Введение
Число, сумма делителей которого меньше, чем само число. В теории чисел, дефицитное или неполное число — это положительное целое число n, для которого сумма делителей n меньше 2n. Эквивалентно, это число, для которого сумма собственных делителей (или аликвотная сумма) меньше n. Например, собственные делители числа 8 — это 1, 2 и 4, и их сумма меньше 8, следовательно, 8 является дефицитным числом. Обозначая σ(n) суммой делителей, величина 2n – σ(n) называется дефицитом числа. В терминах аликвотной суммы s(n), дефицит равен n – s(n).
In number theory, a deficient number or defective number is a positive integer n for which the sum of divisors of n is less than 2n. Equivalently, it is a number for which the sum of proper divisors (or aliquot sum) is less than n. For example, the proper divisors of 8 are 1, 2, and 4, and their sum is less than 8, so 8 is deficient. Denoting by σ(n) the sum of divisors, the value 2n – σ(n) is called the number's deficiency. In terms of the aliquot sum s(n), the deficiency is n – s(n).
Свойства
Поскольку аликвотная сумма простых чисел равна 1, все простые числа являются дефицитными. В более общем случае, все нечетные числа с одним или двумя различными простыми множителями дефицитны. Следовательно, существует бесконечно много нечетных дефицитных чисел. Существует также бесконечное количество четных дефицитных чисел, так как сумма делителей всех степеней двойки равна меньше, чем само число. В более общем случае, все простые степени дефицитны, поскольку их единственные собственные делители суммируются в 1, что меньше самого числа. Все собственные делители дефицитных чисел дефицитны. Более того, все собственные делители совершенных чисел дефицитны. Существует по крайней мере одно дефицитное число в интервале [1, n] для всех достаточно больших n.
More generally, all prime powers are deficient, because their only proper divisors are which sum to , which is at most
All proper divisors of deficient numbers are deficient. Moreover, all proper divisors of perfect numbers are deficient. There exists at least one deficient number in the interval for all sufficiently large n.
Связанные понятия
Тесно связанные с недостаточными числами являются совершенные числа с σ(n) = 2n и избыточные числа с σ(n) > 2n. Никомах впервые разделил числа на недостаточные, совершенные и избыточные в своем «Введении в арифметику» (около 100 г. н.э.). Однако он применял эту классификацию только к чётным числам.