Орбиты в теории динамических систем

Введение

орбиты в теории динамических систем

В математике, в частности в изучении динамических систем, орбита — это множество точек, связанных функцией эволюции динамической системы. Её можно понимать как подмножество фазового пространства, покрываемое траекторией динамической системы при заданном наборе начальных условий в процессе эволюции системы. Поскольку траектория фазового пространства однозначно определяется любым заданным набором координат фазового пространства, различные орбиты не могут пересекаться в фазовом пространстве, следовательно, множество всех орбит динамической системы образует разбиение фазового пространства. Изучение свойств орбит с использованием топологических методов является одной из задач современной теории динамических систем. Для динамических систем дискретного времени орбиты представляют собой последовательности; для динамических систем с действительными значениями орбиты — кривые; а для голоморфных динамических систем орбиты — поверхности Римана.

Общая динамическая система

Для общей динамической системы, особенно в гомогенной динамике, когда "хорошая" группа действует на пространство с мерой, сохраняя меру, орбита называется периодической (или, что эквивалентно, замкнутой), если её стабилизатор является решеткой в
Кроме того, связанным понятием является ограниченная орбита, когда множество является прекомпактным в
Классификация орбит может приводить к интересным вопросам, связанным с другими областями математики. Например, гипотеза Оппенгейма (доказанная Маргулисом) и гипотеза Литтлвуда (частично доказанная Линденстраусом) касаются вопроса о том, является ли каждая ограниченная орбита некоторого естественного действия на однородном пространстве действительно периодической. Это наблюдение принадлежит Рагхунатану, а Кассельс и Свиннертон-Дайер выразили его другими словами. Такие вопросы тесно связаны с глубокими теоремами классификации мер.

Примеры

Орбита точки равновесия является стационарной орбитой.