Введение
Математический трактат Архимеда «Метод механических теорем» (Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος), также называемый «Метод», является одним из важнейших сохранившихся трудов древнегреческого ученого-эрудита Архимеда. «Метод» представляет собой письмо Архимеда Эратосфену, главному библиотекарю Александрийской библиотеки, и содержит первое зафиксированное явное использование неделимых (неделимые – геометрические аналоги бесконечно малых величин). Изначально считалось, что работа утеряна, но в 1906 году она была вновь открыта в знаменитом Архимедовом палимпсесте. Палимпсест включает в себя описание Архимедом «механического метода», названного так, поскольку он основан на центре тяжести фигур (центроиде) и законе рычага, продемонстрированных Архимедом в труде «О равновесии плоскостей». Архимед не признавал метод неделимых частью строгой математики и поэтому не публиковал его в формальных трактатах, содержащих результаты. В этих трактатах он доказывает те же теоремы методом исчерпывания, находя строгие верхние и нижние границы, которые сходятся к требуемому ответу. Тем не менее, механический метод был тем, который он использовал для открытия соотношений, для которых впоследствии предоставил строгие доказательства.
The Method of Mechanical Theorems (Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος), also referred to as The Method, is one of the major surviving works of the ancient Greek polymath Archimedes. The Method takes the form of a letter from Archimedes to Eratosthenes, the chief librarian at the Library of Alexandria, and contains the first attested explicit use of indivisibles (indivisibles are geometric versions of infinitesimals). The work was originally thought to be lost, but in 1906 was rediscovered in the celebrated Archimedes Palimpsest. The palimpsest includes Archimedes' account of the "mechanical method", so called because it relies on the center of weights of figures (centroid) and the law of the lever, which were demonstrated by Archimedes in On the Equilibrium of Planes. Archimedes did not admit the method of indivisibles as part of rigorous mathematics, and therefore did not publish his method in the formal treatises that contain the results. In these treatises, he proves the same theorems by exhaustion, finding rigorous upper and lower bounds which both converge to the answer required. Nevertheless, the mechanical method was what he used to discover the relations for which he later gave rigorous proofs.
Площадь параболы
Чтобы объяснить метод Архимеда сегодня, удобно воспользоваться немного декартовой геометрией, хотя, конечно, она была недоступна в то время. Его идея состоит в том, чтобы использовать закон рычага для определения площадей фигур на основе известного центра масс других фигур. Самый простой пример в современном понимании – площадь параболы. Архимед использует более изящный метод, но в декартовых координатах его метод сводится к вычислению интеграла, который сегодня можно легко проверить с помощью элементарного интегрального исчисления. Идея заключается в механическом уравновешивании параболы (изогнутой области, подлежащей интегрированию) с определенным треугольником, изготовленным из того же материала. Парабола – это область на плоскости между осью и кривой, при изменении от 0 до 1. Треугольник – это область на той же плоскости между осью и прямой, также при изменении от 0 до 1. Разделим параболу и треугольник на вертикальные полосы, по одной для каждого значения . Представим, что ось является рычагом, с точкой опоры в . Закон рычага гласит, что два объекта на противоположных сторонах точки опоры будут в равновесии, если у каждого одинаковый момент силы, где момент силы объекта равен его весу, умноженному на расстояние до точки опоры. Для каждого значения , полоса треугольника в положении имеет массу, равную его высоте , и находится на расстоянии от точки опоры; таким образом, она уравновесила бы соответствующую полосу параболы высотой , если бы последняя была перемещена в , на расстоянии 1 от точки опоры с другой стороны. Поскольку каждая пара полос находится в равновесии, перемещение всей параболы в уравновесит весь треугольник. Это означает, что если исходная неразрезанная парабола подвешена за точку (так, что вся масса параболы прикреплена к этой точке), она уравновесит треугольник, расположенный между и . Центр масс треугольника можно легко найти следующим методом, также предложенным Архимедом. Если проведена медиана из любой вершины треугольника к противоположной стороне , треугольник будет уравновешен на медиане, рассматриваемой как точка опоры. Причина в том, что если треугольник разделить на бесконечно малые отрезки, параллельные , каждый отрезок имеет одинаковую длину по обе стороны от медианы, поэтому равновесие следует из симметрии. Этот аргумент можно легко сделать строгим, используя маленькие прямоугольники вместо бесконечно малых линий, и именно это делает Архимед в «О равновесии плоскостей». Следовательно, центр масс треугольника должен находиться в точке пересечения медиан. Для рассматриваемого треугольника одна медиана – прямая , а вторая медиана – прямая . Решая эти уравнения, мы видим, что пересечение этих двух медиан находится над точкой , так что общее воздействие треугольника на рычаг такое, как если бы вся масса треугольника давила вниз на (или висела на) эту точку. Общий момент силы, оказываемый треугольником, равен его площади, 1/2, умноженной на расстояние 2/3 от его центра масс до точки опоры в . Этот момент силы в 1/3 уравновешивает параболу, которая находится на расстоянии 1 от точки опоры. Следовательно, площадь параболы должна быть 1/3, чтобы создать противоположный момент силы. Этот метод можно использовать для нахождения площади произвольного сечения параболы, и аналогичные рассуждения можно использовать для нахождения интеграла любой степени , хотя более высокие степени становятся сложными без алгебры. Архимед дошел только до интеграла , который он использовал для нахождения центра масс полусферы, а в другой работе – центра масс параболы.
