Введение
Категория, допускающая тензорные произведенияВ математике моноидальная категория (или тензорная категория) — это категория, оснащенная бифунктором, ассоциативным с точностью до естественного изоморфизма, и объектом I, являющимся одновременно левой и правой единицей для ⊗, также с точностью до естественного изоморфизма. Связанные естественные изоморфизмы подчиняются определенным условиям когерентности, обеспечивающим коммутативность всех соответствующих диаграмм. Обычное тензорное произведение превращает векторные пространства, абелевы группы, R-модули или R-алгебры в моноидальные категории. Моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих и других примеров. Каждая (малая) моноидальная категория также может быть представлена как «категорификация» лежащего в основе моноида, а именно моноида, элементы которого являются классами изоморфизма объектов категории, а бинарная операция задается тензорным произведением категории. Совершенно иное применение, для которого моноидальные категории можно рассматривать как абстракцию, — это система типов данных, замкнутая относительно конструктора типов, который принимает два типа и строит агрегированный тип. Типы служат объектами, а ⊗ — агрегатным конструктором. Ассоциативность с точностью до изоморфизма — это способ выразить, что различные способы агрегирования одних и тех же данных, например, и , хранят одну и ту же информацию, даже если агрегированные значения не обязательно должны быть одинаковыми. Агрегированный тип может быть аналогичен операции сложения (тип-сумма) или умножения (тип-произведение). Для типа-произведения тождественный объект — это единица , поэтому существует только один элемент типа, и именно поэтому произведение с ним всегда изоморфно другому операнду. Для типа-суммы тождественный объект — это пустой тип, который не хранит никакой информации, и невозможно обратиться к его элементу. Концепция моноидальной категории не предполагает, что значения таких агрегированных типов можно разделить; напротив, она предоставляет основу, объединяющую классическую и квантовую теорию информации. В теории категорий моноидальные категории можно использовать для определения понятия моноидного объекта и связанного с ним действия на объекты категории. Они также используются в определении обогащенной категории. Моноидальные категории имеют многочисленные применения за пределами собственно теории категорий. Они используются для определения моделей мультипликативного фрагмента интуиционистской линейной логики. Они также составляют математическую основу топологического порядка в физике конденсированного состояния. Оплетенные моноидальные категории находят применение в квантовой информации, квантовой теории поля и теории струн.
that is associative up to a natural isomorphism, and an object I that is both a left and right identity for ⊗, again up to a natural isomorphism. The associated natural isomorphisms are subject to certain coherence conditions, which ensure that all the relevant diagrams commute. The ordinary tensor product makes vector spaces, abelian groups, R modules, or R algebras into monoidal categories. Monoidal categories can be seen as a generalization of these and other examples. Every (small) monoidal category may also be viewed as a "categorification" of an underlying monoid, namely the monoid whose elements are the isomorphism classes of the category's objects and whose binary operation is given by the category's tensor product. A rather different application, for which monoidal categories can be considered an abstraction, is a system of data types closed under a type constructor that takes two types and builds an aggregate type. The types serve as the objects, and ⊗ is the aggregate constructor. The associativity up to isomorphism is then a way of expressing that different ways of aggregating the same data—such as and —store the same information even though the aggregate values need not be the same. The aggregate type may be analogous to the operation of addition (type sum) or of multiplication (type product). For type product, the identity object is the unit , so there is only one inhabitant of the type, and that is why a product with it is always isomorphic to the other operand. For type sum, the identity object is the void type, which stores no information, and it is impossible to address an inhabitant. The concept of monoidal category does not presume that values of such aggregate types can be taken apart; on the contrary, it provides a framework that unifies classical and quantum information theory. In category theory, monoidal categories can be used to define the concept of a monoid object and an associated action on the objects of the category. They are also used in the definition of an enriched category. Monoidal categories have numerous applications outside of category theory proper. They are used to define models for the multiplicative fragment of intuitionistic linear logic. They also form the mathematical foundation for the topological order in condensed matter physics. Braided monoidal categories have applications in quantum information, quantum field theory, and string theory.
Примеры
Любая категория с конечными произведениями может рассматриваться как моноидальная, где произведение является моноидальным произведением, а терминальный объект — единицей. Такая категория иногда называется картезианской моноидальной категорией. Например:
Set, категория множеств с декартовым произведением, любое конкретное одномерное множество, служащее единицей. Cat, категория малых категорий с произведением категорий, где категория с одним объектом и только его тождественным отображением является единицей. Двойственно, любая категория с конечными копроизведениями является моноидальной, где копроизведение является моноидальным произведением, а начальный объект — единицей. Такая моноидальная категория называется кокартезианской моноидальной.
