Кіріспе
Бір цифрдың қайталануынан құралған ондық өрнегі бар натурал сандар. Оқу математикасында репцифр немесе кейде моноцифр – позициялық сандар жүйесінде (көбінесе ондық жүйеде) бір цифрдың қайталануынан құралған натурал сан. Бұл сөз "қайталау" және "цифр" сөздерінің қосындысы. Мысалдар: 11, 666, 4444 және 999999. Барлық репцифрлар палиндромдық сандар және репуниттердің еселігі болып табылады. Басқа белгілі репцифрларға репуниттік жай сандар және әсіресе Мерсен жай сандары (екілік жүйеде көрсетілгенде репцифр болып табылады) жатады. Репцифрлар – белгілі бір негіздегі санның бейнесі, онда цифр қайталанады, ал қайталану саны – қайталанатын цифр. Мысалы, 10-дық жүйедегі 77777 репцифры. Репцифрлардың бір түрі – бразилиялық сандар, бұл сандарды кейбір негізде репцифр түрінде жазуға болады, бірақ 11 репцифрына және бір цифрлы сандарға рұқсат етілмейді (әйтпесе барлық сандар бразилиялық болады). Мысалы, 27 – бразилиялық сан, өйткені 27 – 8-дік жүйедегі 33 репцифры, ал 9 – бразилиялық сан емес, өйткені оның жалғыз репцифрлық бейнесі 118, бұл бразилиялық сандардың анықтамасына сәйкес келмейді. 11 түріндегі бейнелер тривиальды саналады және бразилиялық сандардың анықтамасында рұқсат етілмейді, өйткені екіден үлкен барлық натурал сандарды 11n – 1 түрінде көрсетуге болады. Бразилиялық сандардың алғашқы жиырмасы: 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33. Кейбір веб-сайттарда (соның ішінде 4chan сияқты бейне тақталарда) жазбаның тізбекпен берілген ID нөмірі репцифр болса, бұл жақсы оқиға деп есептеледі, мысалы 22,222,222, бұл "GET" түрінің бірі (басқалары 34,000,000 сияқты дөңгелек сандар немесе 12,345,678 сияқты тізбектелген цифрлар).
In recreational mathematics, a repdigit or sometimes monodigit is a natural number composed of repeated instances of the same digit in a positional number system (often implicitly decimal). The word is a portmanteau of "repeated" and "digit". Examples are 11, 666, 4444, and 999999. All repdigits are palindromic numbers and are multiples of repunits. Other well known repdigits include the repunit primes and in particular the Mersenne primes (which are repdigits when represented in binary). Repdigits are the representation in base of the number where is the repeated digit and is the number of repetitions. For example, the repdigit 77777 in base 10 is
A variation of repdigits called Brazilian numbers are numbers that can be written as a repdigit in some base, not allowing the repdigit 11, and not allowing the single digit numbers (or all numbers will be Brazilian). For example, 27 is a Brazilian number because 27 is the repdigit 33 in base 8, while 9 is not a Brazilian number because its only repdigit representation is 118, not allowed in the definition of Brazilian numbers. The representations of the form 11 are considered trivial and are disallowed in the definition of Brazilian numbers, because all natural numbers n greater than two have the representation 11n − 1. The first twenty Brazilian numbers are
7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33,
On some websites (including imageboards like 4chan), it is considered an auspicious event when the sequentially assigned ID number of a post is a repdigit, such as 22,222,222, which is one type of "GET" (others including round numbers like 34,000,000, or sequential digits like 12,345,678).
Тарих
Репцифрлық сандар ұғымы кем дегенде 1974 жылдан бері осы атаумен зерттеліп келеді, ал бұрын оларды "моноцифрлі сандар" деп атаған. n > 0 саны "бразилиялық" деп аталады, егер 1 < b < n – 1 болатын b бүтін саны табылатын болса, онда n санын b негізінде жазғанда барлық цифрлары бірдей болады. 1994 саны бразилиялық, ал 1993 саны бразилиялық емес екенін дәлелдеңіз.
