Введение

Компрессируемый поток (или газодинамика) — это раздел механики жидкости, изучающий потоки со значительными изменениями плотности. Хотя все потоки в принципе сжимаемы, их обычно рассматривают как несжимаемые, когда число Маха (отношение скорости потока к скорости звука) меньше 0,3 (так как в этом случае изменение плотности, вызванное скоростью, составляет около 5%). Исследование компрессируемых потоков актуально для высокоскоростной авиации, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростного входа в атмосферу планеты, газопроводов, коммерческих применений, таких как абразивная обработка, и многих других областей.

История

Изучение газовой динамики часто связывают с полетом современных высокоскоростных самолетов и атмосферным возвращением космических аппаратов; однако ее истоки лежат в более простых устройствах. В начале XIX века исследования поведения выпущенных пуль привели к повышению точности и эффективности пушек и артиллерии. По мере развития столетия изобретатели, такие как Густав де Лаваль, продвигали эту область, а исследователи, такие как Эрнст Мах, стремились понять лежащие в основе физические явления посредством экспериментов. В начале XX века фокус исследований в области газовой динамики сместился в сторону того, что впоследствии стало аэрокосмической отраслью. Людвиг Прандтль и его ученики предложили важные концепции, охватывающие широкий спектр вопросов – от пограничного слоя до сверхзвуковых ударных волн, сверхзвуковых аэродинамических труб и конструкции сверхзвуковых сопел. Исторически, для углубления знаний в области газовой динамики преследовались два параллельных направления исследований. Экспериментальная газодинамика включает проведение экспериментов с моделями в аэродинамических трубах, а также эксперименты в ударных трубах и на полигонах с использованием оптических методов для регистрации результатов. Теоретическая газодинамика рассматривает уравнения движения, применимые к газу с переменной плотностью, и их решения. Большая часть фундаментальной газовой динамики носит аналитический характер, но в современную эпоху вычислительная гидродинамика использует вычислительные мощности для решения неразрешимых иным образом нелинейных частных дифференциальных уравнений сжимаемого течения для конкретных геометрий и характеристик потока.

Вводные понятия

В основе теории сжимаемого течения лежит несколько важных допущений. Все жидкости состоят из молекул, но отслеживание огромного количества отдельных молекул в потоке (например, при атмосферном давлении) излишне. Вместо этого, допущение о континууме позволяет рассматривать движущийся газ как непрерывную среду, за исключением областей низкой плотности. Это допущение обеспечивает значительное упрощение, которое справедливо для большинства задач газодинамики. Только в области низкой плотности, в динамике разреженных газов, движение отдельных молекул становится существенным. Связанным допущением является условие отсутствия проскальзывания, при котором скорость потока на твердой поверхности считается равной скорости самой поверхности, что является прямым следствием допущения о континуальном течении. Условие отсутствия проскальзывания подразумевает, что течение является вязким, и, как следствие, на телах, движущихся в воздухе на высоких скоростях, формируется пограничный слой, подобно тому, как это происходит в невысокоскоростном течении. Большинство задач в теории несжимаемого течения включают только две неизвестные: давление и скорость, которые обычно определяются путем решения двух уравнений, описывающих законы сохранения массы и импульса, при этом плотность жидкости считается постоянной. Однако в сжимаемом течении плотность и температура газа также становятся переменными. Для решения задач сжимаемого течения требуются еще два уравнения: уравнение состояния газа и уравнение сохранения энергии. Для большинства задач газодинамики простой закон идеального газа является подходящим уравнением состояния. В противном случае необходимо учитывать более сложные уравнения состояния и применять так называемую динамику несжимаемых жидкостей, не подчиняющихся идеальному уравнению состояния (NICFD). Задачи гидродинамики используют два основных типа систем координат: лагранжеву и эйлерову (см. работы Жозефа Луи Лагранжа и Леонарда Эйлера). Лагранжев подход отслеживает фиксированную массу жидкости по мере ее движения в поле течения. Эйлерова система координат, напротив, не движется вместе с жидкостью, а представляет собой неподвижную систему или контрольный объем, через который протекает жидкость. Эйлерова система наиболее удобна для большинства задач сжимаемого течения, но требует, чтобы уравнения движения были записаны в соответствующем формате. Наконец, хотя пространство известно как трехмерное, важное упрощение в математическом описании газодинамики достигается, если учитывать только одно пространственное измерение как основное, то есть предполагается одномерное течение. Это хорошо работает в задачах, связанных с потоком в каналах, соплах и диффузорах, где свойства потока изменяются главным образом в направлении течения, а не перпендикулярно ему. Однако важный класс сжимаемых течений, включая внешнее течение вокруг тел, движущихся на высоких скоростях, требует как минимум двухмерного рассмотрения. Когда важны все три пространственных измерения и, возможно, также временное измерение, мы часто прибегаем к численному решению управляющих уравнений.

