Введение

Магма, обладающая свойством латинского квадрата. В математике, особенно в абстрактной алгебре, квазигруппа — это алгебраическая структура, схожая с группой в том смысле, что "деление" всегда определено. Квазигруппы отличаются от групп главным образом тем, что ассоциативность и наличие нейтрального элемента не являются обязательными свойствами. Квазигруппа, имеющая нейтральный элемент, называется петлей.

Определения

Существует как минимум два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Одно определяет квазигруппу как множество с одной бинарной операцией, а другое, из общей алгебры, определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. Однако гомоморфный образ квазигруппы, заданной одной бинарной операцией, не обязательно является квазигруппой. Начнем с первого определения.

Триалитет

Квазигруппа может демонстрировать полусимметричную триальность.

Полная симметрия

Более узкий класс — это полностью симметричная квазигруппа (иногда сокращаемая как квазигруппа TS), в которой все сопряженные элементы совпадают и представляются одной операцией: 1 = x ∗ y = x / y = x \ y. Другой способ определить (то же понятие) полностью симметричную квазигруппу — это коммутативная полусимметричная квазигруппа, то есть 1 = x ∗ y = y ∗ x. Идемпентные тотально симметричные квазигруппы находятся в точном соответствии (т.е. в биекции) с триплами Штайнера, поэтому такая квазигруппа также называется квазигруппой Штайнера, а иногда последняя даже сокращается как сквог. Термин "sloop" относится к аналогу для петель, а именно, к тотально симметричным петлям, которые удовлетворяют условию 1 = x ∗ x = 1 вместо 1 = x ∗ x = x. Без идемпотентности тотально симметричные квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенного трипла Штайнера, также называемому генерализованной эллиптической кубической кривой (GECC).

Примеры

Каждая группа является петлей, потому что 1 = a * x = b, если и только если 1 = x = a⁻¹ * b, и 1 = y * a = b, если и только если 1 = y = b * a⁻¹. Целые числа Z (или рациональные числа Q или действительные числа R) с вычитанием (−) образуют квазигруппу. Эти квазигруппы не являются петлями, потому что нет нейтрального элемента (0 является правым нейтральным элементом, так как 1 = a − 0 = a, но не левым, потому что, в общем случае, 1 = 0 − a ≠ a). Ненулевые рациональные числа Q× (или ненулевые действительные числа R×) с делением (÷) образуют квазигруппу. Любое векторное пространство над полем характеристики, не равной 2, образует идемпотентную, коммутативную квазигруппу по операции 1 = x * y = (x + y) / 2. Каждая система Штайнера определяет идемпотентную, коммутативную квазигруппу: 1 = a * b – это третий элемент тройки, содержащей a и b. Эти квазигруппы также удовлетворяют 1 = (x * y) * y = x для всех x и y в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как квазигруппы Штайнера. Множество, где 1 = ii = jj = kk = +1 и со всеми остальными произведениями, как в группе кватернионов, образует неассоциативную петлю порядка 8. См. гиперболические кватернионы для информации о её применении. (Сами гиперболические кватернионы не образуют петлю или квазигруппу.) Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю при умножении. Октонионы представляют собой особый тип петли, известный как петля Муфанга. Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку, если в ней есть хотя бы один элемент, обратимость бинарной операции квазигруппы в сочетании с ассоциативностью подразумевает существование нейтрального элемента, который, в свою очередь, подразумевает существование обратных элементов, тем самым удовлетворяя всем трем требованиям группы. Следующее построение принадлежит Хансу Зассенхаусу. На базовом множестве четырехмерного векторного пространства F₄ над 3-элементным полем Галуа 1 = F = Z/3Z определим (x₁, x₂, x₃, x₄) * (y₁, y₂, y₃, y₄) = (x₁, x₂, x₃, x₄) + (y₁, y₂, y₃, y₄) + (0, 0, 0, (x₃ − y₃)(x₁y₂ − x₂y₁)). Тогда (F₄, *) является коммутативной петлей Муфанга, которая не является группой. В более общем случае, ненулевые элементы любой алгебры с делением образуют квазигруппу с операцией умножения в этой алгебре.

Свойства

В остальной части статьи мы будем обозначать умножение квазигрупп просто приписыванием. Квазигруппы обладают свойством отмены: если 1=ab = ac, то b = c. Это следует из единственности левого деления ab или ac на a. Аналогично, если 1=ba = ca, то b = c.

Свойство латинского квадрата квазигрупп подразумевает, что, зная любые две из трех переменных в равенстве 1=xy = z, можно однозначно определить третью переменную.

Латинские квадраты

Таблица умножения конечной квазигруппы является латинским квадратом: таблицей n × n, заполненной n различными символами таким образом, что каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце. Обратно, любой латинский квадрат можно рассматривать как таблицу умножения квазигруппы многими способами: первый ряд (содержащий заголовки столбцов) и первый столбец (содержащий заголовки строк) могут быть любыми перестановками элементов. См. маленькие латинские квадраты и квазигруппы.

