Нарушение симметрии через вакуумное состояние

Введение

Спонтанное нарушение симметрии — это спонтанный процесс, в результате которого симметричная физическая система самопроизвольно переходит в несимметричное состояние. В частности, это может описывать системы, в которых уравнения движения или лагранжиан обладают симметриями, но решения, соответствующие состоянию с наименьшей энергией (вакуумные решения), не демонстрируют этих симметрий. Когда система переходит в одно из таких вакуумных состояний, симметрия нарушается для возмущений вблизи этого вакуума, хотя сам лагранжиан сохраняет эту симметрию.

Обзор

По определению, спонтанное нарушение симметрии требует существования физических законов (например, квантовой механики), инвариантных относительно преобразований симметрии (таких как сдвиг или вращение), так что любая пара исходов, различающихся только этим преобразованием, имеет одинаковое распределение вероятностей. Например, если измерения измеряемой величины в любых двух различных положениях имеют одинаковое распределение вероятностей, эта величина обладает симметрией относительно сдвига. Спонтанное нарушение симметрии возникает, когда это соотношение нарушается, при этом лежащие в основе физические законы остаются симметричными. Напротив, при явном нарушении симметрии распределения вероятностей пары исходов могут различаться. Например, в электрическом поле силы, действующие на заряженную частицу, различны в разных направлениях, поэтому вращательная симметрия явно нарушается электрическим полем, которое само не обладает этой симметрией. Фазы материи, такие как кристаллы, магниты и обычные сверхпроводники, а также простые фазовые переходы могут быть описаны с помощью спонтанного нарушения симметрии. Примечательными исключениями являются топологические фазы материи, такие как дробный квантовый эффект Холла. Как правило, при спонтанном нарушении симметрии наблюдаемые свойства системы изменяются несколькими способами. Например, можно ожидать изменения плотности, сжимаемости, коэффициента теплового расширения и удельной теплоемкости при переходе жидкости в твердое состояние.

Другие примеры

Для ферромагнитных материалов основные законы инвариантны относительно пространственных вращений. Здесь параметром порядка является намагниченность, измеряющая плотность магнитных диполей. Выше температуры Кюри параметр порядка равен нулю, что является пространственно инвариантным, и нарушение симметрии отсутствует. Однако ниже температуры Кюри намагниченность приобретает постоянное ненулевое значение, указывающее в определенном направлении (в идеализированной ситуации полного равновесия; в противном случае нарушается также трансляционная симметрия). Остаточные вращательные симметрии, сохраняющие ориентацию этого вектора, остаются не нарушенными, в отличие от других вращений, которые не сохраняются и, следовательно, спонтанно нарушаются. Законы, описывающие твердое тело, инвариантны относительно полной евклидовой группы, но само твердое тело спонтанно разрушает эту группу до пространственной группы. Смещение и ориентация являются параметрами порядка. Общая теория относительности обладает симметрией Лоренца, но в космологических моделях ФРВ среднее четырехскоростное поле, определяемое усреднением скоростей галактик (галактики ведут себя как газовые частицы в космологических масштабах), выступает в качестве параметра порядка, нарушающего эту симметрию. Аналогичные замечания можно сделать и относительно космического микроволнового фона. Для электрослабой модели, как было объяснено ранее, компонент поля Хиггса обеспечивает параметр порядка, нарушающий электрослабую калибровочную симметрию до электромагнитной калибровочной симметрии. Как и в примере с ферромагнетиком, при температуре электрослабого фазового перехода происходит фазовый переход. Тот же комментарий о том, что мы не склонны замечать нарушение симметрии, объясняет, почему потребовалось так много времени, чтобы открыть электрослабое объединение. В сверхпроводниках существует коллективное поле конденсированного состояния ψ, которое выступает в качестве параметра порядка, нарушающего электромагнитную калибровочную симметрию. Возьмите тонкий цилиндрический пластиковый стержень и сожмите оба конца. До начала изгиба система симметрична относительно вращений и, следовательно, визуально цилиндрически симметрична. Но после изгиба она выглядит иначе, асимметрично. Тем не менее, признаки цилиндрической симметрии сохраняются: пренебрегая трением, не потребуется усилий для свободного вращения стержня, смещая основное состояние во времени и приводя к колебаниям с исчезающей частотой, в отличие от радиальных колебаний в направлении изгиба. Этот режим вращения фактически является необходимым бозоном Намбу — Голдстоуна. Рассмотрим однородный слой жидкости над бесконечной горизонтальной плоскостью. Эта система обладает всеми симметриями евклидовой плоскости. Но теперь равномерно нагрейте нижнюю поверхность, чтобы она стала намного горячее верхней. Когда градиент температуры станет достаточно большим, образуются конвекционные ячейки, нарушающие евклидову симметрию. Рассмотрим бусину на круговом обруче, вращающемся вокруг вертикального диаметра. По мере постепенного увеличения скорости вращения от состояния покоя бусина первоначально останется в начальной точке равновесия в нижней части обруча (интуитивно стабильной, с самым низким гравитационным потенциалом). При определенной критической скорости вращения эта точка станет нестабильной, и бусина перескочит в одну из двух новых точек равновесия, равноудаленных от центра. Изначально система симметрична относительно диаметра, но после превышения критической скорости бусина оказывается в одной из двух новых точек равновесия, тем самым нарушая симметрию. Эксперимент с двумя воздушными шарами является примером спонтанного нарушения симметрии, когда оба шара первоначально надуты до локального максимального давления. Когда воздух перетекает из одного шара в другой, давление в обоих шарах падает, что делает систему более стабильной в асимметричном состоянии.

