Введение
Момент – это математическое выражение, включающее произведение физической величины на расстояние.
В физике момент представляет собой математическое выражение, включающее произведение силы на перпендикулярное расстояние от точки приложения силы. Моменты обычно определяются относительно фиксированной точки отсчета и относятся к физическим величинам, находящимся на некотором расстоянии от этой точки. Таким образом, момент учитывает положение или расположение величины. Например, момент силы, часто называемый крутящим моментом, является произведением силы, действующей на объект, и расстояния от точки отсчета до объекта. В принципе, любую физическую величину можно умножить на расстояние, чтобы получить момент. К часто используемым величинам относятся силы, массы и распределения электрического заряда.
Применение многопольных моментов
Многополярное разложение применимо к скалярным потенциалам вида 1/r, примерами которых являются электрический и гравитационный потенциалы. Для этих потенциалов выражение можно использовать для приближенного определения силы поля, создаваемого локализованным распределением зарядов (или массы), путем вычисления первых нескольких моментов. При достаточно больших значениях r разумное приближение можно получить, используя только монопольный и дипольный моменты. Более высокая точность достигается при вычислении моментов более высоких порядков. Расширения этого метода могут быть использованы для расчета энергий взаимодействия и межмолекулярных сил. Метод также позволяет определять свойства неизвестного распределения. Измерения, связанные с многополярными моментами, можно проводить и использовать для определения характеристик исходного распределения. Этот метод применим к малым объектам, таким как молекулы, но также используется и для изучения Вселенной в целом, например, в экспериментах WMAP и Planck для анализа космического микроволнового фонового излучения.
but has also been applied to the universe itself, being for example the technique employed by the WMAP and Planck experiments to analyze the cosmic microwave background radiation.
История
В работах, которые, как полагают, происходят из Древней Греции, понятие момента упоминается словом ῥοπή (rhopḗ, "наклон") и композитами, такими как ἰσόρροπα (isorropa, "равных наклонностей"). Контекст этих работ – механика и геометрия, связанная с рычагом. В частности, в сохранившихся работах, приписываемых Архимеду, момент указывается в таких фразах, как: "Сравнительные величины (σύμμετρα μεγέθεα) [A и B] одинаково сбалансированы (ἰσορροπέοντι), если их расстояния [к центру Γ, то есть ΑΓ и ΓΒ] обратно пропорциональны (ἀντιπεπονθότως) их весам (βάρεσιν)". Более того, в существующих текстах, таких как Метод механических теорем, моменты используются для вывода центра тяжести, площади и объема геометрических фигур. В 1269 году Вильгельм Моербеке переводит различные работы Архимеда и Эвтоция на латинский язык. Термин ῥοπή транслитерируется в ropen. Около 1450 года Якоб Кремоненсис переводит ῥοπή в аналогичных текстах на латинский термин momentum ("движение"). Тот же термин сохранился в переводе 1501 года Джорджио Валлы, а затем Франческо Мауролико, Федерико Командино, Гидобальдо дель Монте, Адриаан ван Румен, Флоренс Риво, Франческо Буонамичи, Марин Мерсенн и Галилео Галилей. Но почему же в переводе было выбрано слово momentum? Один из ключей к этому, по словам Treccani, заключается в том, что в средневековой Италии, где жили первые переводчики, momento в переносном смысле означало как "момент времени", так и "момент веса" (небольшое количество веса, которое переворачивает весы). В 1554 году Франческо Мауролико разъясняет латинский термин momentum в работе Prologi sive sermones. Вот перевод с латыни на английский, сделанный Маршаллом Клагетом: "[ ] равные веса на неравных расстояниях не имеют одинакового веса, но неравные веса [на этих неравных расстояниях могут] иметь одинаковый вес. Ведь вес, подвешенный на большем расстоянии, тяжелее, как это очевидно на весах. Поэтому существует определенный третий вид силы или третья разница величины – которая отличается от тела и веса – и это они называют моментом. Следовательно, тело приобретает вес как из количества [т.е. размера], так и из качества [т.е. материала], но вес получает свой момент от расстояния, на котором он подвешен. Поэтому, когда расстояния взаимно пропорциональны весам, моменты [весов] равны, как Архимед продемонстрировал в "Книге о равных моментах". Поэтому веса или [более] моменты, как и другие непрерывные величины, соединяются в каком-то общем конце, то есть в чем-то общем для обоих, как центр веса или в точке равновесия. Центр тяжести в любом весе – это точка, которая, независимо от того, как часто или когда тело подвешено, всегда наклоняется перпендикулярно к вселенскому центру. Помимо тела, веса и момента, существует четвёртая сила, которую можно назвать импульсом или силой. Аристотель исследует его в "О механических вопросах", и он совершенно отличается от трех вышеупомянутых [сил или величин]. [ ]" В 1586 году Саймон Стевин использует голландский термин staltwicht ("закрепленный вес") для momentum в De Beghinselen Der Weeghconst. В 1632 году Галилео Галилей публикует "Диалог о двух главных мировых системах" и использует итальянское momento со многими значениями, включая значение его предшественников. В 1643 году Томас Салусбери переводит некоторые работы Галилея на английский язык. Salusbury переводит латинский momentum и итальянский momento в английский термин moment. В 1765 году латинский термин momentum inertiae (англ. момент инерции) используется Леонардом Эйлером для обозначения одной из величин Кристиана Гюйгенса в Horologium Oscillatorium. Работа Гюйгенса 1673 года, включавшая поиск центра колебаний, была стимулирована Марином Мерсенном, который предложил ему это в 1646 году. В 1811 году французский термин moment d'une force (англ. момент силы) в отношении точки и плоскости используется Симеоном Денисом Пуассоном в Traité de mécanique. Английский перевод появился в 1842 году. В 1884 году термин "крутящий момент" был предложен Джеймсом Томсоном в контексте измерения вращательных сил машин (с винтами и роторами). Сегодня для измерения крутящего момента машин используется динамометр. В 1893 году Карл Пирсон использует термин "n-й момент" в контексте научных измерений, соответствующих кривой. Пирсон ответил Джону Венну, который несколько лет назад заметил странную закономерность в метеорологических данных и попросил объяснить ее причину. В ответе Пирсона используется эта аналогия: механический "центр тяжести" – это среднее значение, а "расстояние" – отклонение от среднего значения. Это позднее развилось в моменты в математике. Аналогия между механическим понятием момента и статистической функцией, включающей сумму n-х степеней отклонений, была замечена несколькими исследователями ранее, включая Лапласа, Крампа, Гаусса, Энке, Цюбера, Кетеле и Де Фореста.
