Подсчет элементов конечного множества и его применение в музыке.

Введение

Определение количества элементов конечного множества и его применение к музыке.
Счет – это процесс определения числа элементов конечного множества объектов, то есть установления мощности множества. Традиционный способ счета заключается в последовательном увеличении (мысленного или произносимого) счетчика на единицу для каждого элемента множества в определенном порядке, при этом отмечая (или исключая) эти элементы, чтобы не учитывать один и тот же элемент несколько раз, до тех пор, пока не останется неотмеченных элементов. Если счетчик был установлен на единицу после первого элемента, то значение счетчика после учета последнего элемента дает искомое количество элементов. Связанный термин – перечисление – относится к уникальной идентификации элементов конечного (комбинаторного) или бесконечного множества путем присвоения каждому элементу номера. Счет иногда включает в себя числа, отличные от единицы; например, при подсчете денег, выдаче сдачи, счете в парах (2, 4, 6, 8, 10, 12) или счете в пятерках (5, 10, 15, 20, 25). Археологические данные свидетельствуют о том, что люди занимаются счетом по крайней мере 50 000 лет. Счет первоначально использовался древними культурами для учета социальных и экономических данных, таких как численность группы, количество добытых животных, имущество или долги (то есть ведение учета). В пограничных пещерах в Южной Африке были обнаружены кости с насечками, что может указывать на то, что представление о счете было известно людям еще 44 000 лет до н.э. Развитие счета привело к развитию математической нотации, систем счисления и письменности.

Формы подсчета

Вербальный счёт включает в себя произнесение последовательных чисел вслух или про себя для отслеживания прогресса. Обычно такой счёт ведётся в десятичной системе счисления: "1, 2, 3, 4" и так далее. Вербальный счёт часто используется для подсчёта непосредственно присутствующих объектов, а не для отслеживания количества с течением времени, поскольку после прерывания счёт необходимо возобновить с того места, где он был остановлен, число, которое нужно запомнить или записать. Подсчёт небольшого количества объектов, особенно в течение длительного времени, можно эффективно выполнять с помощью зарубок: делать отметку для каждого объекта, а затем подсчитать все отметки по окончании. Подсчёт зарубками – это счёт в системе с основанием 1. Счёт на пальцах удобен и распространён для небольших чисел. Дети используют пальцы, чтобы облегчить подсчёт и выполнение простых математических операций. Более ранние методы счёта на пальцах использовали четыре пальца и три фаланги на каждом пальце для счёта до двенадцати. Существуют и другие системы жестов рук, например, китайская система, позволяющая считать до десяти только жестами одной руки. С помощью двоичного счёта на пальцах можно вести счёт до 1023 (2¹⁰ − 1). Для облегчения подсчёта можно использовать различные приспособления, такие как счётчики и абаки.

Включительное подсчет

Включительный/исключительный счёт – это термины, используемые для подсчёта интервалов. При включительном счёте отсчёт начинается с единицы, при исключительном – с нуля. Включительный счёт обычно встречается при работе со временем в римских календарях и романских языках. В древнем римском календаре ноны (означающие "девять") наступают за 8 дней до ид; в целом, даты указываются как дни, отсчитанные включительно до следующего названного дня. Аналогичный счёт применяется в восточноазиатской системе определения возраста, где новорождённым считается 1 год при рождении. Музыкальная терминология также использует включительный счёт интервалов между нотами стандартной гаммы: переход на одну ноту вверх – это второй интервал, на две ноты – третий интервал и так далее, а на семь нот – октава.