For ferromagnetic materials, the underlying laws are invariant under spatial rotations. Here, the order parameter is the magnetization, which measures the magnetic dipole density. Above the Curie temperature, the order parameter is zero, which is spatially invariant, and there is no symmetry breaking. Below the Curie temperature, however, the magnetization acquires a constant nonvanishing value, which points in a certain direction (in the idealized situation where we have full equilibrium; otherwise, translational symmetry gets broken as well). The residual rotational symmetries which leave the orientation of this vector invariant remain unbroken, unlike the other rotations which do not and are thus spontaneously broken. The laws describing a solid are invariant under the full Euclidean group, but the solid itself spontaneously breaks this group down to a space group. The displacement and the orientation are the order parameters. General relativity has a Lorentz symmetry, but in FRW cosmological models, the mean 4 velocity field defined by averaging over the velocities of the galaxies (the galaxies act like gas particles at cosmological scales) acts as an order parameter breaking this symmetry. Similar comments can be made about the cosmic microwave background. For the electroweak model, as explained earlier, a component of the Higgs field provides the order parameter breaking the electroweak gauge symmetry to the electromagnetic gauge symmetry. Like the ferromagnetic example, there is a phase transition at the electroweak temperature. The same comment about us not tending to notice broken symmetries suggests why it took so long for us to discover electroweak unification. In superconductors, there is a condensed matter collective field ψ, which acts as the order parameter breaking the electromagnetic gauge symmetry. Take a thin cylindrical plastic rod and push both ends together. Before buckling, the system is symmetric under rotation, and so visibly cylindrically symmetric. But after buckling, it looks different, and asymmetric. Nevertheless, features of the cylindrical symmetry are still there: ignoring friction, it would take no force to freely spin the rod around, displacing the ground state in time, and amounting to an oscillation of vanishing frequency, unlike the radial oscillations in the direction of the buckle. This spinning mode is effectively the requisite Nambu–Goldstone boson. Consider a uniform layer of fluid over an infinite horizontal plane. This system has all the symmetries of the Euclidean plane. But now heat the bottom surface uniformly so that it becomes much hotter than the upper surface. When the temperature gradient becomes large enough, convection cells will form, breaking the Euclidean symmetry. Consider a bead on a circular hoop that is rotated about a vertical diameter. As the rotational velocity is increased gradually from rest, the bead will initially stay at its initial equilibrium point at the bottom of the hoop (intuitively stable, lowest gravitational potential). At a certain critical rotational velocity, this point will become unstable and the bead will jump to one of two other newly created equilibria, equidistant from the center. Initially, the system is symmetric with respect to the diameter, yet after passing the critical velocity, the bead ends up in one of the two new equilibrium points, thus breaking the symmetry. The two balloon experiment is an example of spontaneous symmetry breaking when both balloons are initially inflated to the local maximum pressure. When some air flows from one balloon into the other, the pressure in both balloons will drop, making the system more stable in the asymmetric state.

