Теории калибровки в физике: введение и основные принципы.

Теория калибровки в физике: объяснение понятия "калибр", полей и косвенных измерений в современных физических моделях сил и частиц.

17 мин чтения

100%

Источник: Introduction to gauge theory — Wikipedia

Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.

Содержание

Введение

Вводная статья

Теория калибровки — это тип теории в физике. Слово «калибровка» означает измерение, толщину, промежуточное расстояние (как в железнодорожных путях) или полученное число единиц на определенный параметр (число петель в дюйме ткани или количество свинцовых шариков в фунте боеприпасов). Современные теории описывают физические силы с точки зрения полей, например, электромагнитного поля, гравитационного поля и полей, описывающих силы между элементарными частицами. Общая особенность этих теорий поля заключается в том, что фундаментальные поля нельзя измерить напрямую; однако некоторые связанные величины можно измерить, такие как заряды, энергии и скорости. Например, предположим, что вы не можете измерить диаметр свинцового шарика, но можете определить, сколько свинцовых шариков, одинаковых во всех отношениях, требуется для получения фунта. Используя число шаров, плотность свинца и формулу для расчета объема сферы по ее диаметру, можно косвенно определить диаметр одного свинцового шара. В теориях поля различные конфигурации ненаблюдаемых полей могут приводить к идентичным наблюдаемым величинам. Преобразование из одной такой конфигурации поля в другую называется преобразованием калибровки; отсутствие изменения в измеримых величинах, несмотря на преобразование поля, является свойством, называемым калибровочной инвариантностью. Например, если бы вы могли измерить цвет свинцовых шариков и обнаружить, что при изменении цвета в фунт помещается такое же количество шариков, свойство «цвета» проявляло бы калибровочную инвариантность. Поскольку любой вид инвариантности при преобразовании поля считается симметрией, калибровочная инвариантность иногда называется калибровочной симметрией. Как правило, любая теория, обладающая свойством калибровочной инвариантности, считается теорией калибровки. Например, в электромагнетизме электрическое поле E и магнитное поле B наблюдаемы, в то время как потенциалы V («напряжение») и A (векторный потенциал) — нет. При преобразовании калибровки, при котором к V добавляется константа, никаких наблюдаемых изменений в E или B не происходит. С появлением квантовой механики в 1920-х годах и последующими достижениями в квантовой теории поля важность преобразований калибровки неуклонно росла. Калибровочные теории ограничивают законы физики, поскольку все изменения, вызванные преобразованием калибровки, должны компенсировать друг друга при записи в терминах наблюдаемых величин. В течение 20-го века физики постепенно осознали, что все силы (фундаментальные взаимодействия) возникают из ограничений, налагаемых локальными калибровочными симметриями, в этом случае преобразования варьируются от точки к точке в пространстве и времени. Квантовая теория поля возмущений (обычно используемая для теории рассеяния) описывает силы с точки зрения частиц-переносчиков взаимодействия, называемых калибровочными бозонами. Природа этих частиц определяется природой преобразований калибровки. Кульминацией этих усилий является Стандартная модель — квантовая теория поля, которая точно предсказывает все фундаментальные взаимодействия, кроме гравитации.