which can easily be checked nowadays using elementary integral calculus. The idea is to mechanically balance the parabola (the curved region being integrated above) with a certain triangle that is made of the same material. The parabola is the region in the plane between the axis and the curve as varies from 0 to 1. The triangle is the region in the same plane between the axis and the line , also as varies from 0 to 1. Slice the parabola and triangle into vertical slices, one for each value of Imagine that the axis is a lever, with a fulcrum at The law of the lever states that two objects on opposite sides of the fulcrum will balance if each has the same torque, where an object's torque equals its weight times its distance to the fulcrum. For each value of , the slice of the triangle at position has a mass equal to its height , and is at a distance from the fulcrum; so it would balance the corresponding slice of the parabola, of height , if the latter were moved to , at a distance of 1 on the other side of the fulcrum. Since each pair of slices balances, moving the whole parabola to would balance the whole triangle. This means that if the original uncut parabola is hung by a hook from the point (so that the whole mass of the parabola is attached to that point), it will balance the triangle sitting between and
The center of mass of a triangle can be easily found by the following method, also due to Archimedes. If a median line is drawn from any one of the vertices of a triangle to the opposite edge , the triangle will balance on the median, considered as a fulcrum. The reason is that if the triangle is divided into infinitesimal line segments parallel to , each segment has equal length on opposite sides of the median, so balance follows by symmetry. This argument can be easily made rigorous by exhaustion by using little rectangles instead of infinitesimal lines, and this is what Archimedes does in On the Equilibrium of Planes. So the center of mass of a triangle must be at the intersection point of the medians. For the triangle in question, one median is the line , while a second median is the line Solving these equations, we see that the intersection of these two medians is above the point , so that the total effect of the triangle on the lever is as if the total mass of the triangle were pushing down on (or hanging from) this point. The total torque exerted by the triangle is its area, 1/2, times the distance 2/3 of its center of mass from the fulcrum at This torque of 1/3 balances the parabola, which is at a distance 1 from the fulcrum. Hence, the area of the parabola must be 1/3 to give it the opposite torque. This type of method can be used to find the area of an arbitrary section of a parabola, and similar arguments can be used to find the integral of any power of , although higher powers become complicated without algebra. Archimedes only went as far as the integral of , which he used to find the center of mass of a hemisphere, and in other work, the center of mass of a parabola.
Площадь поверхности сферы
Чтобы найти площадь поверхности сферы, Архимед рассуждал, что так же, как площадь круга можно представить как состоящую из бесконечного числа бесконечно малых прямоугольных треугольников, расположенных по окружности (см. «Измерение круга»), так и объем сферы можно представить как разделенный на множество конусов с высотой, равной радиусу, и основанием на поверхности. Все конусы имеют одинаковую высоту, поэтому их объем равен одной трети площади основания, умноженной на высоту. Архимед утверждает, что общий объем сферы равен объему конуса, основание которого имеет ту же площадь поверхности, что и сфера, а высота равна радиусу. Деталей этого рассуждения не приводится, но очевидная причина в том, что конус можно разделить на бесконечно малые конусы, разбив площадь основания, и каждый конус вносит вклад пропорциональный своей площади основания, точно так же, как и в случае сферы. Обозначим площадь поверхности сферы как S. Объем конуса с площадью основания S и высотой r равен , что должно быть равно объему сферы: следовательно, площадь поверхности сферы должна быть , или «в четыре раза больше площади ее наибольшего круга». Архимед строго доказывает это в труде «О сфере и цилиндре».
Другие предложения в палимпсесте
Серия геометрических утверждений доказывается в палимпсесте схожими рассуждениями. Одной из теорем является утверждение о том, что центр масс полусферы расположен на расстоянии, составляющем 5/8 пути от полюса до центра сферы. Эта задача примечательна тем, что требует вычисления кубического интеграла.