Сыйлықақылар мен жазалар
Репцифрлық сан жай сан болуы үшін, ол репунит болуы керек (яғни қайталанатын цифр 1) және оның негізіндегі цифрлардың саны жай сан болуы керек (бір цифрлы сандарды есептемегенде), себебі, мысалы, 77777 репцифрлық саны кез келген 7-ден үлкен негізде 7-ге бөлінеді. Атап айтқанда, бразилиялық репуниттерде цифрлар саны екіге тең болмайтындықтан, бразилиялық жай сандардың цифрлар саны тақ және жай сан болуы керек. Цифрлардың тақ және жай саны болуы, репуниттің жай сан екендігіне кепілдік бермейді; мысалы, 21 = 1114 = 3 × 7 және 111 = 11110 = 3 × 37 жай сандар емес. Кез келген берілген b негізінде, 11b-ден басқа (егер ол жай сан болса), әрбір репунит жай саны – бразилиялық жай сан. Ең кішкентай бразилиялық жай сандар: 7 = 1112, 13 = 1113, 31 = 111112 = 1115, 43 = 1116, 73 = 1118, 127 = 11111112, 157 = 11112. Жай сандардың өзара қосындысы дивергентті қатар болса, бразилиялық жай сандардың өзара қосындысы конвергентті қатар болып табылады, оның мәні "Бразилиялық жай сандар тұрақтысы" деп аталады және ол 0,33-тен сәл үлкен. Бұл конвергенция бразилиялық жай сандардың барлық жай сандардың өте шағын бөлігін құрайтынын білдіреді. Мысалы, 1012-ден кіші 3,7×1010 жай санның ішінде тек 8,8×104-і ғана бразилиялық. Ондық репунит жай сандары n мәндері үшін келесі формада болады. Бинарлық репуниттер – Мерсен сандары, ал бинарлық репунит жай сандары – Мерсен жай сандары. Бразилиялық жай сандардың саны шексіз көп пе, жоқ па – белгісіз. Егер Бейтман-Хорн болжамы дұрыс болса, онда әрбір жай сан мөлшерінде сол санмен шексіз көп репунит жай сандары (және салдарынан шексіз көп бразилиялық жай сандар) болады. Сондай-ақ, егер ондық репунит жай сандары шексіз көп болса, немесе Мерсен жай сандары шексіз көп болса, онда бразилиялық жай сандар да шексіз көп болады. Бастапқы сандардың өте аз бөлігі бразилиялық болғандықтан, бразилиялық емес жай сандар шексіз көп, олар 2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53 тізбегін құрайды. Егер Ферма саны жай сан болса, ол бразилиялық емес, бірақ ол құрама сан болса, ол бразилиялық. Бұрынғы болжамға қайшы келетін Реста, Маркус, Грантам және Грейвс Софи Жермен жай сандарының бразилиялық екенін көрсетті, ал біріншісі 28792661 = 1111173.
7 = 1112, 13 = 1113, 31 = 111112 = 1115, 43 = 1116, 73 = 1118, 127 = 11111112, 157 = 11112,
While the sum of the reciprocals of the prime numbers is a divergent series, the sum of the reciprocals of the Brazilian prime numbers is a convergent series whose value, called the "Brazilian primes constant", is slightly larger than 0.33 This convergence implies that the Brazilian primes form a vanishingly small fraction of all prime numbers. For instance, among the 3.7×1010 prime numbers smaller than 1012, only 8.8×104 are Brazilian. The decimal repunit primes have the form for the values of n listed in It has been conjectured that there are infinitely many decimal repunit primes. The binary repunits are the Mersenne numbers and the binary repunit primes are the Mersenne primes. It is unknown whether there are infinitely many Brazilian primes. If the Bateman–Horn conjecture is true, then for every prime number of digits there would exist infinitely many repunit primes with that number of digits (and consequentially infinitely many Brazilian primes). Alternatively, if there are infinitely many decimal repunit primes, or infinitely many Mersenne primes, then there are infinitely many Brazilian primes. Because a vanishingly small fraction of primes are Brazilian, there are infinitely many non Brazilian primes, forming the sequence
2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53,
If a Fermat number is prime, it is not Brazilian, but if it is composite, it is Brazilian. Contradicting a previous conjecture, Resta, Marcus, Grantham, and Graves found examples of Sophie Germain primes that are Brazilian, the first one is 28792661 = 1111173.
Бразилиядан тыс композиттер мен репуниттер
Бразилиялық емес болатын жалғыз оң бүтін сандар – 1, 6, жай сандар және жай сандардың квадраттары, себебі басқа сандардың барлығы 1 < x < y − 1 болатын екі көбейткіш x және y-тің көбейтіндісі болып табылады және y − 1 негізінде xx түрінде жазылуы мүмкін. Егер p² жай санның квадраты бразилиялық болса, онда p жай саны p² = 1 + b + b² + … + b^(q-1) Диофанти теңдеуін қанағаттандыруы керек, мұнда p, q ≥ 3 жай сандар және b ≥ 2. Норвегиялық математик Тригве Нагелл бұл теңдеудің p – жай сан болғанда, (p, b, q) = (11, 3, 5) сәйкес келетін жалғыз шешімі бар екенін дәлелдеді. Сондықтан, бразилиялық болатын жалғыз жай санның квадраты – 11² = 121 = 11111₃. Сонымен қатар, тағы бір тривиальды емес репуниттік квадрат бар, оның шешімі (p, b, q) = (20, 7, 4) және 20² = 400 = 1111₇, бірақ бұл бразилиялық сандардың жіктелуі бойынша ерекше емес, өйткені 20 – жай сан емес. Кейбір b негізінде үш немесе одан көп таңбалы репуниттерге тең болатын толық дәрежелер Нагелл мен Люнгреннің Диофанти теңдеуімен сипатталады: n = 1 + b + b² + … + b^(q-1), мұнда b, n, t > 1 және q > 2. Ян Бюжо мен Морис Миньот бразилиялық репуниттердің тек үш толық дәрежесі ғана болатынын болжайды. Олар – 121, 343 және 400, жоғарыда аталған екі квадрат және 343 = 7³ = 1118₈ кубы.
Сандар туралы түсінік
Кейбір танымал бұқаралық ақпарат құралдары репунит сандарының нумерологиялық мағынасы бар екенін айтатын мақалалар жариялады, оларды "періште сандары" деп сипаттады.