Кіріспе
Полиномиялық тізбектің түрі
In mathematics, a polynomial sequence, i. e., a sequence of polynomials indexed by non negative integers in which the index of each polynomial equals its degree, is said to be of binomial type if it satisfies the sequence of identities
Many such sequences exist. The set of all such sequences forms a Lie group under the operation of umbral composition, explained below. Every sequence of binomial type may be expressed in terms of the Bell polynomials. Every sequence of binomial type is a Sheffer sequence (but most Sheffer sequences are not of binomial type). Polynomial sequences put on firm footing the vague 19th century notions of umbral calculus.
Математикада полиномиялық тізбек, яғни теріс емес бүтін сандармен индекстелген полиномиялардың тізбегі, мұнда әр полиномияның индексі оның дәрежесіне тең, егер ол сәйкестіктер тізбесін қанағаттандырса, биномиялық типте деп аталады. Мұндай тізбектер көптеген. Барлық осындай тізбектер жиыны төменде түсіндірілген көлеңкелі композиция операциясы бойынша Ли тобын құрайды. Биномиялық типтегі әрбір тізбекті Белл полиномдары арқылы өрнектеуге болады. Биномиялық типтегі әрбір тізбек Шеффер тізбегі болып табылады (бірақ Шеффер тізбектерінің көпшілігі биномиялық типте емес). Полиномиялық тізбектер 19 ғасырдағы көлеңкелі есептеулердің шамалы түсініктерін нақты негізге қойды.
In mathematics, a polynomial sequence, i. e., a sequence of polynomials indexed by non negative integers in which the index of each polynomial equals its degree, is said to be of binomial type if it satisfies the sequence of identities
Many such sequences exist. The set of all such sequences forms a Lie group under the operation of umbral composition, explained below. Every sequence of binomial type may be expressed in terms of the Bell polynomials. Every sequence of binomial type is a Sheffer sequence (but most Sheffer sequences are not of binomial type). Polynomial sequences put on firm footing the vague 19th century notions of umbral calculus.
Мысалдар
Осы анықтаманың нәтижесінде биномдық теореманы осы тізбек биномдық типте деп тұжырымдауға болады. "Төменгі факториалдар" тізбегі былай анықталады (Арнайы функциялар теориясында осы белгі жоғарғы факториалдарды да білдіруі мүмкін, бірақ комбинаторикада осы қолданыс кең таралған). Егер n = 0 болса, онда көбейтінді 1-ге тең деп есептеледі, себебі бұл жағдайда ол бос көбейтінді болып табылады. Бұл полиномдық тізбек биномдық типте. Сол сияқты "жоғарғы факториалдар" да биномдық типтегі полиномдық тізбек. Абель полиномдары – биномдық типтегі полиномдық тізбек. Ташар полиномдары, мұндағы – өлшемі жиынтықтың бос емес жиындарға бөлінуінің саны, биномдық типтегі полиномдық тізбек болып табылады. Эрик Темпл Белл оларды "экспоненциалдық полиномдар" деп атады және бұл термин кейде әдебиетте де кездеседі. Коэффициенттері – "екінші түрдегі Стерлинг сандары". Бұл тізбек Пуассон үлестірілімімен қызықты байланысқа ие: егер – математикалық үмілігі болатын Пуассон үлестірілімінің кездейсоқ айнымалысы болса, онда . Атап айтқанда, егер болса, онда математикалық үмілігі болатын Пуассон үлестірілімінің -інші моменті – өлшемі жиынтықтың бөлінуінің саны, ол -інші Белл саны деп аталады. Осы нақты Пуассон үлестірілімінің -інші моменті туралы факт "Добинский формуласы" деп аталады.
Дельта операторлары
Бұл сызықтық түрлендіру — дельта операторы, яғни x-тегі көпмүшелер кеңістігіндегі ауысу эквивариантты сызықтық түрлендіру, ол көпмүшелердің дәрежесін 1-ге төмендетеді. Дельта операторларының ең нақты мысалдары — айырма операторлары және туындылау. Кез келген дельта операторды D туындылау түріндегі қуат қатары ретінде жазуға болады (қосындының төменгі шегі 1 екенін ескеріңіз). Әр дельта оператордың Q бірегей "негізгі көпмүшелер" тізбегі болады, яғни, келесі теңдікті қанағаттандыратын көпмүшелер тізбегі. 1973 жылы Рота, Каханер және Одлыцко көрсеткендей, көпмүшелер тізбегі биномдық типте болады, егер және тек қана ол қандай да бір дельта оператордың негізгі көпмүшелер тізбегі болса. Сондықтан, бұл абзац биномдық типтегі кез келген қалаған көпмүшелер тізбегін жасауға арналған нұсқаулық болып табылады.
where D is differentiation (note that the lower bound of summation is 1). Each delta operator Q has a unique sequence of "basic polynomials", i. e., a polynomial sequence satisfying
It was shown in 1973 by Rota, Kahaner, and Odlyzko, that a polynomial sequence is of binomial type if and only if it is the sequence of basic polynomials of some delta operator. Therefore, this paragraph amounts to a recipe for generating as many polynomial sequences of binomial type as one may wish.
Қолданбалар
Биномиалдық тип тұжырымы комбинаторика, ықтималдықтар теориясы, статистика және тағы да басқа салаларда қолданылады.