Образование и развитие

Обучение счету — важный этап в образовании и развитии в большинстве культур мира. Счет — это первый шаг ребенка в математику и самая фундаментальная идея этой дисциплины. Однако некоторые культуры в Амазонии и австралийской глубинке не используют счет, и в их языках отсутствуют слова для обозначения чисел. Многие дети уже в возрасте двух лет демонстрируют определенные навыки в перечислении счета (то есть, произносят "один, два, три…"). Они также могут отвечать на вопросы об очередности для небольших чисел, например, "Что идет после трех?". Некоторые из них даже умеют указывать на каждый предмет в группе и последовательно произносить соответствующие слова. Это приводит многих родителей и педагогов к выводу, что ребенок понимает, как использовать счет для определения количества элементов в группе. Однако исследования показывают, что ребенку требуется около года после освоения этих навыков, чтобы понять их смысл и назначение. В это время дети учатся называть количество элементов в группах, которые они могут определить мгновенно.

Счет в математике

В математике суть подсчета множества и нахождения результата n состоит в том, что он устанавливает взаимно однозначное соответствие (или биекцию) исходного множества с подмножеством натуральных чисел {1, 2, ..., n}. Фундаментальный факт, который может быть доказан математической индукцией, заключается в том, что биекции между {1, 2, ..., n} и {1, 2, ..., m} не существует, если только n = m; этот факт (вместе с тем, что две биекции можно последовательно применить, чтобы получить другую биекцию) гарантирует, что подсчет одного и того же множества разными способами никогда не приведет к разным результатам (если не допущена ошибка). Это фундаментальная математическая теорема, определяющая цель подсчета; каким бы способом вы ни считали (конечное) множество, ответ будет одним и тем же. В более широком контексте эта теорема является примером теоремы в математической области (конечной) комбинаторики, поэтому (конечная) комбинаторика иногда называется «математикой счета». Многие множества, возникающие в математике, не позволяют установить биекцию с {1, 2, ..., n} ни для какого натурального числа n; такие множества называются бесконечными, а те, для которых такая биекция существует (для некоторого n), — конечными. Бесконечные множества нельзя посчитать в обычном смысле; во-первых, математические теоремы, лежащие в основе этого обычного смысла для конечных множеств, неверны для бесконечных множеств. Кроме того, различные определения понятий, в терминах которых эти теоремы сформулированы, хотя и эквивалентны для конечных множеств, не эквивалентны в контексте бесконечных множеств. Понятие счета можно расширить на них, понимая под этим установление (существования) биекции с некоторым хорошо изученным множеством. Например, если множество можно привести в биекцию с множеством всех натуральных чисел, то оно называется «счетно бесконечным». Этот вид счета принципиально отличается от счета конечных множеств, поскольку добавление новых элементов к множеству не обязательно увеличивает его мощность, поскольку возможность биекции с исходным множеством не исключена. Например, множество всех целых чисел (включая отрицательные числа) можно привести в биекцию с множеством натуральных чисел, и даже, казалось бы, гораздо более крупные множества, такие как множество всех конечных последовательностей рациональных чисел, все еще (только) счетно бесконечны. Тем не менее, существуют множества, такие как множество действительных чисел, которые можно показать как «слишком большие», чтобы допустить биекцию с натуральными числами, и эти множества называются «несчетными». Множества, между которыми существует биекция, имеют одинаковую кардинальность, и в самом общем смысле подсчет множества можно понимать как определение его кардинальности. Помимо кардинальностей, задаваемых каждым из натуральных чисел, существует бесконечная иерархия бесконечных кардинальностей, хотя лишь немногие из них встречаются в обычной математике (то есть вне теории множеств, которая явно изучает возможные кардинальности). Подсчет, в основном конечных множеств, имеет различные применения в математике. Важный принцип заключается в том, что если два множества X и Y имеют одинаковое конечное число элементов, и функция f: X → Y известна как инъективная, то она также сюръективна, и наоборот. Связанный с этим факт известен как принцип Дирихле (или принцип голубиных ящиков), который утверждает, что если два множества X и Y имеют конечное число элементов n и m, причем n > m, то любое отображение f: X → Y не является инъективным (то есть существуют два различных элемента в X, которые f отображает в один и тот же элемент в Y); это следует из предыдущего принципа, поскольку если бы f была инъективной, то ее ограничение на строгое подмножество S множества X с m элементами также было бы инъективным, а значит и сюръективным, что противоречит тому факту, что для x из X, не входящего в S, f(x) не может принадлежать образу ограничения. Аналогичные аргументы, основанные на подсчете, могут доказать существование определенных объектов без явного примера. В случае бесконечных множеств это может применяться даже в ситуациях, когда привести пример невозможно. Область перечислительной комбинаторики занимается вычислением числа элементов конечных множеств, не подсчитывая их фактически; последнее обычно невозможно, поскольку рассматриваются бесконечные семейства конечных множеств одновременно, например, множество перестановок множества {1, 2, ..., n} для любого натурального числа n.

