Введение

Концепция в теории множеств
В математической дисциплине теории множеств 0# (нуль-шарп, также 0#) — это множество истинных формул об неразличимых элементах и неразличимых по порядку элементах в конструктивной вселенной Гёделя. Оно часто кодируется как подмножество натуральных чисел (с использованием нумерации Гёделя), или как подмножество наследственно конечных множеств, или как действительное число. Его существование недоказуемо в ZFC, стандартной форме аксиоматической теории множеств, но вытекает из подходящей аксиомы больших кардиналов. Впервые оно было введено как множество формул в диссертации Сильвера 1966 года, позже опубликованной как , где оно было обозначено Σ, и вновь открыто , который рассматривал его как подмножество натуральных чисел и ввел обозначение O# (с заглавной буквой O; впоследствии это изменилось на цифру '0'). Грубо говоря, если 0# существует, то вселенная V множеств значительно больше, чем вселенная L конструктивных множеств, а если оно не существует, то вселенная всех множеств хорошо приближается конструктивными множествами.

Заявления, предполагающие существование

Условие о существовании кардинала Рамзи, влекущее существование 0#, может быть ослаблено. Существование кардиналов Эрдоша мощности ω1 влечет существование 0#. Это близко к оптимальному результату, поскольку существование 0# влечет, что в конструктивной вселенной существует кардинал Эрдоша для всех счетных α, поэтому такие кардиналы нельзя использовать для доказательства существования 0#. Предположение Чанга влечет существование 0#.

Заявления, эквивалентные существованию

Кунен показал, что 0# существует тогда и только тогда, когда существует нетривиальное элементарное вложение построяемой вселенной Гёделя L в себя. Дональд А. Мартин и Лео Харрингтон показали, что существование 0# эквивалентно детерминированности аналитических игр без индексации. Фактически, стратегия для универсальной аналитической игры без индексации имеет ту же степень Тьюринга, что и 0#. Из теоремы Дженсена следует, что существование 0# эквивалентно тому, что ωω является регулярным кардиналом в построяемой вселенной L. Сильвер показал, что существование несчётного множества неразличимых элементов в построяемой вселенной эквивалентно существованию 0#.

Последствия существования и несуществования

Существование 0# подразумевает, что каждый неисчислимый кардинал во вселенной теории множеств V является неразличимым в L и удовлетворяет всем аксиомам больших кардиналов, которые реализуются в L (таким как полная невыразимость). Из этого следует, что существование 0# противоречит аксиоме конструктивности: V = L.

Если 0# существует, то это пример неконструктивного Δ-множества натуральных чисел. Это в некотором смысле самая простая возможность для неконструируемого множества, поскольку все Σ и Π-множества натуральных чисел конструктивны. С другой стороны, если 0# не существует, то конструктивная вселенная L является основной моделью, то есть канонической внутренней моделью, которая аппроксимирует структуру больших кардиналов рассматриваемой вселенной. В этом случае выполняется лемма Дженсена:

Для каждого неисчислимого множества x ординалов существует конструктивное множество y, такое что x ⊆ y и y имеет ту же кардинальность, что и x. Этот глубокий результат принадлежит Рональду Дженсену. Используя форсирование, легко увидеть, что условие неисчислимости x нельзя убрать. Например, рассмотрим форсирование Намбы, которое сохраняет ℵ₀ и сворачивает ℵ₁ в ординал кофинальности ω. Пусть {αᵢ} будет ω-последовательностью, кофинальной на ℵ₁ и общей относительно L. Тогда никакое множество в L размера меньше ℵ₁ (которое неисчислимо в V, поскольку ℵ₀ сохраняется) не может покрыть ℵ₁, так как ℵ₁ является регулярным кардиналом.

Другие острые предметы

Если x – любое множество, то x# определяется аналогично 0#, за исключением того, что вместо L используется L[x]. См. раздел об относительной конструктивности в конструктивной вселенной.