В физике элементарных частиц

В физике частиц частицы-переносчики силы обычно описываются уравнениями поля с калибровочной симметрией; эти уравнения предсказывают, что определенные измерения будут одинаковы в любой точке поля. Например, уравнения поля могут предсказывать постоянство массы двух кварков. Решение уравнений для определения массы каждого кварка может дать два решения. В одном решении кварк А тяжелее кварка В. Во втором решении кварк В тяжелее кварка А на ту же величину. Симметрия уравнений не проявляется в отдельных решениях, но проявляется в множестве решений. Фактическое измерение отражает только одно решение, что свидетельствует о нарушении симметрии базовой теории. Термин "скрытая" более уместен, чем "нарушенная", поскольку симметрия всегда присутствует в этих уравнениях. Это явление называется спонтанным нарушением симметрии (SSB), поскольку ничто (известное нам) не нарушает симметрию в самих уравнениях. В силу природы спонтанного нарушения симметрии, различные области ранней Вселенной могли нарушать симметрию в разных направлениях, что приводило к образованию топологических дефектов, таких как двумерные доменные стенки, одномерные космические струны, нулевые монополи и/или текстуры, в зависимости от соответствующей гомотопической группы и динамики теории. Например, нарушение симметрии Хиггса могло привести к образованию первичных космических струн как побочного продукта. Гипотетическое нарушение симметрии великого объединения (GUT) обычно порождает монополи, что создает проблемы для GUT, если только монополи (вместе с любыми доменными стенками GUT) не будут удалены из нашей наблюдаемой Вселенной посредством космической инфляции.

Хиральная симметрия

Разрыв хиральной симметрии — это пример спонтанного нарушения симметрии, затрагивающего хиральную симметрию сильных взаимодействий в физике частиц. Это свойство квантовой хромодинамики, квантовой теории поля, описывающей эти взаимодействия, и оно отвечает за большую часть массы (более 99%) нуклонов, а следовательно, и всей обычной материи, поскольку превращает очень легкие связанные кварки в составляющие барионов, которые в 100 раз тяжелее. Приблизительными бозонами Намбу — Голдстоуна в этом процессе спонтанного нарушения симметрии являются пионы, масса которых на порядок меньше массы нуклонов. Это послужило прототипом и важным элементом механизма Хиггса, лежащего в основе электрослабого нарушения симметрии.

