Пол Джозеф Коэн: Математик и его вклад в теорию множеств

Введение

Американский математик (1934–2007)

Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 – 23 марта 2007) – американский математик. Он наиболее известен доказательствами независимости гипотезы континуума и аксиомы выбора от теории множеств Цермело — Френкеля, за которые он был удостоен медали Филдса.

Ранние годы и образование

Коэн родился в Лонг-Бранче, штат Нью-Джерси, в еврейской семье, эмигрировавшей в Соединенные Штаты из территории, которая сейчас является Польшей; он вырос в Бруклине. В 1950 году, в возрасте 16 лет, он окончил школу Стьювесант в Нью-Йорке. Коэн был членом Американской академии искусств и наук, Национальной академии наук США и Американского философского общества. 2 июня 1995 года Коэн получил почетную докторскую степень факультета естественных и технических наук Уппсальского университета в Швеции.

Карьера

Коэн известен разработкой математической техники, называемой форсированием, которую он использовал для доказательства того, что ни гипотеза континуума (CH), ни аксиома выбора не могут быть доказаны из стандартных аксиом Цермело-Френкеля (ZF) теории множеств. В сочетании с более ранними работами Гёделя, это показало, что оба этих утверждения логически независимы от аксиом ZF: эти утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из этих аксиом. В этом смысле гипотеза континуума является неразрешимой, и это наиболее известный пример естественного утверждения, независимого от стандартных аксиом ZF теории множеств. За свои результаты по гипотезе континуума Коэн был удостоен медали Филдса по математике в 1966 году и Национальной медали в области науки в 1967 году. Медаль Филдса, полученная Коэном, по состоянию на 2022 год остается единственной медалью Филдса, присужденной за работу в области математической логики. Помимо работы в теории множеств, Коэн внес значительный вклад в анализ. Он был удостоен Мемориальной премии Бошера по математическому анализу в 1964 году за статью «О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах», а его имя носит теорема факторизации Коэна — Хьюитта. Коэн был профессором математики в Стэнфордском университете. Он выступал с приглашенным докладом на ICM в 1962 году в Стокгольме и в 1966 году в Москве. Ангус МакИнтайр из Лондонского университета королевы Марии говорил о Коэне: «Он был поразительно умным человеком, и нужно было быть либо наивным, либо исключительно альтруистичным, чтобы обратиться к Полу, которого я знал в 60-х годах, со своей «самой сложной проблемой». Он сравнил Коэна с Куртом Гёделем, сказав: «В истории этой области не происходило ничего более значительного, чем их работы». Сам Гёдель написал Коэну письмо в 1963 году, в черновике которого говорилось: «Позвольте мне повторить, что читать ваше доказательство независимости гипотезы континуума – настоящее удовольствие. Я считаю, что во всех существенных аспектах вы предоставили наилучшее возможное доказательство, и это случается нечасто. Чтение вашего доказательства произвело на меня столь же приятное впечатление, как просмотр действительно хорошей пьесы».

Cohen is noted for developing a mathematical technique called forcing, which he used to prove that neither the continuum hypothesis (CH) nor the axiom of choice can be proved from the standard Zermelo–Fraenkel axioms (ZF) of set theory. In conjunction with the earlier work of Gödel, this showed that both of these statements are logically independent of the ZF axioms: these statements can be neither proved nor disproved from these axioms. In this sense, the continuum hypothesis is undecidable, and it is the most widely known example of a natural statement that is independent from the standard ZF axioms of set theory. For his result on the continuum hypothesis, Cohen won the Fields Medal in mathematics in 1966, and also the National Medal of Science in 1967. The Fields Medal that Cohen won continues to be the only Fields Medal to be awarded for a work in mathematical logic, as of 2022. Apart from his work in set theory, Cohen also made many valuable contributions to analysis. He was awarded the Bôcher Memorial Prize in mathematical analysis in 1964 for his paper "On a conjecture by Littlewood and idempotent measures", and lends his name to the Cohen–Hewitt factorization theorem. Cohen was a full professor of mathematics at Stanford University. He was an Invited Speaker at the ICM in 1962 in Stockholm and in 1966 in Moscow. Angus MacIntyre of the Queen Mary University of London stated about Cohen: "He was dauntingly clever, and one would have had to be naive or exceptionally altruistic to put one's 'hardest problem' to the Paul I knew in the '60s." He went on to compare Cohen to Kurt Gödel, saying: "Nothing more dramatic than their work has happened in the history of the subject." Gödel himself wrote a letter to Cohen in 1963, a draft of which stated, "Let me repeat that it is really a delight to read your proof of the ind[ependence] of the cont[inuum] hyp[othesis]. I think that in all essential respects you have given the best possible proof & this does not happen frequently. Reading your proof had a similarly pleasant effect on me as seeing a really good play."

Смерть

У Коэна и его жены Кристины (в девичестве Карлс) было трое сыновей. Коэн скончался 23 марта 2007 года в Стэнфорде, Калифорния, после продолжительной болезни легких.