A gauge theory is a type of theory in physics. The word gauge means a measurement, a thickness, an in between distance (as in railroad tracks), or a resulting number of units per certain parameter (a number of loops in an inch of fabric or a number of lead balls in a pound of ammunition). Modern theories describe physical forces in terms of fields, e. g., the electromagnetic field, the gravitational field, and fields that describe forces between the elementary particles. A general feature of these field theories is that the fundamental fields cannot be directly measured; however, some associated quantities can be measured, such as charges, energies, and velocities. For example, say you cannot measure the diameter of a lead ball, but you can determine how many lead balls, which are equal in every way, are required to make a pound. Using the number of balls, the density of lead, and the formula for calculating the volume of a sphere from its diameter, one could indirectly determine the diameter of a single lead ball. In field theories, different configurations of the unobservable fields can result in identical observable quantities. A transformation from one such field configuration to another is called a gauge transformation; the lack of change in the measurable quantities, despite the field being transformed, is a property called gauge invariance. For example, if you could measure the color of lead balls and discover that when you change the color, you still fit the same number of balls in a pound, the property of "color" would show gauge invariance. Since any kind of invariance under a field transformation is considered a symmetry, gauge invariance is sometimes called gauge symmetry. Generally, any theory that has the property of gauge invariance is considered a gauge theory. For example, in electromagnetism the electric field E and the magnetic field B are observable, while the potentials V ("voltage") and A (the vector potential) are not. Under a gauge transformation in which a constant is added to V, no observable change occurs in E or B. With the advent of quantum mechanics in the 1920s, and with successive advances in quantum field theory, the importance of gauge transformations has steadily grown. Gauge theories constrain the laws of physics, because all the changes induced by a gauge transformation have to cancel each other out when written in terms of observable quantities. Over the course of the 20th century, physicists gradually realized that all forces (fundamental interactions) arise from the constraints imposed by local gauge symmetries, in which case the transformations vary from point to point in space and time. Perturbative quantum field theory (usually employed for scattering theory) describes forces in terms of force mediating particles called gauge bosons. The nature of these particles is determined by the nature of the gauge transformations. The culmination of these efforts is the Standard Model, a quantum field theory that accurately predicts all of the fundamental interactions except gravity.

История и значение

Самой ранней теорией поля, обладающей калибровочной симметрией, была формулировка Максвелла в 1864–65 годах электродинамики ("Динамическая теория электромагнитного поля"). Значимость этой симметрии оставалась незамеченной в первых формулировках. Подобным образом, Гильберт вывел уравнения общей теории относительности Эйнштейна, постулировав симметрию относительно любого изменения координат, как раз когда Эйнштейн завершал свою работу. Позже Герман Вейль, вдохновлённый успехом общей теории относительности Эйнштейна, предположил (ошибочно, как оказалось) в 1919 году, что инвариантность относительно изменения масштаба или "калибра" (термин, вдохновлённый различными ширинами колеи железных дорог) также может быть локальной симметрией электромагнетизма. Хотя выбор калибра Вейлем был неверен, название "калибровочный" закрепилось за этим подходом. После разработки квантовой механики Вейль, Фок и Лондон модифицировали свой выбор калибра, заменив масштабный фактор изменением фазы волны и успешно применив его к электромагнетизму. Калибровочная симметрия была математически обобщена в 1954 году Чэнь Нином Яном и Робертом Миллсом в попытке описать сильные ядерные силы. Эта идея, получившая название теории Янга — Миллса, позже нашла применение в квантовой теории поля слабой силы и её объединении с электромагнетизмом в электрослабой теории. Важность калибровочных теорий для физики обусловлена их огромным успехом в предоставлении единой основы для описания квантово-механического поведения электромагнетизма, слабой и сильной сил. Эта теория, известная как Стандартная модель, точно описывает экспериментальные предсказания относительно трёх из четырёх фундаментальных сил природы.