Число Маха, движение волны и звуковая скорость

Число Маха (M) определяется как отношение скорости объекта (или потока) к скорости звука. Например, в воздухе при комнатной температуре скорость звука составляет около 343 м/с. Число Маха может варьироваться от 0 до ∞, но этот широкий диапазон естественным образом разделяется на несколько режимов течения. Эти режимы – дозвуковой, трансзвуковой, сверхзвуковой, гиперзвуковой и гиперскоростной. На рисунке ниже показан «спектр» числа Маха для этих режимов течения. Эти режимы течения не выбраны произвольно, а естественным образом возникают из строгой математической основы, лежащей в основе сжимаемых течений (см. указанные учебники). При очень низких скоростях течения скорость звука настолько велика, что ею математически пренебрегают, и число Маха становится нерелевантным. Однако, как только скорость течения приближается к скорости звука, число Маха становится критически важным, и начинают формироваться ударные волны. Таким образом, трансзвуковой режим описывается иным (и гораздо более сложным) математическим аппаратом. В сверхзвуковом режиме течению преобладает волновое движение под наклонными углами, подобными углу Маха. При значениях выше примерно 5 Маха эти углы волн становятся настолько малыми, что требуется другой математический подход, определяющий гиперзвуковой режим скорости. Наконец, при скоростях, сопоставимых со скоростью входа планеты в атмосферу с орбиты, в диапазоне нескольких км/с, скорость звука становится настолько относительно низкой, что ее снова математически игнорируют в гиперскоростном режиме. Когда объект ускоряется от дозвуковой к сверхзвуковой скорости в газе, возникают различные типы волновых явлений. Чтобы проиллюстрировать эти изменения, на следующей фигуре показана неподвижная точка (M = 0), излучающая симметричные звуковые волны. Скорость звука одинакова во всех направлениях в однородной среде, поэтому эти волны представляют собой просто концентрические сферы. Когда точка, генерирующая звук, начинает ускоряться, звуковые волны «сгущаются» в направлении движения и «растягиваются» в противоположном направлении. Когда точка достигает звуковой скорости (M = 1), она движется с той же скоростью, что и создаваемые ею звуковые волны. Следовательно, бесконечное число этих звуковых волн «накапливается» перед точкой, образуя ударную волну. Достигнув сверхзвукового течения, частица движется настолько быстро, что постоянно оставляет свои звуковые волны позади. Когда это происходит, геометрическое место этих волн, следующих за точкой, образует угол, известный как угол Маха, μ:

где – скорость звука в газе, а – скорость объекта. Хотя эти наклонные волны названы в честь австрийского физика Эрнста Маха, их впервые обнаружил Кристиан Доплер.

Максимально достижимая скорость газа

В конечном счете, в силу закона сохранения энергии, скорость газа ограничена определенным максимальным значением, определяемым его запасом энергии. Максимальная скорость, Vmax, которую может достичь газ, выражается следующим образом:

где cp – удельная теплоемкость газа, а Tt – температура торможения потока.

Достижение сверхзвукового потока

Как уже упоминалось, для того чтобы поток стал сверхзвуковым, он должен проходить через канал с минимальным сечением, или звуковое горло. Кроме того, для достижения числа Маха, равного 1, необходимо общее отношение давления Pb/Pt, приблизительно равное 2. Как только поток достигает числа Маха 1, говорят, что поток в горле становится заторможенным. Поскольку изменения параметров в нижней части потока могут распространяться вверх по потоку только со скоростью звука, массовый расход через сопло не может изменяться под воздействием изменений параметров в нижней части потока после достижения заторможенного режима.