"Commensurable magnitudes (σύμμετρα μεγέθεα) [A and B] are equally balanced (ἰσορροπέοντι) if their distances [to the center Γ, i. e., ΑΓ and ΓΒ] are inversely proportional (ἀντιπεπονθότως) to their weights (βάρεσιν)." Moreover, in extant texts such as The Method of Mechanical Theorems, moments are used to infer the center of gravity, area, and volume of geometric figures. In 1269, William of Moerbeke translates various works of Archimedes and Eutocious into Latin. The term ῥοπή is transliterated into ropen. Around 1450, Jacobus Cremonensis translates ῥοπή in similar texts into the Latin term momentum ( "movement"). The same term is kept in a 1501 translation by Giorgio Valla, and subsequently by Francesco Maurolico, Federico Commandino, Guidobaldo del Monte, Adriaan van Roomen, Florence Rivault, Francesco Buonamici, Marin Mersenne, and Galileo Galilei. That said, why was the word momentum chosen for the translation? One clue, according to Treccani, is that momento in Medieval Italy, the place the early translators lived, in a transferred sense meant both a "moment of time" and a "moment of weight" (a small amount of weight that turns the scale). In 1554, Francesco Maurolico clarifies the Latin term momentum in the work Prologi sive sermones. Here is a Latin to English translation as given by Marshall Clagett:
"[ ] equal weights at unequal distances do not weigh equally, but unequal weights [at these unequal distances may] weigh equally. For a weight suspended at a greater distance is heavier, as is obvious in a balance. Therefore, there exists a certain third kind of power or third difference of magnitude—one that differs from both body and weight—and this they call moment. Therefore, a body acquires weight from both quantity [i. e., size] and quality [i. e., material], but a weight receives its moment from the distance at which it is suspended. Therefore, when distances are reciprocally proportional to weights, the moments [of the weights] are equal, as Archimedes demonstrated in The Book on Equal Moments. Therefore, weights or [rather] moments like other continuous quantities, are joined at some common terminus, that is, at something common to both of them like the center of weight, or at a point of equilibrium. Now the center of gravity in any weight is that point which, no matter how often or whenever the body is suspended, always inclines perpendicularly toward the universal center. In addition to body, weight, and moment, there is a certain fourth power, which can be called impetus or force. Aristotle investigates it in On Mechanical Questions, and it is completely different from [the] three aforesaid [powers or magnitudes]. [ ]"
in 1586, Simon Stevin uses the Dutch term staltwicht ("parked weight") for momentum in De Beghinselen Der Weeghconst. In 1632, Galileo Galilei publishes Dialogue Concerning the Two Chief World Systems and uses the Italian momento with many meanings, including the one of his predecessors. In 1643, Thomas Salusbury translates some of Galilei's works into English. Salusbury translates Latin momentum and Italian momento into the English term moment. In 1765, the Latin term momentum inertiae (English: moment of inertia) is used by Leonhard Euler to refer to one of Christiaan Huygens's quantities in Horologium Oscillatorium. Huygens 1673 work involving finding the center of oscillation had been stimulated by Marin Mersenne, who suggested it to him in 1646. In 1811, the French term moment d'une force (English: moment of force) with respect to a point and plane is used by Siméon Denis Poisson in Traité de mécanique. An English translation appears in 1842. In 1884, the term torque is suggested by James Thomson in the context of measuring rotational forces of machines (with propellers and rotors). Today, a dynamometer is used to measure the torque of machines. In 1893, Karl Pearson uses the term n th moment and in the context of curve fitting scientific measurements. Pearson wrote in response to John Venn, who, some years earlier, observed a peculiar pattern involving meteorological data and asked for an explanation of its cause. In Pearson's response, this analogy is used: the mechanical "center of gravity" is the mean and the "distance" is the deviation from the mean. This later evolved into moments in mathematics. The analogy between the mechanical concept of a moment and the statistical function involving the sum of the nth powers of deviations was noticed by several earlier, including Laplace, Kramp, Gauss, Encke, Czuber, Quetelet, and De Forest.