Введение

Число, равное сумме некоторых своих делителей. В теории чисел полуидеальное число или псевдосовершенное число — это натуральное число n, которое равно сумме всех или части его собственных делителей. Полуидеальное число, равное сумме всех его собственных делителей, является совершенным числом. Первые полуидеальные числа: 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40,

Свойства

Каждое кратное полуидеального числа является полуидеальным числом. Полуидеальное число, не делящееся ни на одно меньшее полуидеальное число, называется примитивным. Каждое число вида 2mp, где m – натуральное число, а p – нечетное простое число, такое что p < 2m+1, также является полуидеальным. В частности, каждое число вида 2m(2m+1 − 1) является полуидеальным, и при этом совершенным, если 2m+1 − 1 является простым числом Мерсенна. Наименьшее нечетное полуидеальное число равно 945 (см., например, Friedman 1993). Полуидеальное число обязательно является либо совершенным, либо избыточным. Избыточное число, которое не является полуидеальным, называется странным числом. За исключением числа 2, все первичные псевдосовершенные числа являются полуидеальными. Любое практическое число, не являющееся степенью двойки, является полуидеальным. Естественная плотность множества полуидеальных чисел существует.

Примитивные полуидеальные числа

Примитивное полуидеальное число (также называемое примитивным псевдоидеальным числом, неразложимым полуидеальным числом или неразложимым псевдоидеальным числом) — это полуидеальное число, не имеющее полуидеальных собственных делителей. Первые несколько примитивных полуидеальных чисел: 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350. Существует бесконечно много таких чисел. Все числа вида 2mp, где p — простое число между 2m и 2m+1, являются примитивными полуидеальными, но это не единственная форма: например, 770. Существует бесконечно много нечётных примитивных полуидеальных чисел, наименьшим из которых является 945, что было доказано Полом Эрдошем. Также существует бесконечно много примитивных полуидеальных чисел, которые не являются гармоническими делителями. Любое полуидеальное число кратно некоторому примитивному полуидеальному числу.