Введение
В линейной алгебре, связь между тремя измерениями.
Теорема о ранге и нуль-пространстве – теорема в линейной алгебре, утверждающая следующее:
число столбцов матрицы M равно сумме ранга M и размерности ядра M; и
размерность области определения линейного преобразования f равна сумме ранга f (размерности образа f) и размерности ядра f. Следовательно, для линейных преобразований векторных пространств одинаковой конечной размерности, инъективность или сюръективность влечет за собой биективность.
the number of columns of a matrix M is the sum of the rank of M and the nullity of M; and
the dimension of the domain of a linear transformation f is the sum of the rank of f (the dimension of the image of f) and the nullity of f (the dimension of the kernel of f). It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.
Линейные преобразования
Пусть — линейное преобразование между двумя векторными пространствами, область определения которого конечномерна. Тогда
где — ранг (размерность его образа), а — ядро (размерность его ядра). Иными словами,
Эта теорема может быть уточнена с помощью леммы о расщеплении и сформулирована как утверждение об изоморфизме пространств, а не только об их размерностях. В частности, поскольку отображение индуцирует изоморфизм из в , то существование базиса для , расширяющего любой заданный базис для , влечет, согласно лемме о расщеплении, что . Переходя к размерностям, получаем теорему о ранге и ядре.
Матрицы
Линейные отображения могут быть представлены матрицами. Более точно, матрица M размера m × n представляет линейное отображение f: Kⁿ → Kᵐ, где K – базовое поле. Таким образом, размерность области определения f равна n, что соответствует числу столбцов матрицы M, а теорема о ранге и нуль-пространстве для матрицы M размера m × n имеет вид:
Доказательства
Здесь мы приводим два доказательства. Первое рассматривает однородную систему, где – матрица с рангом , и явно показывает, что существует набор из линейно независимых решений, порождающих нулевое пространство матрицы . Хотя теорема требует, чтобы область определения линейного отображения была конечномерной, никаких предположений о области значений не делается. Это означает, что существуют линейные отображения, не заданные матрицами, к которым применима теорема. Однако, первое доказательство на самом деле не является более общим, чем второе: поскольку образ линейного отображения конечномерен, мы можем представить отображение из его области определения в его образ матрицей, доказать теорему для этой матрицы, а затем композировать с включением образа в полное область значений.
While the theorem requires that the domain of the linear map be finite dimensional, there is no such assumption on the codomain. This means that there are linear maps not given by matrices for which the theorem applies. Despite this, the first proof is not actually more general than the second: since the image of the linear map is finite dimensional, we can represent the map from its domain to its image by a matrix, prove the theorem for that matrix, then compose with the inclusion of the image into the full codomain.
Третье фундаментальное подпространство
Когда линейное преобразование определено между двумя конечномерными подпространствами с и (и, следовательно, может быть представлено матрицей ), теорема о ранге и нуль-пространстве утверждает, что если имеет ранг , то является размерностью нуль-пространства , которое представляет собой ядро . В некоторых текстах, наряду с образом и ядром , рассматривается третье фундаментальное подпространство, связанное с : коядро – это фактор-пространство , а его размерность равна . Эта формула размерности (которую также можно записать как ) вместе с теоремой о ранге и нуль-пространстве иногда называется фундаментальной теоремой линейной алгебры.