Неэнтропический поток газа по 1D каналу - нормальные ударные волны

Нормальные ударные волны – это ударные волны, перпендикулярные местному направлению потока. Они возникают, когда волны давления нарастают и объединяются в чрезвычайно тонкую ударную волну, преобразующую кинетическую энергию в тепловую. Волны таким образом обгоняют и усиливают друг друга, формируя конечную ударную волну из бесконечного ряда бесконечно малых звуковых волн. Поскольку изменение состояния при прохождении через ударную волну сильно необратимо, энтропия возрастает при прохождении через ударную волну. При анализе нормальной ударной волны предполагается одномерное, стационарное и адиабатическое течение идеального газа. Температура торможения и энтальпия торможения одинаковы до и после ударной волны. Нормальные ударные волны можно легко анализировать в двух системах отсчета: в неподвижной нормальной ударной волне и в движущейся ударной волне. Течение перед нормальной ударной волной должно быть сверхзвуковым, а течение после нормальной ударной волны – дозвуковым. Уравнения Ранкина – Гюгонио используются для определения параметров течения.

Двумерный поток

Хотя одномерный поток можно анализировать напрямую, он является лишь частным случаем двухмерного потока. Следовательно, одно из определяющих явлений одномерного потока – нормальная ударная волна – также является лишь особым случаем более широкого класса косых ударных волн. Более того, термин "нормальная" относится к геометрии, а не к частоте встречаемости. Косые ударные волны гораздо чаще встречаются в таких областях применения, как: проектирование воздухозаборников летательных аппаратов, объекты в сверхзвуковом потоке и (на более фундаментальном уровне) сверхзвуковые сопла и диффузоры. В зависимости от условий потока, косая ударная волна может быть как прикрепленной к потоку, так и отсоединенной от него в форме ударного лука.

Наклонные ударные волны

Наклонные ударные волны аналогичны прямым ударным волнам, но возникают под углами менее 90° к направлению потока. Когда в поток вносится возмущение под ненулевым углом (δ), поток должен реагировать на изменяющиеся граничные условия. Таким образом, формируется наклонная ударная волна, приводящая к изменению направления потока.

Диаграмма полярных ударов

На основе величины отклонения потока (δ) косые удары классифицируются как сильные или слабые. Сильные удары характеризуются большим отклонением и большей потерей энтропии при прохождении через ударную волну, в то время как слабые удары – наоборот. Для получения общего представления о различиях между этими ударами можно использовать полярную диаграмму удара. Если известна статическая температура после удара, T*, скорость звука после удара определяется как:

где R – газовая постоянная, а γ – показатель адиабаты. Число Маха можно разложить на декартовы координаты:

где Vx и Vy – x и y компоненты скорости потока V. Зная число Маха перед ударной волной, можно определить множество возможных состояний. При некотором значении, поток переходит от сильного к слабому косому удару. При δ = 0° образуется нормальный удар на пределе сильного косого удара, а волна Маха – на пределе слабого ударного скачка.

Наклонное отражение удара

Вследствие наклона ударной волны, после образования косой ударной волны, она может взаимодействовать с границей тремя различными способами, два из которых описаны ниже.

Твердая граница

Входящий поток сначала отклоняется от своего первоначального направления на угол δ. Эта ударная волна отражается от твердой границы, и поток отклоняется на –δ, становясь снова параллельным границе. Важно отметить, что каждая последующая ударная волна становится слабее, а угол ее наклона увеличивается.

Нерегулярные отражения

Нерегулярное отражение во многом похоже на описанный выше случай, с той оговоркой, что δ превышает максимально допустимый угол отклонения. В этом случае формируется отрывное ударное возмущение и происходит более сложное отражение, известное как отражение Маха.

Фанаты Прандтл Майера

Вентиляторы Прандтля — Мейера могут проявляться как в виде волн сжатия, так и в виде волн расширения. Вентиляторы Прандтля — Мейера также пересекают пограничный слой (то есть, взаимодействуя с потоком и твердой поверхностью), который также по-разному реагирует на изменения. Когда ударная волна сталкивается с твердой поверхностью, образовавшийся вентилятор отражается как волна из противоположной серии, а при столкновении со свободной границей вентилятор отражается как вентилятор противоположного типа.