Электромагнетизм

Исторически, первым примером калибровочной симметрии, который был обнаружен, был классический электромагнетизм. Статическое электрическое поле может быть описано в терминах электрического потенциала (напряжения, ) который определяется в каждой точке пространства, и на практике принято считать Землю физическим нулем отсчета, определяющим нулевой уровень потенциала, или землю. Однако физически измеримы только разности потенциалов, поэтому вольтметр должен иметь два зонда и может измерять только разность напряжений между ними. Таким образом, можно было бы определить все разности напряжений относительно какого-либо другого стандарта, а не Земли, что привело бы к добавлению постоянного сдвига. Если потенциал является решением уравнений Максвелла, то после этого преобразования калибра новый потенциал также является решением уравнений Максвелла, и никакой эксперимент не может различить эти два решения. Иными словами, законы физики, управляющие электричеством и магнетизмом (то есть уравнения Максвелла), инвариантны относительно преобразований калибра. Уравнения Максвелла обладают калибровочной симметрией. Обобщая от статического электричества к электромагнетизму, мы получаем второй потенциал – магнитный векторный потенциал A, который также может подвергаться преобразованиям калибра. Эти преобразования могут быть локальными. То есть, вместо добавления константы к V, можно добавить функцию, принимающую различные значения в разных точках пространства и времени. Если A также изменяется соответствующим образом, то получаются те же самые электрические (E) и магнитные (B) поля. Подробные математические соотношения между полями E и B и потенциалами V и A приведены в статье «Фиксация калибра», вместе с точным определением природы преобразования калибра. Важно отметить, что поля остаются неизменными при преобразовании калибра, и, следовательно, уравнения Максвелла по-прежнему выполняются. Калибровочная симметрия тесно связана с законом сохранения заряда. Предположим, что существует процесс, посредством которого можно кратковременно нарушить закон сохранения заряда, создав заряд q в определенной точке пространства 1, переместив его в другую точку 2, а затем уничтожив его. Можно предположить, что этот процесс согласуется с законом сохранения энергии. Можно постулировать правило, согласно которому для создания заряда требуется затрата энергии E1 = qV1, а при его уничтожении высвобождается энергия E2 = qV2, что кажется естественным, поскольку qV измеряет дополнительную энергию, запасенную в электрическом поле из-за наличия заряда в определенной точке. За пределами интервала времени, в течение которого существует частица, закон сохранения энергии будет выполняться, поскольку чистая энергия, высвобождаемая при создании и уничтожении частицы (qV2 – qV1), будет равна работе, совершенной при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 (qV2 – qV1). Однако, хотя этот сценарий сохраняет энергию, он нарушает калибровочную симметрию. Калибровочная симметрия требует, чтобы законы физики были инвариантны относительно преобразования , что подразумевает, что никакой эксперимент не должен быть способен измерить абсолютный потенциал без привязки к какому-либо внешнему стандарту, такому как земля. Однако предложенные правила E1 = qV1 и E2 = qV2 для энергий создания и уничтожения позволили бы экспериментатору определить абсолютный потенциал, просто сравнив энергию, необходимую для создания заряда q в определенной точке пространства, в случаях, когда потенциал равен и соответственно. Следовательно, если калибровочная симметрия сохраняется, и энергия сохраняется, то заряд также должен сохраняться.

Historically, the first example of gauge symmetry to be discovered was classical electromagnetism. A static electric field can be described in terms of an electric potential (voltage, ) that is defined at every point in space, and in practical work it is conventional to take the Earth as a physical reference that defines the zero level of the potential, or ground. But only differences in potential are physically measurable, which is the reason that a voltmeter must have two probes, and can only report the voltage difference between them. Thus one could choose to define all voltage differences relative to some other standard, rather than the Earth, resulting in the addition of a constant offset. If the potential is a solution to Maxwell's equations then, after this gauge transformation, the new potential is also a solution to Maxwell's equations and no experiment can distinguish between these two solutions. In other words, the laws of physics governing electricity and magnetism (that is, Maxwell equations) are invariant under gauge transformation. Maxwell's equations have a gauge symmetry. Generalizing from static electricity to electromagnetism, we have a second potential, the magnetic vector potential A, which can also undergo gauge transformations. These transformations may be local. That is, rather than adding a constant onto V, one can add a function that takes on different values at different points in space and time. If A is also changed in certain corresponding ways, then the same E (electric) and B (magnetic) fields result. The detailed mathematical relationship between the fields E and B and the potentials V and A is given in the article Gauge fixing, along with the precise statement of the nature of the gauge transformation. The relevant point here is that the fields remain the same under the gauge transformation, and therefore Maxwell's equations are still satisfied. Gauge symmetry is closely related to charge conservation. Suppose that there existed some process by which one could briefly violate conservation of charge by creating a charge q at a certain point in space, 1, moving it to some other point 2, and then destroying it. We might imagine that this process was consistent with conservation of energy. We could posit a rule stating that creating the charge required an input of energy E1=qV1 and destroying it released E2=qV2, which would seem natural since qV measures the extra energy stored in the electric field because of the existence of a charge at a certain point. Outside of the interval during which the particle exists, conservation of energy would be satisfied, because the net energy released by creation and destruction of the particle, qV2 qV1, would be equal to the work done in moving the particle from 1 to 2, qV2 qV1. But although this scenario salvages conservation of energy, it violates gauge symmetry. Gauge symmetry requires that the laws of physics be invariant under the transformation , which implies that no experiment should be able to measure the absolute potential, without reference to some external standard such as an electrical ground. But the proposed rules E1=qV1 and E2=qV2 for the energies of creation and destruction would allow an experimenter to determine the absolute potential, simply by comparing the energy input required to create the charge q at a particular point in space in the case where the potential is and respectively. The conclusion is that if gauge symmetry holds, and energy is conserved, then charge must be conserved.

