Введение

Концепция в математике
В математике кардинал Мало — это определённый вид большого кардинального числа. Как и все большие кардиналы, существование ни одной из разновидностей кардиналов Мало нельзя доказать в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечива). Кардинальное число называется сильно Мало, если оно сильно недоступно и множество {α < κ | α сильно недоступно} стационарно в κ. Кардинал называется слабо Мало, если он слабо недоступен и множество слабо недоступных кардиналов, меньших κ, стационарно в κ.
Термин "кардинал Мало" обычно подразумевает "сильно кардинал Мало", хотя кардиналы, первоначально рассматриваемые Мало, были слабо кардиналами Мало.

Минимальное условие, достаточное для кардинала Мало

Если κ является предельным ординалом и множество регулярных ординалов, меньших κ, стационарно в κ, то κ слабо Мало. Основная трудность в доказательстве этого состоит в том, чтобы показать, что κ регулярно. Предположим, что κ не является регулярным, и построим клубное множество, которое даст нам μ такое, что: μ = cf(μ) < cf(κ) < μ < κ, что является противоречием. Если бы κ не было регулярным, то cf(κ) < κ. Мы могли бы выбрать строго возрастающую и непрерывную последовательность длины cf(κ), начинающуюся с cf(κ)+1 и имеющую κ в качестве своего предела. Пределы этой последовательности были бы клубными в κ. Следовательно, среди этих пределов должна быть регулярная μ. Таким образом, μ является пределом начальной подпоследовательности последовательности длины cf(κ). Следовательно, её кофинальность одновременно меньше и больше кофинальности κ, что является противоречием. Таким образом, предположение о том, что κ не является регулярным, должно быть ложным, то есть κ регулярно. Ниже не может существовать стационарного множества с требуемым свойством, поскольку {2, 3, 4, …} является клубным в ω, но не содержит регулярных ординалов; следовательно, κ несчетно. И это регулярный предел регулярных кардиналов; следовательно, оно слабо недоступно. Затем множество несчётных предельных кардиналов, меньших κ, используется как клубное множество, чтобы показать, что стационарное множество можно считать состоящим из слабых недоступных кардиналов. Если κ слабо Мало и также является сильным пределом, то κ Мало. κ слабо недоступно и является сильным пределом, поэтому оно сильно недоступно. Мы покажем, что множество несчётных сильных предельных кардиналов, меньших κ, является клубным в κ. Пусть μ₀ будет больше порога и ω₁. Для каждого конечного n пусть μₙ₊₁ = 2μₙ, что меньше κ, поскольку это сильный предельный кардинал. Тогда их предел является сильным предельным кардиналом и меньше κ по своей регулярности. Пределы несчётных сильных предельных кардиналов также являются несчётными сильными предельными кардиналами. Следовательно, их множество клубно в κ. Пересечём это клубное множество со стационарным множеством слабых недоступных кардиналов, меньших κ, чтобы получить стационарное множество сильно недоступных кардиналов, меньших κ.

Пример: показывает, что кардиналы Мало κ являются κ-недоступными (гипер-недоступными)

Термин "гипернедоступный" неоднозначен. В этом разделе кардинал κ называется гипернедоступным, если он κ-недоступен (в отличие от более распространенного значения 1-недоступного). Предположим, κ — число Мало. Мы докажем трансфинитную индукцию по α, что κ является α-недоступным для любого α ≤ κ. Поскольку κ — число Мало, κ недоступен; и, следовательно, 0-недоступен, что то же самое. Если κ является α-недоступным, то существуют β-недоступные (для β < α), сколь угодно близкие к κ. Рассмотрим множество одновременных пределов таких β-недоступных, больших некоторого порога, но меньших κ. Оно неограничено в κ (представьте себе последовательное рассмотрение β-недоступных для β < α, ω раз выбирая каждый раз больший кардинал, а затем беря предел, который меньше κ по регулярности – это не выполняется, если α ≥ κ). Оно замкнуто, следовательно, является клубным множеством в κ. Таким образом, по свойству Мало для κ, оно содержит недоступный кардинал. Этот недоступный кардинал на самом деле является α-недоступным. Следовательно, κ является (α+1)-недоступным. Если λ ≤ κ — предельное ординальное число, и κ является α-недоступным для всех α < λ, то каждое β < λ также меньше некоторого α < λ. Таким образом, этот случай тривиален. В частности, κ является κ-недоступным и, следовательно, гипернедоступным. Чтобы показать, что κ является пределом гипернедоступных кардиналов и, следовательно, 1-гипернедоступным, необходимо показать, что диагональное множество кардиналов μ < κ, которые являются α-недоступными для каждого α < μ, является клубным множеством в κ. Выберем 0-недоступный кардинал, больший порога, и назовем его α₀. Затем выберем α₀-недоступный кардинал, и назовем его α₁. Продолжайте повторять это, беря пределы в предельных точках, пока не достигнете неподвижной точки, и назовем ее μ. Тогда μ обладает требуемым свойством (являясь одновременным пределом α-недоступных кардиналов для всех α < μ) и меньше κ по регулярности. Пределы таких кардиналов также обладают этим свойством, поэтому их множество является клубным в κ. По свойству Мало для κ, в этом множестве есть недоступный кардинал, который является гипернедоступным. Следовательно, κ является 1-гипернедоступным. Мы можем пересечь это клубное множество со стационарным множеством, меньшим κ, чтобы получить стационарное множество гипернедоступных кардиналов, меньших κ. Остальная часть доказательства того, что κ является α-гипернедоступным, повторяет доказательство того, что он является α-недоступным. Следовательно, κ является гипер-гипернедоступным и так далее.

Кардиналы Мало и принципы рефлексии

Аксиома F – это утверждение о том, что любая нормальная функция на ординалах имеет регулярную неподвижную точку. (Это не аксиома первого порядка, поскольку она квантифицируется по всем нормальным функциям, поэтому её можно рассматривать как аксиому второго порядка или как схему аксиом). Кардинал называется Мало, если любая нормальная функция на нём имеет регулярную неподвижную точку, поэтому аксиома F в некотором смысле утверждает, что класс всех ординалов является Мало. Кардинал κ является Мало тогда и только тогда, когда форма аксиомы F второго порядка выполняется в Vκ. Аксиома F, в свою очередь, эквивалентна утверждению о том, что для любой формулы φ с параметрами существуют сколь угодно большие недоступные ординалы α, такие, что Vα отражает φ (иными словами, φ выполняется в Vα тогда и только тогда, когда она выполняется во всей вселенной).

Появление в диагонализации Бореля

показал, что существование кардиналов Мало является необходимым предположением в определенном смысле для доказательства некоторых теорем о функциях Бореля на произведениях замкнутого единичного интервала. Пусть – -кратное итерированное декартово произведение замкнутого единичного интервала с самим собой. Группа всех перестановок множества натуральных чисел, перемещающих лишь конечное число элементов, может рассматриваться как действующая на перестановкой координат. Групповое действие также действует диагонально на любом из произведений , определяя, как обозначение, если и лежат в одной орбите под этим диагональным действием. Пусть – функция Бореля, такая, что для любых и , если , то существует последовательность такая, что для всех последовательностей индексов , является первой координатой этой последовательности. Эта теорема доказуема в ZFC, но не в любой теории, содержащей ZFC и отрицающей существование кардиналов Мало для некоторого фиксированного .