Введение

Тип последовательности многочленов

В математике последовательность многочленов, то есть последовательность многочленов, индексированных неотрицательными целыми числами, в которой индекс каждого многочлена равен его степени, называется последовательностью биномиального типа, если она удовлетворяет ряду тождеств. Существует множество таких последовательностей. Множество всех таких последовательностей образует группу Ли относительно операции умбрального композирования, которая объясняется ниже. Любая последовательность биномиального типа может быть выражена через полиномы Белла. Каждая последовательность биномиального типа является последовательностью Шеффера (но большинство последовательностей Шеффера не являются биномиальными). Полиномиальные последовательности дали строгое обоснование нечетким представлениям об умбральном исчислении, существовавшим в XIX веке.

Примеры

Вследствие этого определения биномиальную теорему можно сформулировать, утверждая, что последовательность является биномиального типа. Последовательность "нижних факториалов" определяется как (В теории специальных функций то же обозначение используется для верхних факториалов, но данное употребление является общепринятым среди комбинатористов). Произведение понимается равным 1, если n = 0, поскольку в этом случае это пустое произведение. Эта последовательность многочленов имеет биномиальный тип. Аналогично, "верхние факториалы" представляют собой многочленную последовательность биномиального типа. Полиномы Абеля – это последовательность биномиальных полиномов. Полиномы Тушара, где – число разбиений множества размера на непустые подмножества, представляют собой последовательность биномиальных полиномов. Эрик Темпл Белл назвал их "экспоненциальными полиномами", и этот термин также иногда встречается в литературе. Коэффициенты – это "числа Стерлинга второго рода". Эта последовательность имеет любопытную связь с распределением Пуассона: если является случайной величиной с распределением Пуассона с математическим ожиданием , то . В частности, при , мы видим, что -й момент распределения Пуассона с математическим ожиданием равен числу разбиений множества размера , называемому -м числом Белла. Этот факт относительно -го момента этого конкретного распределения Пуассона известен как "формула Добинского".

Операторы "Дельта"

Это линейное преобразование явно является дельта-оператором, то есть линейным преобразованием, инвариантным относительно сдвига, на пространстве многочленов от x, которое понижает степень многочленов на 1. Наиболее очевидными примерами дельта-операторов являются операторы взятия разностей и дифференцирования. Можно показать, что каждый дельта-оператор может быть записан в виде степенного ряда вида

где D – дифференцирование (обратите внимание, что нижний предел суммирования равен 1). Каждый дельта-оператор Q имеет уникальную последовательность "базисных многочленов", то есть многочленную последовательность, удовлетворяющую

В 1973 году Рота, Каханер и Одлызко показали, что многочленная последовательность является биномиальной тогда и только тогда, когда она является последовательностью базисных многочленов некоторого дельта-оператора. Следовательно, данный абзац представляет собой способ получения произвольного количества многочленных последовательностей биномиального типа.

Приложения

Понятие биномиального типа находит применение в комбинаторике, теории вероятностей, статистике и в самых разных других областях.