нейтральный элемент часто обозначается как 1, даже если это не число. По условности 1 не считается простым числом; это общепринято не было до середины XX века. Кроме того, 1 — это наименьшая возможная разница между двумя различными натуральными числами. Уникальные математические свойства этого числа обусловили его особое применение в различных областях, от науки до спорта. Обычно оно обозначает первый, главный или верхний элемент в группе.

Этимология

Один происходит от древнеанглийского слова an, восходящего к германскому корню, от протоиндоевропейского корня *oi no (означающего "один, единственный").

Современное использование

В лингвистическом смысле, единица – это кардинальное число, используемое для счета и выражения количества элементов в наборе объектов. Единица обычно используется как определитель для исчисляемых существительных в единственном числе, как, например, один день за раз. Единица также является гендерно-нейтральным местоимением, используемым для обозначения неопределенного лица или людей в целом, как в выражении «каждый должен заботиться о себе». Слова, происходящие от единицы, включают в себя alone (один), обозначающее состояние пребывания в одиночестве, none (ни один), означающее отсутствие чего-либо, once (однажды), обозначающее один раз, и atone (загладить вину), означающее примирение или единение с кем-либо. Сочетание alone с only (подчеркивающим одиночество) приводит к lonely, передающему чувство одиночества. Другие распространенные числовые приставки для числа 1 включают uni (например, уницикл, вселенная, единорог), sol (например, сольный танец), заимствованные из латинского языка, или mono (например, монорельс, моногамия, монополия), заимствованные из греческого.

Символы и представление

Среди самых ранних известных записей о системе счисления — шумерская десятичная сексагезимальная система, представленная на глиняных табличках, датируемых первой половиной третьего тысячелетия до нашей эры. Архаические шумерские обозначения для 1 и 60 состояли из горизонтальных полукруглых символов. К 2350 году до н.э. старые шумерские криволинейные обозначения были заменены клинописными символами, при этом 1 и 60 обозначались одним и тем же символом. Шумерская клинописная система является прямым предком эблаитской и ассиро-вавилонской семитической клинописной десятичной системы. Сохранившиеся вавилонские документы датируются преимущественно периодами Древней Вавилонии (ок. 1500 г. до н.э.) и Селевкидов (ок. 300 г. до н.э.). В вавилонской клинописи для обозначения чисел использовался тот же символ для 1 и 60, что и в шумерской системе. Наиболее распространенный глиф в современном западном мире для обозначения числа 1 — арабская цифра, вертикальная линия, часто с засечкой наверху и иногда короткой горизонтальной линией внизу. Её происхождение можно проследить до брахманского письма древней Индии, представленного Ашокой в виде простой вертикальной линии в его Эдиктах, датируемых ок. 250 г. до н.э. Формы этих цифр были переданы в Европу через Магриб и Аль-Андалус в Средние века благодаря научным трудам, написанным на арабском языке. В некоторых странах засечка наверху может быть продолжена в длинный восходящий штрих, равный по длине вертикальной линии. Это может привести к путанице с глифом, используемым для обозначения семи в других странах, поэтому для визуального различия цифру 7 иногда пишут с горизонтальным штрихом, пересекающим вертикальную линию. В современных шрифтах форма символа для цифры 1 обычно оформляется как строчная фигура с подъёмом, так что цифра имеет ту же высоту и ширину, что и прописная буква. Однако в шрифтах с текстовыми фигурами (также известными как цифры старого стиля или нестрочные фигуры) глиф обычно имеет высоту x и разработан таким образом, чтобы соответствовать ритму строчных букв, например, в шрифтах старого стиля (например, Hoefler Text), где обозначение цифры 1 напоминает уменьшенную версию прописной буквы, с параллельными засечками наверху и внизу, в то время как прописная буква сохраняет полную высоту. Это пережиток римской системы счисления, где I обозначает 1. Современная цифра «1» не получила широкого распространения до середины 1950-х годов. Поэтому многие старые пишущие машинки не имеют отдельной клавиши для цифры 1, которая может отсутствовать, что требует использования строчной буквы l или прописной I в качестве замены.

