Кіріспе
Сандар теориясында жартылай толық сан немесе псевдотолық сан — өзінің кейбір бөлгіштерінің қосындысына тең болатын n табиғи саны. Егер жартылай толық сан өзінің барлық бөлгіштерінің қосындысына тең болса, онда ол толық сан болады. Бірінші жартылай толық сандар: 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, ...
In number theory, a semiperfect number or pseudoperfect number is a natural number n that is equal to the sum of all or some of its proper divisors. A semiperfect number that is equal to the sum of all its proper divisors is a perfect number. The first few semiperfect numbers are: 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40,
Қасиеттері
Жартылай толық санның әрбір еселігі жартылай толық сан болады. Кіші жартылай толық санға бөлінбейтін жартылай толық сан примитив деп аталады. Табиғи сан m және p < 2m+1 шартымен тақ жай сан p болғанда, 2mp түріндегі әрбір сан да жартылай толық болады. Атап айтқанда, 2m(2m+1 − 1) түріндегі әрбір сан жартылай толық, ал 2m+1 − 1 Мерсенн жай саны болса, онда ол толық сан болады. Ең кіші тақ жартылай толық сан – 945 (мысалы, Фридман 1993). Жартылай толық сан міндетті түрде толық немесе мол сан болады. Жартылай толық емес мол санды ерекше сан дейді. 2-ден басқа барлық бастапқы псевдотолық сандар жартылай толық сандар болып табылады. Екінің дәрежесі емес, әрбір практикалық сан жартылай толық болады. Жартылай толық сандар жиынының табиғи тығыздығы бар.
Бастапқы жартылай кемел сандар
Бастапқы жартылай кемелді сан (бастапқы псевдокемелді сан, азайтылмас жартылай кемелді сан немесе азайтылмас псевдокемелді сан) – өзінің жартылай кемелді дұрыс бөлгіші жоқ жартылай кемелді сан. Алғашқы бастапқы жартылай кемелді сандар: 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350. Мұндай сандар шексіз көп. Егер p саны 2m мен 2m+1 аралығындағы жай сан болса, 2mp түріндегі барлық сандар бастапқы жартылай кемелді болады, бірақ бұл жалғыз түр емес: мысалы, 770. Тақ бастапқы жартылай кемелді сандар да шексіз көп, ең кішісі – 945, бұл Пол Эрдостың нәтижесі. Сондай-ақ, гармониялық бөлгіш сандар емес бастапқы жартылай кемелді сандар да бар. Кез келген жартылай кемелді сан – бастапқы жартылай кемелді санның еселігі.
There are infinitely many such numbers. All numbers of the form 2mp, with p a prime between 2m and 2m+1, are primitive semiperfect, but this is not the only form: for example, 770. There are infinitely many odd primitive semiperfect numbers, the smallest being 945, a result of Paul Erdős: there are also infinitely many primitive semiperfect numbers that are not harmonic divisor numbers. Every semiperfect number is a multiple of a primitive semiperfect number.