Общая теория относительности

Как обсуждалось выше, калибровочные преобразования для классической (то есть не квантовой) общей теории относительности представляют собой произвольные преобразования координат. Строго говоря, эти преобразования должны быть обратимыми, и само преобразование, и его обратное должны быть гладкими, то есть иметь производные любого порядка.

Пример симметрии в физической теории: инвариантность перевода

Некоторые глобальные симметрии при изменении координат предшествуют как общей теории относительности, так и понятию калибровки. Например, Галилей и Ньютон ввели понятие инвариантности относительно сдвига, что стало шагом вперед по сравнению с аристотелевской концепцией о том, что разные места в пространстве, такие как Земля и небеса, подчиняются разным физическим законам. Предположим, например, что один наблюдатель изучает свойства атома водорода на Земле, а другой – на Луне (или в любом другом месте во Вселенной); наблюдатель обнаружит, что их атомы водорода обладают полностью идентичными свойствами. Более того, если бы один наблюдатель изучал атом водорода сегодня, а другой – 100 лет назад (или в любое другое время в прошлом или будущем), оба эксперимента снова дали бы совершенно идентичные результаты. Инвариантность свойств атома водорода относительно времени и места, где эти свойства изучались, называется инвариантностью относительно сдвига. Вспомним наших двух наблюдателей из разных эпох: время в их экспериментах сдвинуто на 100 лет. Если время, когда старший наблюдатель проводил эксперимент, было t, то время современного эксперимента – t+100 лет. Оба наблюдателя открывают одни и те же законы физики. Поскольку свет от атомов водорода в далеких галактиках может достигать Земли, пройдя через пространство миллиарды лет, фактически можно проводить наблюдения, охватывающие периоды времени, почти до самого Большого взрыва, и они показывают, что законы физики всегда были одинаковыми. Иными словами, если в теории мы изменим время t на t+100 лет (или, по сути, на любое другое смещение времени), теоретические предсказания не изменятся.

Другой пример симметрии: инвариантность уравнения поля Эйнштейна при произвольных преобразованиях координат

В общей теории относительности Эйнштейна координаты, такие как x, y, z и t, не только "относительны" в глобальном смысле, касающемся сдвигов, вращений и т.п., но и становятся полностью произвольными, так что, например, можно определить совершенно новую временную координату по произвольному правилу, например, , где имеет размерность времени, и при этом уравнения Эйнштейна сохранят свою форму. Неизменность формы уравнения при произвольном преобразовании координат обычно называют общей ковариантностью, а уравнения, обладающие этим свойством, называют записанными в ковариантной форме. Общая ковариантность является частным случаем калибровочной инвариантности. Уравнения Максвелла также могут быть представлены в общей ковариантной форме, которая столь же инвариантна относительно общих преобразований координат, как и уравнения поля Эйнштейна.

Квантовая электродинамика

До появления квантовой механики единственным хорошо известным примером калибровочной симметрии был электромагнетизм, и общее значение этой концепции не было в полной мере осознано. Например, не было понятно, являются ли фундаментальными величинами поля E и B или потенциалы V и A; если первые, то преобразования калибровки можно было бы считать не более чем математическим приемом.