Among the earliest known record of a numeral system, is the Sumerian decimal sexagesimal system on clay tablets dating from the first half of the third millennium BCE. The Archaic Sumerian numerals for 1 and 60 both consisted of horizontal semi circular symbols. By c. 2350 BCE – c. no, the older Sumerian curviform numerals were replaced with cuneiform symbols, with 1 and 60 both represented by the same symbol The Sumerian cuneiform system is a direct ancestor to the Eblaite and Assyro Babylonian Semitic cuneiform decimal systems. Surviving Babylonian documents date mostly from Old Babylonian (c. 1500 BCE – c. no) and the Seleucid (c. 300 BCE – c. no) eras. The Babylonian cuneiform script notation for numbers used the same symbol for 1 and 60 as in the Sumerian system. The most commonly used glyph in the modern Western world to represent the number 1 is the Arabic numeral, a vertical line, often with a serif at the top and sometimes a short horizontal line at the bottom. It can be traced back to the Brahmic script of ancient India, as represented by Ashoka as a simple vertical line in his Edicts of Ashoka in c. 250 BCE. This script's numeral shapes were transmitted to Europe via the Maghreb and Al Andalus during the Middle Ages, through scholarly works written in Arabic. In some countries, the serif at the top may be extended into a long upstroke as long as the vertical line. This variation can lead to confusion with the glyph used for seven in other countries and so to provide a visual distinction between the two the digit 7 may be written with a horizontal stroke through the vertical line. In modern typefaces, the shape of the character for the digit 1 is typically typeset as a lining figure with an ascender, such that the digit is the same height and width as a capital letter. However, in typefaces with text figures (also known as Old style numerals or non lining figures), the glyph usually is of x height and designed to follow the rhythm of the lowercase, as, for example, in In old style typefaces (e. g., Hoefler Text), the typeface for numeral 1 resembles a small caps version of , featuring parallel serifs at the top and bottom, while the capital retains a full height form. This is a relic from the Roman numerals system where represents 1. The modern digit '1' did not become widespread until the mid 1950s. As such, many older typewriters do not have dedicated key for the numeral 1 might be absent, requiring the use of the lowercase letter l or uppercase I as substitutes.

В математике

В математическом плане число 1 имеет уникальные свойства и значение. В обычной арифметике (алгебре) число 1 является первым натуральным числом после 0 (нуль) и может использоваться для составления всех остальных целых чисел (например, ; ; и т. д.). Произведение 0 чисел (пустое произведение) равно 1, а факториал 0! равен 1, как особый случай пустого произведения. Любое число, умноженное или разделенное на 1, остается неизменным, что делает его математической единицей, и по этой причине 1 часто называют единицей. Следовательно, если является мультипликативной функцией, то должна быть равна 1. Эта отличительная особенность приводит к тому, что 1 является своим собственным факториалом, своим собственным квадратом и квадратным корнем, своим собственным кубом и кубическим корнем и так далее. По определению, 1 – это величина, абсолютное значение или норма единичного комплексного числа, единичного вектора и единичной матрицы (обычно называемой матрицей идентичности). Это мультипликативная идентичность целых чисел, действительных чисел и комплексных чисел. 1 – единственное натуральное число, которое не является ни составным (число с более чем двумя различными положительными делителями), ни простым (число с ровно двумя различными положительными делителями) относительно деления. В алгебраических структурах, таких как мультипликативные группы и моноиды, элемент идентичности часто обозначается 1, но e (от немецкого Einheit, "единство") также является традиционным. Однако 1 особенно часто используется для обозначения мультипликативной идентичности кольца, то есть когда присутствуют также сложение и 0. Более того, если кольцо имеет характеристику n, не равную 0, элемент, представленный 1, обладает свойством, что (где этот 0 обозначает аддитивную идентичность кольца). Важными примерами, иллюстрирующими эту концепцию, являются конечные поля. Матрица, состоящая из единиц, или матрица всех единиц определяется как матрица, полностью состоящая из 1. Формализации натуральных чисел имеют свои собственные представления 1. Например, в оригинальной формулировке аксиом Пеано 1 служит отправной точкой в последовательности натуральных чисел. Позже Пеано пересмотрел свои аксиомы, указав 0 как "первое" натуральное число, так что 1 является следующим за 0. В кардинальном присвоении натуральных чисел Фон Неймана числа определяются как множество, содержащее все предшествующие числа, при этом 1 представлен как синглтон {0}. В лямбда-исчислении и теории вычислимости натуральные числа представлены посредством кодировки Черча как функции, где число Черча для 1 представлено функцией, применяемой к аргументу один раз (1). 1 является и первым, и вторым числом в последовательности Фибоначчи (0 является нулевым) и первым числом во многих других математических последовательностях. Как пан-многоугольное число, 1 присутствует в каждой многоугольной последовательности чисел как первое фигурное число любого вида (например, треугольное число, пятиугольное число, центральное шестиугольное число). Самый простой способ представления натуральных чисел – это унарная система счисления, используемая при пересчете. Она часто называется "основанием 1", поскольку требуется только одна отметка – сам пересчет. В отличие от основания 2 или основания 10, это не позиционная система счисления. Поскольку экспоненциальная функция с основанием 1 (1<sup>x</sup>) всегда равна 1, ее обратная (то есть логарифм по основанию 1) не существует. Число 1 может быть представлено в десятичной форме двумя бесконечными представлениями: 1.000, где цифра 0 повторяется бесконечно после десятичной точки, и 0.999, содержащим бесконечное повторение цифры 9 после десятичной точки. Последнее возникает из определения десятичных чисел как пределов их суммированных компонентов, так что "0,999" и "1" представляют собой одно и то же число.

