Введение
Математическое множество, содержащее все объекты.
В теории множеств универсальное множество — это множество, которое содержит все объекты, включая само себя. В теории множеств, как она обычно формулируется, можно различными способами доказать, что универсального множества не существует. Однако некоторые нестандартные варианты теории множеств допускают существование универсального множества.
Причины отсутствия
Многие теории множеств не допускают существования универсального множества. Существует несколько различных аргументов, доказывающих его несуществование, основанных на различных наборах аксиом теории множеств.
Парадокс Рассела
Парадокс Рассела связан с невозможностью существования множества, состоящего из всех множеств, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Если бы такое множество существовало, оно не могло бы ни содержать себя (поскольку все его элементы не содержат себя), ни не содержать себя (поскольку в противном случае оно должно было бы быть включено в себя как один из элементов). Этот парадокс исключает существование универсального множества в теориях множеств, включающих либо аксиому ограниченного выделения Зермело, либо аксиому регулярности и аксиому парности.
Регулярность и сопряжение
В теории множеств Цермело — Френкеля аксиома регулярности и аксиома пар препятствуют тому, чтобы какое-либо множество содержало само себя. Для любого множества X множество {X, X} (построенное с помощью аксиомы пар) обязательно содержит элемент, не пересекающийся с X, согласно аксиоме регулярности. Поскольку его единственным элементом является X, необходимо, чтобы X не пересекался с {X, X}, и, следовательно, {X, X} не содержало само себя. Поскольку универсальное множество обязательно должно содержать само себя, оно не может существовать при данных аксиомах.
Теорема Кантора
Еще одна сложность, связанная с идеей универсального множества, касается множества степеней множества всех множеств. Поскольку это множество степеней само является множеством множеств, оно должно быть подмножеством множества всех множеств, если оба эти множества существуют. Однако это противоречит теореме Кантора, утверждающей, что множество степеней любого множества (конечного или бесконечного) всегда имеет строго большую мощность, чем само исходное множество.
Теории универсальности
Трудности, связанные с универсальным множеством, можно избежать либо использованием варианта теории множеств, в котором аксиома выделения ограничена каким-либо образом, либо использованием универсального объекта, который не рассматривается как множество.
Ограниченное понимание
Существуют теории множеств, известные как непротиворечивые (если обычная теория множеств непротиворечива), в которых универсальное множество V действительно существует. В этих теориях аксиома понимания Зермело не выполняется в общем случае, а аксиома понимания наивной теории множеств ограничена иным образом. Теория множеств, содержащая универсальное множество, неизбежно является не вполне обоснованной теорией множеств. Наиболее изученной теорией множеств с универсальным множеством является «Новые основы» Уилларда Ван Ормана Куйна. Алонзо Черч и Арнольд Обершельп также публиковали работы по подобным теориям множеств. Черч предполагал, что его теория может быть расширена согласованно с теорией Куйна, но это невозможно для теории Обершельпа, поскольку в ней функция синглетона доказуемо является множеством, что сразу же приводит к парадоксу в «Новых основах». Другой пример – положительная теория множеств, где аксиома понимания ограничена применением только к положительным формулам (формулам, не содержащим отрицаний). Такие теории множеств мотивированы понятиями замкнутости в топологии.
Универсальные объекты, которые не являются множествами
Идея универсального множества представляется интуитивно привлекательной в теории множеств Цермело — Френкеля, особенно поскольку большинство версий этой теории допускают использование кванторов над всеми множествами (см. универсальный квантор). Один из способов допустить объект, который ведет себя подобно универсальному множеству, не порождая при этом парадоксов, — это описывать V и подобные большие объединения как собственные классы, а не как множества. Одно из различий между универсальным множеством и универсальным классом состоит в том, что универсальный класс не содержит себя, поскольку собственные классы не могут быть элементами других классов. Парадокс Рассела не возникает в этих теориях, так как аксиома спецификации оперирует множествами, а не классами. Категория множеств также может рассматриваться как универсальный объект, который, опять же, сам по себе не является множеством. Она содержит все множества в качестве элементов и также включает стрелки, представляющие все функции из одного множества в другое. И снова, она не содержит себя, поскольку сама не является множеством.