Эксперимент Ааронова и Бома

В квантовой механике частица, такая как электрон, также описывается как волна. Например, если эксперимент с двумя щелями проводится с электронами, то наблюдается интерференционная картина, характерная для волн. Наибольшая вероятность обнаружения электрона возникает в тех местах, где части волны, проходящие через две щели, находятся в фазе друг с другом, что приводит к конструктивной интерференции. Частота электронной волны связана с кинетической энергией отдельной электронной частицы посредством квантовомеханического соотношения E = hf. Если в этом эксперименте отсутствуют электрические или магнитные поля, то энергия электрона постоянна, и, например, существует высокая вероятность обнаружения электрона вдоль центральной оси эксперимента, где, благодаря симметрии, две части волны находятся в фазе. Но представим теперь, что электроны в эксперименте подвергаются воздействию электрических или магнитных полей. Например, если электрическое поле приложено к одной стороне оси, но не к другой, результаты эксперимента изменятся. Часть электронной волны, проходящая через эту сторону, будет колебаться с другой частотой, поскольку к её энергии добавилось значение −eV, где −e — заряд электрона, а V — электрический потенциал. Результаты эксперимента будут иными, так как фазовые соотношения между двумя частями электронной волны изменились, и, следовательно, области конструктивной и деструктивной интерференции сместятся в ту или иную сторону. Важно, что здесь речь идет об электрическом потенциале, а не об электрическом поле, и это демонстрирует фундаментальную роль потенциалов, а не полей, в квантовой механике.

Пояснение с потенциалами

Даже возможны случаи, когда результаты эксперимента отличаются при изменении потенциалов, даже если ни одна заряженная частица никогда не подвергается воздействию иного поля. Одним из таких примеров является эффект Ааронова — Бома, показанный на рисунке. В этом примере включение соленоида приводит к тому, что магнитное поле B существует только внутри соленоида. Однако соленоид расположен так, что электрон никак не может пройти сквозь его внутреннюю область. Если бы кто-то считал, что поля являются фундаментальными величинами, то следовало бы ожидать, что результаты эксперимента останутся неизменными. В действительности, результаты отличаются, поскольку включение соленоида изменило векторный потенциал A в области, через которую проходят электроны. Теперь, когда установлено, что фундаментальными являются потенциалы V и A, а не поля E и B, мы можем видеть, что калибровочные преобразования, изменяющие V и A, имеют реальный физический смысл, а не являются лишь математическими артефактами.

Инвариантность калибра: результаты экспериментов не зависят от выбора калибра для потенциалов

Обратите внимание, что в этих экспериментах на результат влияет только разность фаз между двумя частями электронной волны. Представим себе две части электронной волны как крошечные часы, у каждого из которых есть одна стрелка, вращающаяся по кругу и отслеживающая его собственную фазу. Хотя эта упрощенная модель игнорирует некоторые технические детали, она сохраняет важные для нас физические явления. Если обе стрелки ускоряются на одну и ту же величину, фазовое соотношение между ними не меняется, и результаты экспериментов остаются прежними. Более того, даже нет необходимости изменять скорость каждой стрелки на фиксированную величину. Мы могли бы изменить угол стрелки на каждом из часов на переменную величину θ, которая может зависеть как от положения в пространстве, так и от времени. Это не повлияет на результат эксперимента, поскольку окончательное наблюдение за местоположением электрона происходит в одной точке пространства и в один момент времени, поэтому сдвиг фазы в "часах" каждого электрона будет одинаковым, и эти два эффекта взаимно уничтожатся. Это еще один пример калибровочного преобразования: оно локально и не изменяет результаты экспериментов.

Резюме

В итоге, калибровочная симметрия обретает своё полное значение в контексте квантовой механики. При применении квантовой механики к электромагнетизму, то есть к квантовой электродинамике, калибровочная симметрия применима как к электромагнитным волнам, так и к электронным волнам. Эти две калибровочные симметрии на самом деле тесно связаны между собой. Если к электронным волнам применяется калибровочное преобразование θ, то, например, необходимо также применить соответствующее преобразование к потенциалам, описывающим электромагнитные волны. Калибровочная симметрия необходима для того, чтобы квантовая электродинамика была перенормируемой теорией, то есть теорией, в которой вычисленные предсказания всех физически измеримых величин являются конечными.

