Введение

Идеалы в булевой алгебре могут быть расширены до простых идеалов. В математике теорема о булевых простых идеалах утверждает, что идеалы в булевой алгебре могут быть расширены до простых идеалов. Вариация этого утверждения для фильтров на множествах известна как лемма об ультрафильтрах. Другие теоремы получаются путем рассмотрения различных математических структур с соответствующими понятиями идеалов, например, колец и простых идеалов (в теории колец) или дистрибутивных решёток и максимальных идеалов (в теории порядка). В данной статье основное внимание уделяется теоремам о простых идеалах из теории порядка. Хотя различные теоремы о простых идеалах могут казаться простыми и интуитивно понятными, их в общем случае нельзя вывести из аксиом теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора (обозначается ZF). Вместо этого некоторые из этих утверждений оказываются эквивалентными аксиоме выбора (AC), а другие — например, теорема о булевых простых идеалах — представляют собой свойство, строго более слабое, чем AC. Именно благодаря этому промежуточному статусу между ZF и ZF + AC (ZFC) теорему о булевых простых идеалах часто принимают за аксиому теории множеств. Для обозначения этой дополнительной аксиомы иногда используются сокращения BPI или PIT (для булевых алгебр).

Теоремы о первых идеалах

Идеал порядка — это (непустое) направленное нижнее множество. Если рассматриваемое частично упорядоченное множество (посеть) имеет двоичные супремумы (также известные как объединения), как и посети в этой статье, то это эквивалентно характеризуется как непустое нижнее множество I, замкнутое относительно двоичных супремумов (то есть, из следует ). Идеал I является простым, если его теоретическое дополнение в посете является фильтром (то есть, из следует или ). Идеалы называются собственными, если они не равны всему посети. Исторически первое утверждение, связанное с последующими теоремами о простых идеалах, на самом деле касалось фильтров — подмножеств, являющихся идеалами относительно двойственного порядка. Лемма об ультрафильтрах утверждает, что каждый фильтр на множестве содержится в некотором максимальном (собственном) фильтре — ультрафильтре. Напомним, что фильтры на множествах являются собственными фильтрами булевой алгебры его булеана (power set). В этом особом случае максимальные фильтры (то есть фильтры, которые не являются строгими подмножествами какого-либо собственного фильтра) и простые фильтры (то есть фильтры, которые вместе с каждым объединением подмножеств X и Y содержат также X или Y) совпадают. Двойственность этого утверждения, таким образом, гарантирует, что каждый идеал булеана содержится в простом идеале. Вышеуказанное утверждение привело к различным обобщенным теоремам о простых идеалах, каждая из которых существует в слабой и сильной форме. Теоремы о слабых простых идеалах утверждают, что каждая нетривиальная алгебра определенного класса имеет по крайней мере один простой идеал. В отличие от этого, теоремы о сильных простых идеалах требуют, чтобы каждый идеал, не пересекающийся с данным фильтром, можно было расширить до простого идеала, который также не пересекается с этим фильтром. В случае алгебр, которые не являются посетами, вместо фильтров используются различные подструктуры. Многие формы этих теорем на самом деле известны как эквивалентные, поэтому утверждение о том, что "PIT" выполняется, обычно принимается как утверждение о том, что соответствующее утверждение для булевых алгебр (BPI) верно. Другая вариация подобных теорем получается заменой каждого упоминания простого идеала на максимальный идеал. Соответствующие теоремы о максимальных идеалах (MIT) часто, хотя и не всегда, сильнее своих эквивалентов PIT.