Механизм Хиггса

Сильные, слабые и электромагнитные силы можно понимать как возникающие из калибровочных симметрий, что представляет собой избыточность в описании симметрии. Механизм Хиггса, спонтанное нарушение калибровочных симметрий, является важным компонентом в понимании сверхпроводимости металлов и происхождения масс частиц в Стандартной модели физики частиц. Термин «спонтанное нарушение симметрии» здесь является некорректным, поскольку теорема Элицура утверждает, что локальные калибровочные симметрии не могут быть спонтанно нарушены. Скорее, после фиксации калибра глобальная симметрия (или избыточность) может быть нарушена способом, формально напоминающим спонтанное нарушение симметрии. Важным следствием различия между истинными симметриями и калибровочными симметриями является то, что безмассовые бозоны Намбу–Голдстоуна, возникающие при спонтанном нарушении калибровочной симметрии, поглощаются описанием калибровочного векторного поля, обеспечивая массивные векторные моды, такие как плазмонный мод в сверхпроводнике или мод Хиггса, наблюдаемый в физике частиц. В Стандартной модели физики частиц спонтанное нарушение калибровочной симметрии SU(2) × U(1), связанной с электрослабым взаимодействием, генерирует массы для нескольких частиц и разделяет электромагнитное и слабое взаимодействия. W и Z бозоны — элементарные частицы, опосредующие слабое взаимодействие, а фотон — электромагнитное взаимодействие. При энергиях, значительно превышающих 100 ГэВ, все эти частицы ведут себя аналогично. Теория Вайнберга — Салама предсказывает, что при более низких энергиях эта симметрия нарушается, в результате чего появляются фотон и массивные W и Z бозоны. Кроме того, фермионы приобретают массу согласованным образом. Без спонтанного нарушения симметрии Стандартная модель взаимодействия элементарных частиц потребовала бы существования ряда частиц. Однако некоторые частицы (W и Z бозоны) тогда предсказывались бы как безмассовые, хотя на самом деле они обладают массой. Для преодоления этого спонтанное нарушение симметрии дополняется механизмом Хиггса, придающим этим частицам массу. Это также предполагает существование новой частицы — бозона Хиггса, обнаруженного в 2012 году. Сверхпроводимость металлов является аналогом феномена Хиггса в конденсированном веществе, в котором конденсат куперовских пар электронов спонтанно нарушает U(1) калибровочную симметрию, связанную со светом и электромагнетизмом.

The strong, weak, and electromagnetic forces can all be understood as arising from gauge symmetries, which is a redundancy in the description of the symmetry. The Higgs mechanism, the spontaneous symmetry breaking of gauge symmetries, is an important component in understanding the superconductivity of metals and the origin of particle masses in the standard model of particle physics. The term "spontaneous symmetry breaking" is a misnomer here as Elitzur's theorem states that local gauge symmetries can never be spontaneously broken. Rather, after gauge fixing, the global symmetry (or redundancy) can be broken in a manner formally resembling spontaneous symmetry breaking. One important consequence of the distinction between true symmetries and gauge symmetries, is that the massless Nambu–Goldstone resulting from spontaneous breaking of a gauge symmetry are absorbed in the description of the gauge vector field, providing massive vector field modes, like the plasma mode in a superconductor, or the Higgs mode observed in particle physics. In the standard model of particle physics, spontaneous symmetry breaking of the SU(2) × U(1) gauge symmetry associated with the electro weak force generates masses for several particles, and separates the electromagnetic and weak forces. The W and Z bosons are the elementary particles that mediate the weak interaction, while the photon mediates the electromagnetic interaction. At energies much greater than 100 GeV, all these particles behave in a similar manner. The Weinberg–Salam theory predicts that, at lower energies, this symmetry is broken so that the photon and the massive W and Z bosons emerge. In addition, fermions develop mass consistently. Without spontaneous symmetry breaking, the Standard Model of elementary particle interactions requires the existence of a number of particles. However, some particles (the W and Z bosons) would then be predicted to be massless, when, in reality, they are observed to have mass. To overcome this, spontaneous symmetry breaking is augmented by the Higgs mechanism to give these particles mass. It also suggests the presence of a new particle, the Higgs boson, detected in 2012. Superconductivity of metals is a condensed matter analog of the Higgs phenomena, in which a condensate of Cooper pairs of electrons spontaneously breaks the U(1) gauge symmetry associated with light and electromagnetism.

