Введение
Натуральное число, десятичное представление которого состоит из повторяющихся одинаковых цифр. В рекреационной математике репдигит, или иногда монодигит, — это натуральное число, состоящее из повторяющихся экземпляров одной и той же цифры в позиционной системе счисления (часто подразумевается десятичная). Слово является сочетанием слов "повторяющийся" и "цифра". Примеры: 11, 666, 4444 и 999999. Все репдигиты являются палиндромами и кратны репунитам. Другие известные репдигиты включают репунитные простые числа и, в частности, числа Мерсенна (которые являются репдигитами при представлении в двоичной системе). Репдигит — это представление числа в основании *b*, где *d* — повторяющаяся цифра, а *n* — количество повторений. Например, репдигит 77777 в десятичной системе равен *d*(b^n - 1)/(b - 1).
In recreational mathematics, a repdigit or sometimes monodigit is a natural number composed of repeated instances of the same digit in a positional number system (often implicitly decimal). The word is a portmanteau of "repeated" and "digit". Examples are 11, 666, 4444, and 999999. All repdigits are palindromic numbers and are multiples of repunits. Other well known repdigits include the repunit primes and in particular the Mersenne primes (which are repdigits when represented in binary). Repdigits are the representation in base of the number where is the repeated digit and is the number of repetitions. For example, the repdigit 77777 in base 10 is
A variation of repdigits called Brazilian numbers are numbers that can be written as a repdigit in some base, not allowing the repdigit 11, and not allowing the single digit numbers (or all numbers will be Brazilian). For example, 27 is a Brazilian number because 27 is the repdigit 33 in base 8, while 9 is not a Brazilian number because its only repdigit representation is 118, not allowed in the definition of Brazilian numbers. The representations of the form 11 are considered trivial and are disallowed in the definition of Brazilian numbers, because all natural numbers n greater than two have the representation 11n − 1. The first twenty Brazilian numbers are
7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33,
On some websites (including imageboards like 4chan), it is considered an auspicious event when the sequentially assigned ID number of a post is a repdigit, such as 22,222,222, which is one type of "GET" (others including round numbers like 34,000,000, or sequential digits like 12,345,678).
Вариацией репдигитов являются бразильские числа — числа, которые можно представить в виде репдигита в некоторой системе счисления, исключая репдигит 11 и однозначные числа (иначе все числа были бы бразильскими). Например, 27 является бразильским числом, так как 27 — это репдигит 33 в восьмеричной системе, а 9 не является бразильским числом, поскольку его единственное репдигитное представление — 118, что запрещено определением бразильских чисел. Представления вида 11 считаются тривиальными и не допускаются в определении бразильских чисел, поскольку все натуральные числа *n*, большие двух, имеют представление 11*n* − 1. Первые двадцать бразильских чисел: 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33.
In recreational mathematics, a repdigit or sometimes monodigit is a natural number composed of repeated instances of the same digit in a positional number system (often implicitly decimal). The word is a portmanteau of "repeated" and "digit". Examples are 11, 666, 4444, and 999999. All repdigits are palindromic numbers and are multiples of repunits. Other well known repdigits include the repunit primes and in particular the Mersenne primes (which are repdigits when represented in binary). Repdigits are the representation in base of the number where is the repeated digit and is the number of repetitions. For example, the repdigit 77777 in base 10 is
A variation of repdigits called Brazilian numbers are numbers that can be written as a repdigit in some base, not allowing the repdigit 11, and not allowing the single digit numbers (or all numbers will be Brazilian). For example, 27 is a Brazilian number because 27 is the repdigit 33 in base 8, while 9 is not a Brazilian number because its only repdigit representation is 118, not allowed in the definition of Brazilian numbers. The representations of the form 11 are considered trivial and are disallowed in the definition of Brazilian numbers, because all natural numbers n greater than two have the representation 11n − 1. The first twenty Brazilian numbers are
7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33,
On some websites (including imageboards like 4chan), it is considered an auspicious event when the sequentially assigned ID number of a post is a repdigit, such as 22,222,222, which is one type of "GET" (others including round numbers like 34,000,000, or sequential digits like 12,345,678).
На некоторых веб-сайтах (включая имиджборды, такие как 4chan) считается благоприятным событием, когда последовательно присвоенный идентификационный номер сообщения является репдигитом, например, 22 222 222, что является одним из типов "GET" (другие включают круглые числа, такие как 34 000 000, или последовательные цифры, такие как 12 345 678).
In recreational mathematics, a repdigit or sometimes monodigit is a natural number composed of repeated instances of the same digit in a positional number system (often implicitly decimal). The word is a portmanteau of "repeated" and "digit". Examples are 11, 666, 4444, and 999999. All repdigits are palindromic numbers and are multiples of repunits. Other well known repdigits include the repunit primes and in particular the Mersenne primes (which are repdigits when represented in binary). Repdigits are the representation in base of the number where is the repeated digit and is the number of repetitions. For example, the repdigit 77777 in base 10 is
A variation of repdigits called Brazilian numbers are numbers that can be written as a repdigit in some base, not allowing the repdigit 11, and not allowing the single digit numbers (or all numbers will be Brazilian). For example, 27 is a Brazilian number because 27 is the repdigit 33 in base 8, while 9 is not a Brazilian number because its only repdigit representation is 118, not allowed in the definition of Brazilian numbers. The representations of the form 11 are considered trivial and are disallowed in the definition of Brazilian numbers, because all natural numbers n greater than two have the representation 11n − 1. The first twenty Brazilian numbers are
7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33,
On some websites (including imageboards like 4chan), it is considered an auspicious event when the sequentially assigned ID number of a post is a repdigit, such as 22,222,222, which is one type of "GET" (others including round numbers like 34,000,000, or sequential digits like 12,345,678).