Дальнейшие теоремы о первоидеалах

Прототипические свойства, которые обсуждались для булевых алгебр в вышеуказанном разделе, можно легко модифицировать, чтобы включить более общие решетки, такие как дистрибутивные решетки или алгебры Хейтинга. Однако в этих случаях максимальные идеалы отличаются от простых идеалов, и связь между PIT и MIT не является очевидной. Действительно, оказывается, что MIT для дистрибутивных решеток и даже для алгебр Хейтинга эквивалентны аксиоме выбора. С другой стороны, известно, что сильный PIT для дистрибутивных решеток эквивалентен BPI (то есть MIT и PIT для булевых алгебр). Следовательно, это утверждение строго слабее аксиомы выбора. Кроме того, следует отметить, что алгебры Хейтинга не являются самодвойственными, и, следовательно, использование фильтров вместо идеалов приводит к различным теоремам в этом контексте. Возможно, удивительно, но MIT для двойственных алгебр Хейтинга не сильнее, чем BPI, что резко контрастирует с вышеупомянутым MIT для алгебр Хейтинга. Наконец, теоремы о простых идеалах существуют и для других (не порядковых) абстрактных алгебр. Например, MIT для колец влечет аксиому выбора. В этой ситуации необходимо заменить порядковый термин "фильтр" другими понятиями — для колец подходит "множественно замкнутое подмножество".

Лема ультрафильтрации

Фильтр на множестве X — это непустая коллекция непустых подмножеств X, замкнутая относительно конечных пересечений и относительно супермножеств. Ультрафильтр — это максимальный фильтр. Лемма об ультрафильтрах утверждает, что каждый фильтр на множестве X является подмножеством некоторого ультрафильтра на X. Ультрафильтр, не содержащий конечные множества, называется "неглавным". Лемма об ультрафильтрах, и в частности существование неглавных ультрафильтров (например, фильтр всех множеств с конечными дополнениями), может быть доказана с использованием леммы Зорна. Лемма об ультрафильтрах эквивалентна теореме о булевых простых идеалах, причем эквивалентность доказывается в теории множеств ZF без аксиомы выбора. Идея доказательства состоит в том, что подмножества любого множества образуют булеву алгебру, частично упорядоченную включением, и любая булева алгебра представима как алгебра множеств теоремой о представлении Стоуна. Если множество X конечно, то лемма об ультрафильтрах может быть доказана из аксиом ZF. Это больше неверно для бесконечных множеств; требуется предположить дополнительную аксиому. Лемма Зорна, аксиома выбора и теорема Тихонова могут быть использованы для доказательства леммы об ультрафильтрах. Лемма об ультрафильтрах строго слабее аксиомы выбора. Лемма об ультрафильтрах имеет множество применений в топологии. Лемму об ультрафильтрах можно использовать для доказательства теоремы Хана-Банаха и теоремы Александра о подбазе.

Приложения

Интуитивно, теорема Буля о простых идеалах утверждает, что в булевой алгебре "достаточно" простых идеалов в том смысле, что любой идеал можно расширить до максимального. Это имеет практическое значение для доказательства теоремы представления Стоуна для булевых алгебр, являющейся частным случаем дуальности Стоуна, где множество всех простых идеалов снабжается определенной топологией, и исходную булеву алгебру (с точностью до изоморфизма) действительно можно восстановить из этих данных. Более того, оказывается, что в приложениях можно свободно выбирать работу с простыми идеалами или с простыми фильтрами, поскольку каждый идеал однозначно определяет фильтр: множество всех булевых дополнений его элементов. Оба подхода встречаются в литературе. Многие другие теоремы общей топологии, которые часто считают зависящими от аксиомы выбора, на самом деле эквивалентны BPI. Например, теорема о том, что произведение компактных хаусдорфовых пространств компактно, эквивалентна ей. Если опустить "хаусдорфовы", то получится теорема, эквивалентная полной аксиоме выбора. В теории графов теорема де Брюйна — Эрдоша является еще одним эквивалентом BPI. Она утверждает, что если для раскраски данного бесконечного графа требуется хотя бы некоторое конечное число k, то у него есть конечный подграф, который также требует k.

Не слишком известным применением теоремы Буля о простых идеалах является существование не измеримого множества (обычно приводимым примером является множество Витали, требующее аксиому выбора). Из этого и того факта, что BPI строго слабее аксиомы выбора, следует, что существование не измеримых множеств строго слабее аксиомы выбора. В линейной алгебре теорема Буля о простых идеалах может быть использована для доказательства того, что любые две базы данного векторного пространства имеют одинаковую кардинальность.