Динамическое нарушение симметрии

Динамическое нарушение симметрии (DSB) — это особая форма спонтанного нарушения симметрии, при которой основное состояние системы обладает пониженными симметричными свойствами по сравнению с её теоретическим описанием (т.е. с лагранжианом). Динамическое нарушение глобальной симметрии — это спонтанное нарушение симметрии, которое происходит не на (классическом) древесном уровне (т.е. на уровне «голого» действия), а вследствие квантовых поправок (т.е. на уровне эффективного действия). Динамическое нарушение симметрии калибровки более тонкое. При обычном спонтанном нарушении симметрии калибровки в теории существует нестабильная частица Хиггса, которая переводит вакуум в фазу нарушения симметрии (т.е. электрослабые взаимодействия). Однако при динамическом нарушении симметрии калибровки в теории нестабильная частица Хиггса не играет роли, а связанные состояния самой системы обеспечивают нестабильные поля, вызывающие фазовый переход. Например, Бардин, Хилл и Линднер опубликовали статью, в которой предприняли попытку заменить обычный механизм Хиггса в Стандартной модели на DSB, обусловленное связанным состоянием верхних антитоп-кварков. (Такие модели, в которых составная частица играет роль бозона Хиггса, часто называют «композитными моделями Хиггса».) Динамическое нарушение калибровочных симметрий часто связано с образованием фермионного конденсата, например, кваркового конденсата, который связан с динамическим нарушением хиральной симметрии в квантовой хромодинамике. Обычная сверхпроводимость является парадигматическим примером со стороны физики конденсированного состояния, где притяжения, опосредованные фононами, приводят к образованию пар электронов, которые затем конденсируются, тем самым нарушая электромагнитную симметрию.

В физике конденсированной материи

Большинство фаз материи можно понять, рассматривая их через призму спонтанного нарушения симметрии. Например, кристаллы представляют собой периодические упорядочения атомов, которые не инвариантны относительно всех сдвигов (а лишь относительно небольшого подмножества сдвигов на вектор решетки). Магниты обладают северным и южным полюсами, ориентированными в определенном направлении, что нарушает вращательную симметрию. Помимо этих примеров, существует множество других фаз материи, характеризующихся нарушением симметрии, включая нематические фазы жидких кристаллов, волны плотности заряда и спина, сверхтекучие состояния и многие другие. Однако существуют известные примеры материи, которые нельзя описать с помощью спонтанного нарушения симметрии, такие как топологически упорядоченные фазы материи, например, дробные квантовые жидкости Холла и спиновые жидкости. Эти состояния не нарушают никакой симметрии, но при этом являются различными фазами материи. В отличие от случая спонтанного нарушения симметрии, для описания таких состояний не существует общей теоретической базы.

Непрерывная симметрия

Ферромагнетик — это каноническая система, которая спонтанно нарушает непрерывную симметрию спинов ниже температуры Кюри и при h = 0, где h — внешнее магнитное поле. Ниже температуры Кюри энергия системы инвариантна относительно инверсии намагниченности m(x) такой, что m(x) = −m(−x). Симметрия спонтанно нарушается при h → 0, когда гамильтониан становится инвариантным относительно преобразования инверсии, но среднее значение не является инвариантным. Фазы материи со спонтанно нарушенной симметрией характеризуются параметром порядка, который описывает величину, нарушающую рассматриваемую симметрию. Например, в магните параметром порядка является локальная намагниченность. Спонтанное нарушение непрерывной симметрии неизбежно сопровождается безмассовыми (то есть, для возбуждения этих мод не требуется энергии) модами Намбу — Голдстоуна, связанными с медленными, длинноволновыми флуктуациями параметра порядка. Например, колебательные моды в кристалле, известные как фононы, связаны с медленными флуктуациями плотности атомов кристалла. Соответствующая мода Голдстоуна для магнитов — это колебательные волны спина, известные как спиновые волны. Для состояний с нарушенной симметрией, параметр порядка которых не является сохраняющейся величиной, моды Намбу — Голдстоуна обычно не имеют массы и распространяются с постоянной скоростью. Важная теорема, установленная Мермином и Вагнером, гласит, что при конечной температуре термически активированные флуктуации мод Намбу — Голдстоуна разрушают дальний порядок и предотвращают спонтанное нарушение симметрии в одномерных и двумерных системах. Аналогичным образом, квантовые флуктуации параметра порядка предотвращают большинство типов непрерывного нарушения симметрии в одномерных системах даже при нулевой температуре. (Важным исключением являются ферромагнетики, параметр порядка которых, намагниченность, является точно сохраняющейся величиной и не имеет квантовых флуктуаций.) Было показано, что другие системы с взаимодействием дальнего действия, такие как цилиндрические изогнутые поверхности, взаимодействующие посредством потенциала Кулона или потенциала Юкавы, нарушают симметрии трансляции и вращения. Было показано, что в присутствии симметричного гамильтониана и в пределе бесконечного объема система спонтанно принимает хиральную конфигурацию, то есть нарушает симметрию зеркальной плоскости.

