Введение
Матрица с одной ненулевой записью в каждой строке и каждом столбце. В математике обобщённая матрица перестановок (или мономиальная матрица) — это матрица, имеющая ту же структуру ненулевых элементов, что и матрица перестановок, то есть в каждой строке и каждом столбце ровно одна ненулевая запись. В отличие от матрицы перестановок, где ненулевой элемент должен быть равен 1, в обобщённой матрице перестановок ненулевой элемент может быть любым ненулевым числом. Примером обобщённой матрицы перестановок является
In mathematics, a generalized permutation matrix (or monomial matrix) is a matrix with the same nonzero pattern as a permutation matrix, i. e. there is exactly one nonzero entry in each row and each column. Unlike a permutation matrix, where the nonzero entry must be 1, in a generalized permutation matrix the nonzero entry can be any nonzero value. An example of a generalized permutation matrix is
Структура
Инвертируемая матрица A является обобщенной матрицей перестановок тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде произведения инвертируемой диагональной матрицы D и (подразумеваемо инвертируемой) матрицы перестановок P: то есть,
Подгруппы
Подгруппа, в которой все элементы равны 1, это как раз матрицы перестановок, изоморфные симметрической группе. Подгруппа, в которой все элементы равны ±1, – это матрицы перестановок со знаком, которые образуют гипероктаэдрическую группу. Подгруппа, элементы которой являются m-ми корнями из единицы, изоморфна обобщенной симметрической группе. Подгруппа диагональных матриц является абелевой, нормальной и максимальной абелевой подгруппой. Факторгруппа изоморфна симметрической группе, и эта конструкция фактически является группой Вейля общей линейной группы: диагональные матрицы образуют максимальный тор в общей линейной группе (и являются своим собственным централизатором), обобщенные матрицы перестановок являются нормализатором этого тора, а факторгруппа – группой Вейля.
Свойства
Если несингулярная матрица и ее обратная матрица являются неотрицательными (то есть, содержат только неотрицательные элементы), то эта матрица является обобщенной матрицей перестановок. Определитель обобщенной матрицы перестановок равен , где – знак перестановки, соответствующей , а – диагональные элементы матрицы .
Обобщения
Можно обобщить еще дальше, разрешив элементам лежать в кольце, а не в поле. В этом случае, если ненулевые элементы требуются быть обратимыми в кольце, то снова получается группа. С другой стороны, если ненулевые элементы требуются быть только ненулевыми, но не обязательно обратимыми, то этот набор матриц образует полугруппу. Также можно схематически допустить, чтобы ненулевые элементы лежали в группе G, при этом понимая, что умножение матриц будет включать только умножение одной пары элементов группы, а не "сложение" элементов группы. Это злоупотребление обозначениями, поскольку элементы матриц, участвующие в умножении, должны допускать как умножение, так и сложение, но это наводит на мысль о (формально корректной) абстрактной группе – венцевом произведении группы G на симметрическую группу.
Группа пермутации с подписью
Матрица пермутации с подписью — это обобщённая матрица перестановки, ненулевые элементы которой равны ±1, и являющаяся целочисленной обобщённой матрицей перестановки с целочисленной обратной матрицей.
Свойства
Это группа Коксетера, порядок которой равен . Это группа симметрий гиперкуба и (дуально) перекрестного политопа. Её подгруппа индекса 2, состоящая из матриц с детерминантом, равным соответствующей (беззнаковой) перестановке, является группой Коксетера и является группой симметрий демигиперкуба. Она является подгруппой ортогональной группы.
Мономиальные представления
Мономиальные матрицы возникают в теории представлений в контексте мономиальных представлений. Мономиальное представление группы G — это линейное представление ρ : G → GL(n, F) группы G (где F — определяющее поле представления), такое что образ ρ(G) является подгруппой группы мономиальных матриц.