История
Понятие репцифры изучалось под этим названием по крайней мере с 1974 года, а ранее их называли "моноцифровыми числами". Число n > 0 называется "бразильским", если существует целое число b, такое, что 1 < b < n – 1, для которого представление числа n в системе счисления по основанию b записывается одинаковыми цифрами. Докажите, что 1994 является бразильским числом, а 1993 – нет.
Премии и штрафы
Чтобы репцифра была простой, она должна быть репунитом (т.е. повторяющаяся цифра равна 1) и иметь простое количество цифр в ее основании (за исключением тривиальных однозначных чисел), поскольку, например, репцифра 77777 делится на 7 в любой системе счисления больше 7. В частности, поскольку бразильские репуниты не допускают, чтобы количество цифр было ровно двумя, бразильские простые числа должны иметь нечетное простое количество цифр. Наличие нечетного простого количества цифр недостаточно для гарантии того, что репунит является простым; например, 21 = 111₄ = 3 × 7 и 111₁₀ = 111₁₀ = 3 × 37 не являются простыми. В любой системе счисления b каждое репунитное простое число в этой системе, за исключением 11b (если оно является простым), является бразильским простым числом. Наименьшие бразильские простые числа: 7 = 111₂, 13 = 111₃, 31 = 11111₂ = 111₅, 43 = 111₆, 73 = 111₈, 127 = 1111111₂, 157 = 1111₂.
7 = 1112, 13 = 1113, 31 = 111112 = 1115, 43 = 1116, 73 = 1118, 127 = 11111112, 157 = 11112,
В то время как сумма обратных величин простых чисел является расходящимся рядом, сумма обратных величин бразильских простых чисел является сходящимся рядом, значение которого, называемое «постоянной бразильских простых чисел», немного больше 0,33. Эта сходимость подразумевает, что бразильские простые числа составляют исчезающе малую долю всех простых чисел. Например, среди 3,7 × 10¹⁰ простых чисел, меньших 10¹², только 8,8 × 10⁴ являются бразильскими. Десятичные репунитные простые числа имеют вид для значений n, перечисленных в. Предполагается, что существует бесконечно много десятичных репунитных простых чисел. Двоичные репуниты — это числа Мерсена, а двоичные репунитные простые числа — это простые числа Мерсена. Неизвестно, существует ли бесконечно много бразильских простых чисел. Если гипотеза Батмана — Хорна верна, то для каждого простого количества цифр будет существовать бесконечно много репунитных простых чисел с этим количеством цифр (и, следовательно, бесконечно много бразильских простых чисел). В качестве альтернативы, если существует бесконечно много десятичных репунитных простых чисел или бесконечно много простых чисел Мерсена, то существует бесконечно много бразильских простых чисел. Поскольку бразильские простые числа составляют исчезающе малую долю всех простых чисел, существует бесконечно много небразильских простых чисел, образующих последовательность: 2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53, …
2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53,
Если число Ферма является простым, оно не является бразильским, но если оно составное, то является бразильским. Противореча предыдущему предположению, Реста, Маркус, Грантам и Грейвз обнаружили примеры простых чисел Софи Жермен, которые являются бразильскими, первым из которых является 28792661 = 1111173.
Небразильские композиты и репунити
Единственные положительные целые числа, которые могут быть не бразильскими, это 1, 6, простые числа и квадраты простых чисел, поскольку каждое другое число является произведением двух множителей x и y, где 1 < x < y − 1, и может быть записано как xx в системе счисления y − 1. Если квадрат простого числа p² является бразильским, то простое число p должно удовлетворять диофантовскому уравнению p² = 1 + b + b² + … + b^(q-1) с p, q ≥ 3 простыми числами и b ≥ 2. Норвежский математик Тригве Нагель доказал, что это уравнение имеет только одно решение, когда p – простое число, соответствующее (p, b, q) = (11, 3, 5). Следовательно, единственный квадрат простого числа, являющийся бразильским, это 11² = 121 = 11111₃. Существует также еще один нетривиальный квадрат репунита, решение (p, b, q) = (20, 7, 4), соответствующее 20² = 400 = 1111₇, но он не является исключением в классификации бразильских чисел, поскольку 20 не является простым числом. Совершенные степени, являющиеся репунитами с тремя или более цифрами в некоторой системе счисления b, описываются диофантовым уравнением Нагелла и Люнгрена t = 1 + b + b² + … + b^(q-1) с b, n, t > 1 и q > 2. Ян Бужо и Морис Миньотт предполагают, что только три совершенные степени являются бразильскими репунитами. Это 121, 343 и 400, два квадрата, перечисленные выше, и куб 343 = 7³ = 1111₈.
Нумерология
Некоторые популярные СМИ опубликовали статьи, предполагающие, что числа-репуниты обладают нумерологическим значением, называя их "ангельскими числами".