The ferromagnet is the canonical system that spontaneously breaks the continuous symmetry of the spins below the Curie temperature and at 1=h = 0, where h is the external magnetic field. Below the Curie temperature, the energy of the system is invariant under inversion of the magnetization m(x) such that 1=m(x) = −m(−x). The symmetry is spontaneously broken as h → 0 when the Hamiltonian becomes invariant under the inversion transformation, but the expectation value is not invariant. Spontaneously symmetry broken phases of matter are characterized by an order parameter that describes the quantity which breaks the symmetry under consideration. For example, in a magnet, the order parameter is the local magnetization. Spontaneous breaking of a continuous symmetry is inevitably accompanied by gapless (meaning that these modes do not cost any energy to excite) Nambu–Goldstone modes associated with slow, long wavelength fluctuations of the order parameter. For example, vibrational modes in a crystal, known as phonons, are associated with slow density fluctuations of the crystal's atoms. The associated Goldstone mode for magnets are oscillating waves of spin known as spin waves. For symmetry breaking states, whose order parameter is not a conserved quantity, Nambu–Goldstone modes are typically massless and propagate at a constant velocity. An important theorem, due to Mermin and Wagner, states that, at finite temperature, thermally activated fluctuations of Nambu–Goldstone modes destroy the long range order, and prevent spontaneous symmetry breaking in one and two dimensional systems. Similarly, quantum fluctuations of the order parameter prevent most types of continuous symmetry breaking in one dimensional systems even at zero temperature. (An important exception is ferromagnets, whose order parameter, magnetization, is an exactly conserved quantity and does not have any quantum fluctuations.) Other long range interacting systems, such as cylindrical curved surfaces interacting via the Coulomb potential or Yukawa potential, have been shown to break translational and rotational symmetries. It was shown, in the presence of a symmetric Hamiltonian, and in the limit of infinite volume, the system spontaneously adopts a chiral configuration — i. e., breaks mirror plane symmetry.