Типы симметрий калибра

Описание электронов в вышеуказанном подразделе как маленьких часов, по сути, является формулировкой математических правил, согласно которым фазы электронов должны складываться и вычитаться: они должны рассматриваться как обычные числа, за исключением того, что в случае, когда результат вычисления выходит за пределы диапазона 0 ≤ θ < 360°, мы заставляем его "переходить" в допустимый диапазон, который представляет собой окружность. Другими словами, фазовый угол, скажем, 5° считается полностью эквивалентным углу 365°. Эксперименты подтвердили это проверяемое утверждение об интерференционных картинах, формируемых электронными волнами. За исключением свойства "перехода", алгебраические свойства этой математической структуры точно такие же, как и у обычных действительных чисел. В математической терминологии электронные фазы образуют абелеву группу относительно сложения, называемую круговой группой или U(1). "Абелева" означает, что сложение коммутативно, то есть θ + φ = φ + θ. "Группа" означает, что сложение ассоциативно и имеет нейтральный элемент, а именно "0". Кроме того, для каждой фазы существует обратный элемент, такой что сумма фазы и ее обратного элемента равна 0. Другими примерами абелевых групп являются целые числа при сложении, 0 и отрицание, а также ненулевые дроби при умножении, 1 и обратная величина. Чтобы представить себе выбор калибровки, рассмотрим, возможно ли определить, был ли цилиндр скручен. Если на цилиндре нет неровностей, отметок или царапин, мы не сможем этого определить. Однако мы можем нарисовать произвольную кривую вдоль цилиндра, заданную некоторой функцией θ(x), где x измеряет расстояние вдоль оси цилиндра. После того, как этот произвольный выбор (выбор калибровки) сделан, становится возможным обнаружить его, если кто-то позже скрутит цилиндр. В 1954 году Чэнь Нин Ян и Роберт Миллс предложили обобщить эти идеи на некоммутативные группы. Некоммутативная группа калибровки может описывать поле, которое, в отличие от электромагнитного поля, взаимодействует само с собой. Например, общая теория относительности утверждает, что гравитационные поля обладают энергией, а специальная теория относительности заключает, что энергия эквивалентна массе. Следовательно, гравитационное поле индуцирует дополнительное гравитационное поле. Ядерные силы также обладают этим свойством самодействия.

The description of the electrons in the subsection above as little clocks is in effect a statement of the mathematical rules according to which the phases of electrons are to be added and subtracted: they are to be treated as ordinary numbers, except that in the case where the result of the calculation falls outside the range of 0≤θ<360°, we force it to "wrap around" into the allowed range, which covers a circle. Another way of putting this is that a phase angle of, say, 5° is considered to be completely equivalent to an angle of 365°. Experiments have verified this testable statement about the interference patterns formed by electron waves. Except for the "wrap around" property, the algebraic properties of this mathematical structure are exactly the same as those of the ordinary real numbers. In mathematical terminology, electron phases form an Abelian group under addition, called the circle group or U(1). "Abelian" means that addition commutes, so that θ + φ = φ + θ. Group means that addition associates and has an identity element, namely "0". Also, for every phase there exists an inverse such that the sum of a phase and its inverse is 0. Other examples of abelian groups are the integers under addition, 0, and negation, and the nonzero fractions under product, 1, and reciprocal. As a way of visualizing the choice of a gauge, consider whether it is possible to tell if a cylinder has been twisted. If the cylinder has no bumps, marks, or scratches on it, we cannot tell. We could, however, draw an arbitrary curve along the cylinder, defined by some function θ(x), where x measures distance along the axis of the cylinder. Once this arbitrary choice (the choice of gauge) has been made, it becomes possible to detect it if someone later twists the cylinder. In 1954, Chen Ning Yang and Robert Mills proposed to generalize these ideas to noncommutative groups. A noncommutative gauge group can describe a field that, unlike the electromagnetic field, interacts with itself. For example, general relativity states that gravitational fields have energy, and special relativity concludes that energy is equivalent to mass. Hence a gravitational field induces a further gravitational field. The nuclear forces also have this self interacting property.

