Введение

Множество, все элементы которого принадлежат другому множеству. В математике множество A является подмножеством множества B, если все элементы A также являются элементами B; тогда B является надмножеством A. Возможно, что A и B равны; если они не равны, то A является строгим подмножеством B. Отношение одного множества быть подмножеством другого называется включением (или иногда содержанием). Можно также сказать, что B включает (или содержит) A, или что A включено (или содержится) в B. k-подмножество – это подмножество, содержащее k элементов. Отношение подмножества определяет частичный порядок на множествах. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру относительно отношения подмножества, где соединение и пересечение задаются операциями объединения и пересечения, а само отношение подмножества является отношением булевого включения.

Символы и

Некоторые авторы используют символы ⊆ и ⊇ для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть, с тем же значением, что и ⊂ и ⊃ вместо символов ⊆ и ⊇. Например, для этих авторов верно для каждого множества A, что A ⊆ A (рефлексивное отношение). Другие авторы предпочитают использовать символы ⊂ и ⊃ для обозначения собственных (также называемых строгими) подмножеств и надмножеств соответственно; то есть, с тем же значением, что и ⊆ и ⊇ вместо символов ⊂ и ⊃. Такое использование делает ⊂ и ⊃ аналогичными символам неравенства < и >. Например, если x < y, то x может быть или не быть равным y, но если x ⊂ y, то x определенно не равен y и меньше y (нерефлексивное отношение). Аналогично, используя соглашение, что ⊂ обозначает собственное подмножество, если A ⊂ B, то A может быть или не быть равным B, но если A ⊂ B, то A определенно не равно B.

Другие свойства включения

Включение — это канонический частичный порядок, в том смысле, что каждое частично упорядоченное множество изоморфно некоторой коллекции множеств, упорядоченных по включению. Порядковые числа являются простым примером: если каждый порядковый номер n отождествляется с множеством всех порядковых номеров, меньших или равных n, то a ≤ b тогда и только тогда, когда b ∈ a.

Для множества степеней множества S, частичный порядок по включению изоморфен, с точностью до изоморфизма порядка, картезианскому произведению (кардинальности S) копий частичного порядка на множестве {0, 1}, где 0 ≤ 1. Это можно проиллюстрировать, перечислив P(S), и ассоциируя с каждым подмножеством T (то есть, с каждым элементом P(S)) k-кортеж из {0, 1}^S, где i-я координата равна 1 тогда и только тогда, когда i ∈ T.