Обобщение и техническое использование

Чтобы произошло спонтанное нарушение симметрии, должна существовать система, в которой существует несколько равновероятных исходов. Следовательно, система в целом симметрична относительно этих исходов. Однако, если система исследуется (то есть, если система фактически используется или с ней взаимодействуют каким-либо образом), должен реализоваться конкретный исход. Хотя система в целом симметрична, она никогда не наблюдается в состоянии этой симметрии, а только в одном конкретном асимметричном состоянии. Таким образом, в данной теории симметрия считается спонтанно нарушенной. Тем не менее, тот факт, что каждый исход равновероятен, является отражением лежащей в основе симметрии, которую часто называют «скрытой симметрией», и имеет важные формальные последствия. (См. статью о бозоне Голдстоуна.) Спонтанное нарушение симметрии происходит, когда теория симметрична относительно группы симметрии, но требует, чтобы один элемент этой группы был выделен. Теория не должна указывать, какой именно элемент выделен, а лишь то, что он есть. С этого момента теорию можно рассматривать так, как если бы этот элемент действительно был выделен, с оговоркой, что любые полученные таким образом результаты должны быть ресимметризованы путем усреднения по всем элементам группы, которые могут быть выделены. Ключевым понятием в физических теориях является параметр порядка. Если существует поле (часто фоновое поле), которое приобретает ожидаемое значение (не обязательно вакуумное ожидаемое значение), не инвариантное относительно рассматриваемой симметрии, то мы говорим, что система находится в упорядоченной фазе, и симметрия спонтанно нарушается. Это происходит потому, что другие подсистемы взаимодействуют с параметром порядка, который задает «систему отсчета», относительно которой проводятся измерения. В этом случае вакуумное состояние не подчиняется исходной симметрии (которая сохранила бы его инвариантным в линейно реализованном режиме Вигнера, где оно было бы синглетом), а вместо этого преобразуется под действием (скрытой) симметрии, теперь реализованной в (нелинейном) режиме Намбу–Голдстоуна. Обычно, в отсутствие механизма Хиггса, возникают безмассовые бозоны Голдстоуна. Группа симметрии может быть дискретной, например, пространственная группа кристалла, или непрерывной (например, группа Ли), такой как вращательная симметрия пространства. Однако, если система содержит только одно пространственное измерение, то в вакуумном состоянии полной квантовой теории могут быть нарушены только дискретные симметрии, хотя классическое решение может нарушить непрерывную симметрию.

For spontaneous symmetry breaking to occur, there must be a system in which there are several equally likely outcomes. The system as a whole is therefore symmetric with respect to these outcomes. However, if the system is sampled (i. e. if the system is actually used or interacted with in any way), a specific outcome must occur. Though the system as a whole is symmetric, it is never encountered with this symmetry, but only in one specific asymmetric state. Hence, the symmetry is said to be spontaneously broken in that theory. Nevertheless, the fact that each outcome is equally likely is a reflection of the underlying symmetry, which is thus often dubbed "hidden symmetry", and has crucial formal consequences. (See the article on the Goldstone boson.) When a theory is symmetric with respect to a symmetry group, but requires that one element of the group be distinct, then spontaneous symmetry breaking has occurred. The theory must not dictate which member is distinct, only that one is. From this point on, the theory can be treated as if this element actually is distinct, with the proviso that any results found in this way must be resymmetrized, by taking the average of each of the elements of the group being the distinct one. The crucial concept in physics theories is the order parameter. If there is a field (often a background field) which acquires an expectation value (not necessarily a vacuum expectation value) which is not invariant under the symmetry in question, we say that the system is in the ordered phase, and the symmetry is spontaneously broken. This is because other subsystems interact with the order parameter, which specifies a "frame of reference" to be measured against. In that case, the vacuum state does not obey the initial symmetry (which would keep it invariant, in the linearly realized Wigner mode in which it would be a singlet), and, instead changes under the (hidden) symmetry, now implemented in the (nonlinear) Nambu–Goldstone mode. Normally, in the absence of the Higgs mechanism, massless Goldstone bosons arise. The symmetry group can be discrete, such as the space group of a crystal, or continuous (e. g., a Lie group), such as the rotational symmetry of space. However, if the system contains only a single spatial dimension, then only discrete symmetries may be broken in a vacuum state of the full quantum theory, although a classical solution may break a continuous symmetry.

Нобелевская премия

7 октября 2008 года Королевская шведская академия наук присудила Нобелевскую премию по физике 2008 года трем ученым за их работу в области нарушения симметрии в субатомной физике. Йоичиро Намбу из Чикагского университета получил половину премии за открытие механизма спонтанного нарушения симметрии в контексте сильных взаимодействий, в частности, нарушения хиральной симметрии. Физики Макото Кобаяши и Тошихиде Маскава из Киотского университета разделили вторую половину премии за открытие источника явного нарушения CP-симметрии в слабых взаимодействиях. Этот источник в конечном итоге опирается на механизм Хиггса, но до сих пор понимается как некая заданная особенность связей Хиггса, а не как явление спонтанного нарушения симметрии.