Проблема Суслина и гипотеза Суслина в теории множеств
Suslin's problem
Проблема Суслина в математике: независимость от ZFC, существование неизоморфных R упорядоченных множеств (Суслин-линии). Гипотеза Суслина и её решение.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике проблема Суслина — это вопрос о вполне упорядоченных множествах, сформулированный и опубликованный посмертно. Было доказано, что она независима от стандартной аксиоматической системы теории множеств, известной как ZFC; показано, что это утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из этих аксиом, при условии, что ZF непротиворечива. (Суслин также иногда пишется с французской транслитерацией как Souslin, от кириллицы Суслин.)
In mathematics, Suslin's problem is a question about totally ordered sets posed by and published posthumously. It has been shown to be independent of the standard axiomatic system of set theory known as ZFC; showed that the statement can neither be proven nor disproven from those axioms, assuming ZF is consistent. (Suslin is also sometimes written with the French transliteration as Souslin, from the Cyrillic Суслин.)
Последствия
Любое полностью упорядоченное множество, которое не изоморфно R, но удовлетворяет свойствам 1–4, известно как линия Суслина. Гипотеза Суслина утверждает, что линий Суслина не существует: что каждое счетное условие цепи, плотное полное линейное упорядочение без конечных точек, изоморфно вещественной прямой. Эквивалентное утверждение состоит в том, что каждое дерево высоты ω1 либо имеет ветвь длины ω1, либо антицепочку кардинальности ℵ1. Обобщенная гипотеза Суслина утверждает, что для каждого бесконечного регулярного кардинала κ каждое дерево высоты κ либо имеет ветвь длины κ, либо антицепочку кардинальности κ. Существование линий Суслина эквивалентно существованию деревьев Суслина и алгебр Суслина. Гипотеза Суслина независима от ZFC, и независимо были использованы методы принуждения для построения моделей ZFC, в которых существуют линии Суслина. Дженсен позже доказал, что линии Суслина существуют, если принять принцип ромба, следствие аксиомы конструктивности V = L. (Результат Дженсена был неожиданным, поскольку ранее предполагалось, что V = L влечет отсутствие линий Суслина, на том основании, что V = L влечет, что существует "мало" множеств.) С другой стороны, были использованы методы принуждения для построения модели ZFC без линий Суслина; точнее, было показано, что аксиома Мартина вместе с отрицанием гипотезы континуума влечет гипотезу Суслина. Гипотеза Суслина также независима как от обобщенной гипотезы континуума (доказано Рональдом Дженсеном), так и от отрицания гипотезы континуума. Неизвестно, согласуема ли обобщенная гипотеза Суслина с обобщенной гипотезой континуума; однако, поскольку их комбинация влечет отрицание принципа квадрата при сингулярном сильном предельном кардинале — фактически, при всех сингулярных кардиналах и всех регулярных последовательных кардиналах — это влечет, что аксиома детерминированности выполняется в L(R) и, как полагают, влечет существование внутренней модели с суперсильным кардиналом.
Any totally ordered set that is not isomorphic to R but satisfies properties 1–4 is known as a Suslin line. The Suslin hypothesis says that there are no Suslin lines: that every countable chain condition dense complete linear order without endpoints is isomorphic to the real line. An equivalent statement is that every tree of height ω1 either has a branch of length ω1 or an antichain of cardinality ℵ1. The generalized Suslin hypothesis says that for every infinite regular cardinal κ every tree of height κ either has a branch of length κ or an antichain of cardinality κ. The existence of Suslin lines is equivalent to the existence of Suslin trees and to Suslin algebras. The Suslin hypothesis is independent of ZFC. and independently used forcing methods to construct models of ZFC in which Suslin lines exist. Jensen later proved that Suslin lines exist if the diamond principle, a consequence of the axiom of constructibility V = L, is assumed. (Jensen's result was a surprise, as it had previously been conjectured that V = L implies that no Suslin lines exist, on the grounds that V = L implies that there are "few" sets.) On the other hand, used forcing to construct a model of ZFC without Suslin lines; more precisely, they showed that Martin's axiom plus the negation of the continuum hypothesis implies the Suslin hypothesis. The Suslin hypothesis is also independent of both the generalized continuum hypothesis (proved by Ronald Jensen) and of the negation of the continuum hypothesis. It is not known whether the generalized Suslin hypothesis is consistent with the generalized continuum hypothesis; however, since the combination implies the negation of the square principle at a singular strong limit cardinal—in fact, at all singular cardinals and all regular successor cardinals—it implies that the axiom of determinacy holds in L(R) and is believed to imply the existence of an inner model with a superstrong cardinal.