Вентиляторы Prandtl Meyer

До сих пор рассматривались только явления течения, такие как ударные волны, которые замедляют поток и увеличивают его энтропию. Сверхзвуковой поток можно ускорить с помощью того, что называется вентилятором Прандтля — Майера, названным в честь Людвига Прандтля и Теодора Майера. Механизм расширения показан на рисунке ниже. В отличие от течения, встречающего наклонное препятствие и формирующего косую ударную волну, течение расширяется вокруг вогнутого угла, образуя вентилятор расширения посредством серии изэнтропических волн Маха. "Вентилятор" расширения состоит из волн Маха, простирающихся от начального угла Маха до конечного угла Маха. Течение может расширяться как вокруг острого, так и вокруг скругленного угла, поскольку увеличение числа Маха пропорционально только углу выпуклости канала (δ). Угол расширения, формирующий вентилятор Прандтля — Майера, может быть острым (как показано на рисунке) или скругленным. Если общий угол разворота одинаков, то решение для течения P-M также будет одинаковым. Расширение Прандтля — Майера можно рассматривать как физическое объяснение принципа работы сопла Лаваля. Контур сопла создает плавную и непрерывную серию волн расширения Прандтля — Майера.

Вентиляторы сжатия Prandtl Meyer

Сжатие Прандтля–Мейера – это явление, обратное расширению Прандтля–Мейера. Если поток постепенно поворачивается на угол δ, может образоваться волна сжатия. Эта волна состоит из серии волн Маха, которые в конечном итоге сливаются в косой скачок уплотнения. Поскольку поток характеризуется изэнтропической областью (поток, проходящий через волну сжатия) и анизоэнтропической областью (поток, проходящий через косой скачок уплотнения), между этими двумя областями потока возникает линия разрыва.

Сверхзвуковые ветряные туннели

Сверхзвуковые аэродинамические трубы используются для испытаний и исследований в сверхзвуковых потоках, примерно в диапазоне чисел Маха от 1,2 до 5. Принцип работы аэродинамической трубы заключается в поддержании большой разницы давления между начальным и конечным участками, что и создает поток. Аэродинамические трубы можно разделить на две категории: трубы непрерывного и прерывистого действия. Для работы сверхзвуковых аэродинамических труб непрерывного действия требуется независимый источник электроэнергии, потребность в которой резко возрастает с увеличением размера испытательного сектора. Аэродинамические трубы прерывистого действия менее затратны, поскольку они накапливают электроэнергию в течение длительного времени, а затем разряжают ее в ходе серии кратковременных испытаний. Эта разница аналогична сравнению между аккумулятором и конденсатором. Аэродинамические трубы с продувкой запасом (blowdown) обеспечивают высокое число Рейнольдса, небольшой накопительный резервуар и легкодоступный сухой воздух. Однако они создают опасность высокого давления, затрудняют поддержание постоянного давления на заборе и отличаются высоким уровнем шума во время работы. Аэродинамические трубы с всасыванием (indraft) не связаны с риском высокого давления, позволяют поддерживать постоянное давление на заборе и работают относительно тихо. К сожалению, они имеют ограниченный диапазон чисел Рейнольдса и требуют большого вакуумного резервуара. Нет сомнений в том, что знания приобретаются в результате исследований и испытаний в сверхзвуковых аэродинамических трубах; однако, для поддержания высоких перепадов давления, необходимых для создания условий испытаний, эти установки часто требуют огромного количества энергии. Например, в Арнольдском инженерно-исследовательском комплексе находится самая большая в мире сверхзвуковая аэродинамическая труба, для работы которой требуется мощность, сопоставимая с потребностями небольшого города. По этой причине крупные аэродинамические трубы становятся все менее распространенными в университетах.

Сверхзвуковые входы для самолетов

Возможно, наиболее распространенным применением наклонных ударных волн является конструкция воздухозаборников сверхзвуковых самолетов при скоростях, превышающих примерно 2 Маха (F-16 имеет максимальную скорость 2 Маха, но не требует воздухозаборника с наклонной ударной волной). Одной из задач воздухозаборника является минимизация потерь при прохождении ударных волн при замедлении поступающего сверхзвукового потока до дозвукового перед попаданием в турбореактивный двигатель. Это достигается с помощью одной или нескольких наклонных ударных волн, за которыми следует очень слабая нормальная ударная волна, при этом число Маха перед ней обычно меньше 1,4. Воздушный поток через воздухозаборник должен правильно управляться в широком диапазоне скоростей – от нуля до максимальной сверхзвуковой. Это осуществляется путем изменения положения поверхностей воздухозаборника. Хотя для обеспечения приемлемых характеристик при взлете и на скоростях, превышающих 2 Маха, требуется изменяемая геометрия, не существует единого способа ее реализации. Например, для максимальной скорости около 3 Махов XB-70 использовал прямоугольные воздухозаборники с регулируемыми отклоняющими пластинами, а SR-71 – круглые воздухозаборники с регулируемым входным конусом.