Введение
Математическая задача в теории чисел
В теории чисел проблема Уоринга спрашивает, существует ли для каждого натурального числа k соответствующее положительное целое число s, такое что каждое натуральное число можно представить в виде суммы не более чем s натуральных чисел, возведенных в степень k. Например, каждое натуральное число является суммой не более чем 4 квадратов, 9 кубов или 19 четвёртых степеней. Проблема Уоринга была предложена в 1770 году Эдвардом Уорингом, в честь которого она и названа. Её положительное решение, известное как теорема Гильберта — Уоринга, было получено Гильбертом в 1909 году. Проблема Уоринга имеет собственную классификацию в математике, 11P05, "Проблема Уоринга и её варианты".
In number theory, Waring's problem asks whether each natural number k has an associated positive integer s such that every natural number is the sum of at most s natural numbers raised to the power k. For example, every natural number is the sum of at most 4 squares, 9 cubes, or 19 fourth powers. Waring's problem was proposed in 1770 by Edward Waring, after whom it is named. Its affirmative answer, known as the Hilbert–Waring theorem, was provided by Hilbert in 1909. Waring's problem has its own Mathematics Subject Classification, 11P05, "Waring's problem and variants".
Связь с теоремой Лагранжа о четырех квадратах
Задолго до того, как Уоринг сформулировал свою проблему, Диофант задавался вопросом, можно ли любое положительное целое число представить в виде суммы четырех полных квадратов, больших или равных нулю. Этот вопрос впоследствии стал известен как гипотеза Баше, названная по переводу трудов Диофанта, выполненному Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком в 1621 году, и был доказан Жозефом Луи Лагранжем в его теореме о четырех квадратах в 1770 году – в тот же год, когда Уоринг выдвинул свою гипотезу. Уоринг стремился обобщить эту задачу, пытаясь представить все положительные целые числа в виде суммы кубов, чисел в четвертой степени и так далее, чтобы показать, что любое положительное целое число можно представить как сумму других целых чисел, возведенных в определенную степень, и что всегда существует максимальное количество целых чисел, возведенных в некоторую степень, необходимых для представления всех положительных целых чисел подобным образом.
Число G ((k)
Из работ Харди и Литтлвуда изучалось количество G(k) в связи с g(k). G(k) определяется как наименьшее положительное целое число s, такое что каждое достаточно большое целое число (то есть каждое целое число, большее некоторой константы) может быть представлено в виде суммы не более чем s положительных целых чисел в степени k. Очевидно, что G(1) = 1. Поскольку квадраты сравнимы с 0, 1 или 4 по модулю 8, никакое целое число, сравнимое с 7 по модулю 8, не может быть представлено в виде суммы трех квадратов, что означает, что G(2) ≥ 4. Поскольку G(k) ≤ g(k) для всех k, это показывает, что G(2) = 4. Давенпорт в 1939 году показал, что G(4) = 16, продемонстрировав, что любое достаточно большое число, сравнимое с 1 по 14 включительно по модулю 16, может быть записано в виде суммы 14 четвёртых степеней (Вауган в 1986 и 1989 годах последовательно уменьшил количество этих биквадратов до 13 и 12). Точное значение G(k) неизвестно для любого другого k, но существуют оценки.