Введение

Уравнение в динамике жидкостей
Уравнение Дарси — Вейсбаха — это эмпирическое уравнение, которое связывает потери напора, или потери давления, вызванные трением на заданном участке трубопровода, со средней скоростью потока несжимаемой жидкости. Уравнение названо в честь Генри Дарси и Юлиуса Вейсбаха. В настоящее время не существует формулы точнее или более универсальной, чем уравнение Дарси — Вейсбаха, дополненное диаграммой Муди или уравнением Кольбрука. Уравнение Дарси — Вейсбаха содержит безразмерный коэффициент трения, известный как коэффициент трения Дарси. Он также известен как коэффициент трения Дарси — Вейсбаха, коэффициент трения, коэффициент гидравлического сопротивления или коэффициент расхода.

Коэффициент трения Дарси

Коэффициент трения fD не является постоянной величиной: он зависит от таких факторов, как характеристики трубы (диаметр D и высота шероховатости ε), характеристики жидкости (её кинематическая вязкость ν [nu]) и средняя скорость потока жидкости ⟨v⟩. Он измерен с высокой точностью в определенных режимах течения и может быть оценен с использованием различных эмпирических соотношений или получен из опубликованных графиков. Эти графики часто называют диаграммами Муди, по имени Л. Ф. Муди, и поэтому сам коэффициент иногда ошибочно называют коэффициентом трения Муди. Его также иногда называют коэффициентом трения Блазиуса, по названию приближенной формулы, предложенной им. На рисунке 1 показаны значения fD, измеренные экспериментально для различных жидкостей в широком диапазоне чисел Рейнольдса и для труб с различной высотой шероховатости. В этих данных можно выделить три основных режима течения жидкости: ламинарный, переходный и турбулентный.

Критический режим

Для чисел Рейнольдса в диапазоне 2000 < Re < 4000 поток является неустановившимся (резко изменяется во времени) и меняется от одного сечения трубы к другому (не является "развитым"). В этом потоке происходит начальное формирование вихрей; он недостаточно изучен.

Турбулентный режим

Для числа Рейнольдса, превышающего 4000, поток становится турбулентным; сопротивление потоку определяется уравнением Дарси-Вейсбаха: оно пропорционально квадрату средней скорости потока. В диапазоне чисел Рейнольдса, охватывающем множество порядков величины (4000 < Re < 10^(8)), коэффициент гидравлического трения изменяется менее чем на один порядок величины (0,006 < fD < 0,06). Внутри турбулентного режима течение может быть дополнительно разделено на режим, при котором стенка трубы фактически гладкая, и режим, при котором высота шероховатости стенки играет существенную роль.

Расчет коэффициента трения из его параметризации

Для турбулентного потока методы определения коэффициента трения fD включают использование диаграммы, такой как диаграмма Муди, или решение уравнений, таких как уравнение Колебрук-Уайта (которое лежит в основе диаграммы Муди) или уравнение Свами-Джейна. Хотя уравнение Колебрук-Уайта в общем случае требует итерационного решения, уравнение Свами-Джейна позволяет непосредственно определить fD для полностью заполненной трубы круглой формы.

История

Исторически это уравнение возникло как вариант уравнения Прони; этот вариант был разработан Генри Дарси во Франции и впоследствии доработан до современной формы Юлиусом Вайсбахом из Саксонии в 1845 году. Изначально отсутствовали данные о зависимости fD от скорости, поэтому в ряде случаев уравнение Дарси — Вейсбаха уступало эмпирическому уравнению Прони. Впоследствии оно часто заменялось в частных случаях различными эмпирическими уравнениями, справедливыми лишь для определенных режимов течения, в частности уравнением Хазена — Уильямса или уравнением Мэннинга, которые в большинстве случаев были значительно проще в вычислениях. Однако с появлением калькуляторов простота вычислений перестала быть существенным фактором, и благодаря своей универсальности уравнение Дарси — Вейсбаха стало предпочтительным.

Вывод по измерению

Вдали от концов трубы характеристики потока не зависят от положения вдоль трубы. Ключевыми величинами являются падение давления вдоль трубы на единицу длины, Δp/L, и объемный расход. Скорость потока можно преобразовать в среднюю скорость потока V, разделив ее на смачиваемую площадь потока (которая равна площади поперечного сечения трубы, если труба заполнена жидкостью). Давление имеет размерность энергии на единицу объема, поэтому падение давления между двумя точками должно быть пропорционально динамическому давлению q. Мы также знаем, что давление должно быть пропорционально длине трубы между двумя точками L, поскольку падение давления на единицу длины является постоянной величиной. Чтобы преобразовать это соотношение в коэффициент пропорциональности – безразмерную величину, мы можем разделить на гидравлический диаметр трубы D, который также постоянен вдоль трубы. Таким образом, коэффициент пропорциональности является безразмерным "фактором трения Дарси" или "коэффициентом расхода". Этот безразмерный коэффициент представляет собой комбинацию геометрических факторов, таких как π, число Рейнольдса и (вне ламинарного режима) относительную шероховатость трубы (отношение высоты шероховатости к гидравлическому диаметру). Важно отметить, что динамическое давление не является кинетической энергией жидкости на единицу объема по следующим причинам. Даже в случае ламинарного потока, когда все линии тока параллельны длине трубы, скорость жидкости на внутренней поверхности трубы равна нулю из-за вязкости, а скорость в центре трубы, следовательно, должна быть больше средней скорости, полученной путем деления объемного расхода на смачиваемую площадь. Средняя кинетическая энергия, таким образом, включает в себя среднеквадратичную скорость, которая всегда превышает среднюю скорость. В случае турбулентного потока жидкость приобретает случайные компоненты скорости во всех направлениях, включая перпендикулярные длине трубы, и, следовательно, турбулентность вносит вклад в кинетическую энергию на единицу объема, но не в среднюю продольную скорость жидкости.

Практическое применение

В гидравлическом применении, как правило, критически важными факторами являются объемный расход Q в трубе (то есть ее пропускная способность) и потери напора на единицу длины S (сопутствующее энергопотребление). Практическим следствием является то, что при фиксированном объемном расходе Q потери напора S уменьшаются обратно пропорционально пятой степени диаметра трубы D. Удвоение диаметра трубы определенного номинального ряда (например, ANSI schedule 40) примерно удваивает количество материала, необходимого на единицу длины, и, следовательно, ее стоимость монтажа. При этом потери напора уменьшаются в 32 раза (приблизительно на 97%). Таким образом, энергия, затрачиваемая на перемещение заданного объемного расхода жидкости, значительно снижается при умеренном увеличении капитальных затрат.

Преимущества

Точность и универсальная применимость формулы Дарси-Вейсбаха делают её идеальной для расчёта течения в трубах. Преимущества этой формулы заключаются в следующем:

Она основана на фундаментальных принципах. Она размерно однородна. Она применима к любой жидкости, включая нефть, газ, рассолы и шламы. Она может быть выведена аналитически в области ламинарного течения. Она полезна в переходной области между ламинарным и полностью развитым турбулентным течениями. Зависимость коэффициента трения хорошо изучена и задокументирована.