Измерительные бозоны

Удивительно, но калибровочная симметрия может дать более глубокое объяснение существования взаимодействий, таких как электрические и ядерные взаимодействия. Это происходит из-за типа калибровочной симметрии, связанной с тем, что все частицы данного типа экспериментально неразличимы друг от друга. Представьте, что Алиса и Бетти – идентичные близнецы, отмеченные при рождении браслетами с буквами А и Б. Поскольку девочки идентичны, никто не смог бы определить, были ли они перепутаны при рождении; обозначения А и Б произвольны и могут быть взаимозаменены. Постоянная взаимозаменяемость их личностей подобна глобальной калибровочной симметрии. Существует также соответствующая локальная калибровочная симметрия, описывающая тот факт, что в любой момент времени Алиса и Бетти могли бы поменяться ролями, пока никто не смотрит, и это было бы незаметно. Если мы обнаружим, что любимая мамой ваза разбита, мы можем лишь предположить, что вина лежит на одной из близнецов, но не можем сказать, 100% вина Алисы и 0% Бетти, или наоборот. Если Алиса и Бетти на самом деле являются квантово-механическими частицами, а не людьми, то они также обладают волновыми свойствами, включая свойство суперпозиции, которое позволяет произвольно складывать, вычитать и смешивать волны. Следовательно, мы даже не ограничены полной заменой личностей. Например, если мы наблюдаем определенное количество энергии в определенной точке пространства, не существует эксперимента, который мог бы определить, состоит ли эта энергия на 100% из А и на 0% из Б, на 0% из А и на 100% из Б, на 20% из А и на 80% из Б, или какой-либо другой смеси. Тот факт, что симметрия локальна, означает, что мы даже не можем рассчитывать на то, что эти пропорции останутся постоянными по мере распространения частиц в пространстве. Детали математического представления зависят от технических вопросов, связанных со спинами частиц, но для наших целей мы рассмотрим безспиновую частицу, для которой смешение может быть задано произвольным выбором калибра θ(x), где угол θ = 0° представляет 100% А и 0% Б, θ = 90° означает 0% А и 100% Б, а промежуточные углы – смеси. Согласно принципам квантовой механики, частицы на самом деле не имеют траекторий в пространстве. Движение можно описать только в терминах волн, а импульс p отдельной частицы связан с ее длиной волны λ соотношением p = h/λ. С точки зрения эмпирических измерений длину волны можно определить только путем наблюдения изменения волны между одной точкой в пространстве и другой близлежащей точкой (математически – путем дифференцирования). Волна с более короткой длиной волны колеблется быстрее и, следовательно, быстрее меняется между близлежащими точками. Теперь предположим, что мы произвольно фиксируем калибр в одной точке пространства, утверждая, что энергия в этом месте состоит на 20% из А и на 80% из Б. Затем мы измеряем две волны в другой, близкой точке, чтобы определить их длины волн. Но есть две совершенно разные причины, по которым волны могли измениться. Они могли измениться из-за колебаний с определенной длиной волны, или они могли измениться из-за изменения калибровочной функции с смеси 20–80 до, скажем, 21–79. Если мы проигнорируем вторую возможность, полученная теория не будет работать; возникнут странные расхождения в импульсе, нарушающие принцип сохранения импульса. Что-то в теории должно быть изменено. Опять же, есть технические вопросы, связанные со спином, но в нескольких важных случаях, включая электрически заряженные частицы и частицы, взаимодействующие посредством ядерных сил, решение проблемы заключается в приписывании физической реальности калибровочной функции θ(x). Мы говорим, что если функция θ колеблется, она представляет собой новый тип квантово-механической волны, и эта новая волна имеет свой собственный импульс p = h/λ, который устраняет расхождения, которые в противном случае нарушили бы сохранение импульса. В контексте электромагнетизма частицы А и Б будут заряженными частицами, такими как электроны, а квантово-механическая волна, представленная θ, будет электромагнитным полем. (Здесь мы игнорируем технические проблемы, связанные с тем, что электроны на самом деле имеют спин 1/2, а не спин 0. Это упрощение является причиной того, что калибровочное поле θ оказывается скалярным, в то время как электромагнитное поле на самом деле представлено вектором, состоящим из V и A.) В результате мы получаем объяснение существования электромагнитных взаимодействий: если мы попытаемся построить калибровочно-инвариантную теорию идентичных невзаимодействующих частиц, результат будет самонесогласованным и может быть исправлен только путем добавления электрических и магнитных полей, вызывающих взаимодействие частиц. Хотя функция θ(x) описывает волну, законы квантовой механики требуют, чтобы она также обладала свойствами частицы. В случае электромагнетизма частица, соответствующая электромагнитным волнам, – это фотон. В общем, такие частицы называются калибровочными бозонами, где термин «бозон» относится к частице с целым спином. В простейших версиях теории калибровочные бозоны не имеют массы, но также можно построить версии, в которых они обладают массой. Это справедливо для калибровочных бозонов, переносящих слабое взаимодействие: силы, ответственные за ядерный распад.