In mathematics, the essence of counting a set and finding a result n, is that it establishes a one to one correspondence (or bijection) of the subject set with the subset of positive integers {1, 2, , n}. A fundamental fact, which can be proved by mathematical induction, is that no bijection can exist between {1, 2, , n} and {1, 2, , m} unless 1=n = m; this fact (together with the fact that two bijections can be composed to give another bijection) ensures that counting the same set in different ways can never result in different numbers (unless an error is made). This is the fundamental mathematical theorem that gives counting its purpose; however you count a (finite) set, the answer is the same. In a broader context, the theorem is an example of a theorem in the mathematical field of (finite) combinatorics—hence (finite) combinatorics is sometimes referred to as "the mathematics of counting." Many sets that arise in mathematics do not allow a bijection to be established with {1, 2, , n} for any natural number n; these are called infinite sets, while those sets for which such a bijection does exist (for some n) are called finite sets. Infinite sets cannot be counted in the usual sense; for one thing, the mathematical theorems which underlie this usual sense for finite sets are false for infinite sets. Furthermore, different definitions of the concepts in terms of which these theorems are stated, while equivalent for finite sets, are inequivalent in the context of infinite sets. The notion of counting may be extended to them in the sense of establishing (the existence of) a bijection with some well understood set. For instance, if a set can be brought into bijection with the set of all natural numbers, then it is called "countably infinite." This kind of counting differs in a fundamental way from counting of finite sets, in that adding new elements to a set does not necessarily increase its size, because the possibility of a bijection with the original set is not excluded. For instance, the set of all integers (including negative numbers) can be brought into bijection with the set of natural numbers, and even seemingly much larger sets like that of all finite sequences of rational numbers are still (only) countably infinite. Nevertheless, there are sets, such as the set of real numbers, that can be shown to be "too large" to admit a bijection with the natural numbers, and these sets are called "uncountable." Sets for which there exists a bijection between them are said to have the same cardinality, and in the most general sense counting a set can be taken to mean determining its cardinality. Beyond the cardinalities given by each of the natural numbers, there is an infinite hierarchy of infinite cardinalities, although only very few such cardinalities occur in ordinary mathematics (that is, outside set theory that explicitly studies possible cardinalities). Counting, mostly of finite sets, has various applications in mathematics. One important principle is that if two sets X and Y have the same finite number of elements, and a function f: X → Y is known to be injective, then it is also surjective, and vice versa. A related fact is known as the pigeonhole principle, which states that if two sets X and Y have finite numbers of elements n and m with n > m, then any map f: X → Y is not injective (so there exist two distinct elements of X that f sends to the same element of Y); this follows from the former principle, since if f were injective, then so would its restriction to a strict subset S of X with m elements, which restriction would then be surjective, contradicting the fact that for x in X outside S, f(x) cannot be in the image of the restriction. Similar counting arguments can prove the existence of certain objects without explicitly providing an example. In the case of infinite sets this can even apply in situations where it is impossible to give an example. The domain of enumerative combinatorics deals with computing the number of elements of finite sets, without actually counting them; the latter usually being impossible because infinite families of finite sets are considered at once, such as the set of permutations of {1, 2, , n} for any natural number n.