Mathematically, the number 1 has unique properties and significance. In normal arithmetic (algebra), the number 1 is the first natural number after 0 (zero) and can be used to make up all other integers (e. g., ; ; etc.). The product of 0 numbers (the empty product) is 1 and the factorial 0! evaluates to 1, as a special case of the empty product. Any number multiplied or divided by 1 remains unchanged This makes it a mathematical unit, and for this reason, 1 is often called unity. Consequently, if is a multiplicative function, then must be equal to 1. This distinctive feature leads to 1 being is its own factorial , its own square and square root , its own cube and cube root , and so forth. By definition, 1 is the magnitude, absolute value, or norm of a unit complex number, unit vector, and a unit matrix (more usually called an identity matrix). It is the multiplicative identity of the integers, real numbers, and complex numbers. 1 is the only natural number that is neither composite (a number with more than two distinct positive divisors) nor prime (a number with exactly two distinct positive divisors) with respect to division. In algebraic structures such as multiplicative groups and monoids the identity element is often denoted 1, but e (from the German Einheit, "unity") is also traditional. However, 1 is especially common for the multiplicative identity of a ring, i. e., when an addition and 0 are also present. Moreover, if a ring has characteristic n not equal to 0, the element represented by 1 has the property that (where this 0 denotes the additive identity of the ring). Important examples that involve this concept are finite fields. A matrix of ones or all ones matrix is defined as a matrix composed entirely of 1s. Formalizations of the natural numbers have their own representations of 1. For example, in the original formulation of the Peano axioms, 1 serves as the starting point in the sequence of natural numbers. Peano later revised his axioms to state 0 as the "first" natural number such that 1 is the successor of 0. In the Von Neumann cardinal assignment of natural numbers, numbers are defined as the set containing all preceding numbers, with 1 represented as the singleton {0}. In lambda calculus and computability theory, natural numbers are represented by Church encoding as functions, where the Church numeral for 1 is represented by the function applied to an argument once (1). 1 is both the first and second number in the Fibonacci sequence (0 being the zeroth) and is the first number in many other mathematical sequences. As a pan polygonal number, 1 is present in every polygonal number sequence as the first figurate number of every kind (e. g., triangular number, pentagonal number, centered hexagonal number). The simplest way to represent the natural numbers is by the unary numeral system, as used in tallying. This is often referred to as "base 1", since only one mark – the tally itself – is needed. Unlike base 2 or base 10, this is not a positional notation. Since the base 1 exponential function (1x) always equals 1, its inverse (i. e., the logarithm base 1) does not exist. The number 1 can be represented in decimal form by two recurring notations: 1.000 , where the digit 0 repeats infinitely after the decimal point, and 0.999 , which contains an infinite repetition of the digit 9 after the decimal point. The latter arises from the definition of decimal numbers as the limits of their summed components, such that "0.999 " and "1" represent exactly the same number.

Первостепенность

Хотя 1 кажется удовлетворяющим наивному определению простого числа, поскольку оно делится без остатка только на 1 и на само себя (то есть на 1), по соглашению 1 не является ни простым, ни составным числом. Это объясняется тем, что 1 – единственное положительное целое число, имеющее ровно один положительный делитель, в то время как простые числа имеют ровно два положительных делителя, а составные – более двух. Вплоть до начала XX века некоторые математики считали 1 простым числом. Однако, общепринятым и устойчивым математическим консенсусом стало исключение 1 из простых чисел из-за его влияния на основную теорему арифметики и другие теоремы, связанные с простыми числами. Например, основная теорема арифметики гарантирует единственность разложения на множители для целых чисел с точностью до умножения на единицы, то есть представляет собой единственное разложение. Однако, если учитывать единицы, 4 также можно представить как среди бесконечного множества подобных "разложений". Более того, функция Эйлера и функция суммы делителей имеют разные значения для простых чисел и для 1.

В технологии

В цифровых технологиях данные представляются двоичным кодом, то есть системой счисления с основанием 2, где числа представляются последовательностью из 1 и 0. Оцифрованные данные в физических устройствах, таких как компьютеры, представляются в виде электрических импульсов, проходящих через переключающие устройства, такие как транзисторы или логические элементы, где "1" обозначает состояние "включено". Поэтому, во многих языках программирования числовое значение логической истины (true) равно 1.

В науке

Безразмерные величины также известны как величины с размерностью единица. Водород, первый элемент периодической таблицы, имеет атомный номер 1. Первая группа периодической таблицы состоит из щелочных металлов. Первый период периодической таблицы состоит всего из двух элементов: водорода и гелия.

В философии

В философии Плотина (и других неоплатоников) Единое является высшей реальностью и источником всего сущего. Филон Александрийский (20 г. до н.э. – 50 г. н.э.) считал число один числом Бога и основой для всех чисел ("De Allegoriis Legum", ii.12 [i.66]). Неопифагорейский философ Никомах из Герасы утверждал, что единица – это не число, а источник чисел. Он также полагал, что число два является воплощением начала иного. Его теория чисел была вновь открыта Боэцием в его латинском переводе трактата Никомаха «Введение в арифметику».