Введение

Положительное целое число, являющееся произведением трех различных простых чисел. В теории чисел сфеническое число (от греч. σφήνη — «клин») — это положительное целое число, являющееся произведением трех различных простых чисел. Поскольку существует бесконечно много простых чисел, существует также бесконечно много сфенических чисел.

Определение

Сфеническое число — это произведение pqr, где p, q и r — три различных простых числа. Иными словами, сфенические числа — это безквадратные числа, имеющие ровно три различных простых делителя.

Делители

Все сфенические числа имеют ровно восемь делителей. Если сфеническое число выражается как , где p, q и r – различные простые числа, то множество делителей n будет:

Обратное утверждение неверно. Например, 24 не является сфеническим числом, но имеет ровно восемь делителей.

Свойства

Все сфенические числа по определению не содержат квадратов в своей разложении на простые множители, поскольку их простые множители должны быть различными. Функция Мёбиуса любого сфенического числа равна −1. Циклотомные полиномы, рассматриваемые для всех сфенических чисел n, могут содержать коэффициенты сколь угодно большой величины (для n, являющегося произведением двух простых чисел, коэффициенты равны 1 или 0). Любое кратное сфенического числа (за исключением 1) не является сфеническим. Это легко доказать, поскольку при умножении добавляется как минимум ещё один простой множитель или существующий множитель возводится в более высокую степень.

Последовательные сфенические числа

Первый случай двух последовательных сфенических чисел – 230 = 2×5×23 и 231 = 3×7×11. Первый случай из трех – 1309 = 7×11×17, 1310 = 2×5×131 и 1311 = 3×19×23. Случаев, когда их больше трех, не существует, поскольку каждое четвертое последовательное положительное целое число делится на 4 = 2×2 и, следовательно, не является безквадратным. Числа 2013 (3×11×61), 2014 (2×19×53) и 2015 (5×13×31) все сфенические. Следующие три последовательных сфенических числа будут 2665 (5×13×41), 2666 (2×31×43) и 2667 (3×7×127).