Бесконечные квазигруппы

Для счетно бесконечной квазигруппы Q можно представить себе бесконечный массив, в котором каждая строка и каждый столбец соответствуют некоторому элементу q из Q, а элемент a ∗ b находится в строке, соответствующей a, и столбце, соответствующем b. В этой ситуации также свойство латинского квадрата означает, что каждая строка и каждый столбец бесконечного массива содержат каждое возможное значение ровно один раз. Для несчетно бесконечной квазигруппы, такой как группа ненулевых действительных чисел относительно умножения, свойство латинского квадрата по-прежнему выполняется, хотя это название несколько неудовлетворительно, поскольку невозможно построить массив комбинаций, к которому можно было бы распространить вышеописанную идею бесконечного массива, так как все действительные числа нельзя записать в последовательность. (Однако это несколько вводит в заблуждение, поскольку действительные числа можно записать в последовательность длины , предполагая теорему о хорошем упорядочении.)

Морфизмы

Квазигрупповой или петлевой гомоморфизм — это отображение f : Q → P между двумя квазигруппами, такое что 1 = f(xy) = f(x)f(y). Гомоморфизмы квазигрупп обязательно сохраняют левое и правое деление, а также единичные элементы (если они существуют).

Гомотопия и изотопия

Пусть Q и P — квазигруппы. Гомотопия квазигруппы из Q в P — это тройка (α, β, γ) отображений из Q в P, такая что

для всех x, y из Q. Гомоморфизм квазигруппы — это просто гомотопия, для которой все три отображения равны. Изотопия — это гомотопия, для которой каждое из трех отображений (α, β, γ) является биекцией. Две квазигруппы изотопны, если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия (α, β, γ) задается перестановкой строк α, перестановкой столбцов β и перестановкой на базовом множестве элементов γ. Автотопия — это изотопия из квазигруппы в саму себя. Множество всех автотопий квазигруппы образует группу, с группой автоморфизмов в качестве подгруппы. Каждая квазигруппа изотопна циклу. Если петля изотопна группе, то она изоморфна этой группе и, следовательно, сама является группой. Однако квазигруппа, изотопная группе, не обязана быть группой. Например, квазигруппа на R с операцией умножения, заданной как (x, y) ↦ (x + y)/2, изотопна аддитивной группе (R, +), но сама по себе не является группой, так как не имеет нейтрального элемента. Каждая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе по теореме Брук–Тойода.

Конъюгация (парастрофа)

Левое и правое деление — примеры формирования квазигруппы путем перестановки переменных в определяющем уравнении. Из исходной операции ∗ (т.е. 1=x ∗ y = z) мы можем сформировать пять новых операций: 1=x o y := y ∗ x (противоположная операция), / и \, и их обратные. Это в общей сложности шесть квазигрупповых операций, которые называются сопряжёнными или парастрофами ∗. Любые две из этих операций называются "сопряжёнными" или "парастрофическими" друг к другу (и к самим себе).

Изостроф (паратопия)

Если множество Q имеет две операции квазигрупп, ∗ и ·, и одна из них изотопна сопряжённой другой, то операции называются изострофными друг к другу. Существуют также другие названия для этого отношения "изострофии", например, паратопия.

Полиадические или мультиарные квазигруппы

Квазигруппа с n-арной операцией — это множество с n-арной операцией, (Q, f), где f: Qⁿ → Q, такое, что уравнение 1 = f(x₁, …, xₙ) = y имеет единственное решение для любой переменной, если все остальные n переменных заданы произвольно. Полиадическая или мультиарная означает n-арная для некоторого неотрицательного целого числа n. 0-арная, или пустая, квазигруппа — это просто постоянный элемент Q. 1-арная, или унарная, квазигруппа — это биекция Q на само себя. Двоичная, или 2-арная, квазигруппа — это обычная квазигруппа. Примером мультиарной квазигруппы является итерированная групповая операция, 1 = y = x₁ · x₂ · … · xₙ; не требуется использовать скобки для указания порядка операций, поскольку группа ассоциативна. Также можно сформировать мультиарную квазигруппу, выполняя любую последовательность одинаковых или различных групповых или квазигрупповых операций, если порядок операций задан. Существуют мультиарные квазигруппы, которые нельзя представить ни одним из этих способов. n-арная квазигруппа называется необратимой, если её операция не может быть разложена на композицию двух операций следующим образом:
где 1 ≤ i < j ≤ n и (i, j) ≠ (1, n). Конечные необратимые n-арные квазигруппы существуют для всех n > 2; подробности см. в работе Akivis и Goldberg (2001). n-арная квазигруппа с n-арной версией ассоциативности называется n-арной группой.