Surprisingly, gauge symmetry can give a deeper explanation for the existence of interactions, such as the electric and nuclear interactions. This arises from a type of gauge symmetry relating to the fact that all particles of a given type are experimentally indistinguishable from one another. Imagine that Alice and Betty are identical twins, labeled at birth by bracelets reading A and B. Because the girls are identical, nobody would be able to tell if they had been switched at birth; the labels A and B are arbitrary, and can be interchanged. Such a permanent interchanging of their identities is like a global gauge symmetry. There is also a corresponding local gauge symmetry, which describes the fact that from one moment to the next, Alice and Betty could swap roles while nobody was looking, and nobody would be able to tell. If we observe that Mom's favorite vase is broken, we can only infer that the blame belongs to one twin or the other, but we cannot tell whether the blame is 100% Alice's and 0% Betty's, or vice versa. If Alice and Betty are in fact quantum mechanical particles rather than people, then they also have wave properties, including the property of superposition, which allows waves to be added, subtracted, and mixed arbitrarily. It follows that we are not even restricted to complete swaps of identity. For example, if we observe that a certain amount of energy exists in a certain location in space, there is no experiment that can tell us whether that energy is 100% A's and 0% B's, 0% A's and 100% B's, or 20% A's and 80% B's, or some other mixture. The fact that the symmetry is local means that we cannot even count on these proportions to remain fixed as the particles propagate through space. The details of how this is represented mathematically depend on technical issues relating to the spins of the particles, but for our present purposes we consider a spinless particle, for which it turns out that the mixing can be specified by some arbitrary choice of gauge θ(x), where an angle θ = 0° represents 100% A and 0% B, θ = 90° means 0% A and 100% B, and intermediate angles represent mixtures. According to the principles of quantum mechanics, particles do not actually have trajectories through space. Motion can only be described in terms of waves, and the momentum p of an individual particle is related to its wavelength λ by p = h/λ. In terms of empirical measurements, the wavelength can only be determined by observing a change in the wave between one point in space and another nearby point (mathematically, by differentiation). A wave with a shorter wavelength oscillates more rapidly, and therefore changes more rapidly between nearby points. Now suppose that we arbitrarily fix a gauge at one point in space, by saying that the energy at that location is 20% A's and 80% B's. We then measure the two waves at some other, nearby point, in order to determine their wavelengths. But there are two entirely different reasons that the waves could have changed. They could have changed because they were oscillating with a certain wavelength, or they could have changed because the gauge function changed from a 20–80 mixture to, say, 21–79. If we ignore the second possibility, the resulting theory does not work; strange discrepancies in momentum will show up, violating the principle of conservation of momentum. Something in the theory must be changed. Again there are technical issues relating to spin, but in several important cases, including electrically charged particles and particles interacting via nuclear forces, the solution to the problem is to impute physical reality to the gauge function θ(x). We say that if the function θ oscillates, it represents a new type of quantum mechanical wave, and this new wave has its own momentum p = h/λ, which turns out to patch up the discrepancies that otherwise would have broken conservation of momentum. In the context of electromagnetism, the particles A and B would be charged particles such as electrons, and the quantum mechanical wave represented by θ would be the electromagnetic field. (Here we ignore the technical issues raised by the fact that electrons actually have spin 1/2, not spin zero. This oversimplification is the reason that the gauge field θ comes out to be a scalar, whereas the electromagnetic field is actually represented by a vector consisting of V and A.) The result is that we have an explanation for the presence of electromagnetic interactions: if we try to construct a gauge symmetric theory of identical, non interacting particles, the result is not self consistent, and can only be repaired by adding electric and magnetic fields that cause the particles to interact. Although the function θ(x) describes a wave, the laws of quantum mechanics require that it also have particle properties. In the case of electromagnetism, the particle corresponding to electromagnetic waves is the photon. In general, such particles are called gauge bosons, where the term "boson" refers to a particle with integer spin. In the simplest versions of the theory gauge bosons are massless, but it is also possible to construct versions in which they have mass. This is the case for the gauge bosons that carry the weak interaction: the force responsible for nuclear decay.