R Mod, категория модулей над коммутативным кольцом R, является моноидальной категорией, где тензорное произведение модулей ⊗R служит моноидальным произведением, а кольцо R (рассматриваемое как модуль над собой) служит единицей. В качестве частных случаев можно привести:
K'' Vect, категория векторных пространств над полем K, где одномерное векторное пространство K служит единицей. Ab, категория абелевых групп, где группа целых чисел Z служит единицей. Для любого коммутативного кольца R категория R-алгебр является моноидальной, где тензорное произведение алгебр является произведением, а R — единицей. Категория указанных пространств (ограниченная, например, компактно порожденными пространствами) является моноидальной, где smash-произведение служит произведением, а указанная 0-сфера (двухточечное дискретное пространство) служит единицей. Категория всех эндофункторов на категории C является строгой моноидальной категорией, где композиция функторов является произведением, а тождественный функтор — единицей. Подобно тому, как для любой категории E полная подкатегория, порожденная любым данным объектом, является моноидом, для любой 2-категории E и любого объекта C из Ob(E) полная 2-подкатегория E, порожденная {C}, является моноидальной категорией. В случае E = Cat мы получаем пример эндофункторов, приведенный выше. Ограниченные сверху полурешетки meet являются строгими симметричными моноидальными категориями: произведение — meet, а единица — наибольший элемент. Любой обычный моноид является малой моноидальной категорией с множеством объектов, только тождественными морфизмами и тензорным произведением в качестве его единичного объекта. И наоборот, множество классов изоморфизма (если это имеет смысл) моноидной категории является моноидом относительно тензорного произведения. Любой коммутативный моноид может быть реализован как моноидальная категория с единственным объектом. Напомним, что категория с единственным объектом — это то же самое, что обычный моноид. Согласно аргументу Экманна — Хилтона, добавление другого моноидального произведения требует, чтобы произведение было коммутативным.
Set, the category of sets with the Cartesian product, any particular one element set serving as the unit. Cat, the category of small categories with the product category, where the category with one object and only its identity map is the unit. Dually, any category with finite coproducts is monoidal with the coproduct as the monoidal product and the initial object as the unit. Such a monoidal category is called cocartesian monoidal
R Mod, the category of modules over a commutative ring R, is a monoidal category with the tensor product of modules ⊗R serving as the monoidal product and the ring R (thought of as a module over itself) serving as the unit. As special cases one has:
K'' Vect, the category of vector spaces over a field K, with the one dimensional vector space K serving as the unit. Ab, the category of abelian groups, with the group of integers Z serving as the unit. For any commutative ring R, the category of R algebras is monoidal with the tensor product of algebras as the product and R as the unit. The category of pointed spaces (restricted to compactly generated spaces for example) is monoidal with the smash product serving as the product and the pointed 0 sphere (a two point discrete space) serving as the unit. The category of all endofunctors on a category C is a strict'' monoidal category with the composition of functors as the product and the identity functor as the unit. Just like for any category E, the full subcategory spanned by any given object is a monoid, it is the case that for any 2 category E, and any object C in Ob(E), the full 2 subcategory of E spanned by {C} is a monoidal category. In the case E = Cat, we get the endofunctors example above. Bounded above meet semilattices are strict symmetric monoidal categories: the product is meet and the identity is the top element. Any ordinary monoid is a small monoidal category with object set , only identities for morphisms, as tensor product and as its identity object. Conversely, the set of isomorphism classes (if such a thing makes sense) of a monoidal category is a monoid w. r. t. the tensor product. Any commutative monoid can be realized as a monoidal category with a single object. Recall that a category with a single object is the same thing as an ordinary monoid. By an Eckmann Hilton argument, adding another monoidal product on requires the product to be commutative.
Свойства и связанные с ними понятия
Из трех определяющих условий когерентности следует, что большой класс диаграмм (т. е. диаграмм, чьи морфизмы построены с использованием , , , тождеств и тензорного произведения) коммутируют: это "теорема когерентности" Мак-Лейна. Иногда неточно утверждается, что все такие диаграммы коммутируют. Существует общее понятие моноидного объекта в моноидной категории, которое обобщает обычное понятие моноида из абстрактной алгебры. Обычные моноиды являются как раз моноидными объектами в картезианской моноидной категории Set. Более того, любая (малая) строгая моноидальная категория может рассматриваться как моноидный объект в категории категорий Cat (оснащенной моноидальной структурой, индуцированной декартовым произведением). Моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняющие тензорное произведение, а моноидальные естественные преобразования — естественные преобразования между этими функторами, "совместимые" с тензорным произведением. Каждая моноидальная категория может рассматриваться как категория B(∗, ∗) бикатегории B с единственным объектом, обозначаемым ∗. Понятие категории C, обогащенной моноидной категорией M, заменяет понятие множества морфизмов между парами объектов в C понятием M-объекта морфизмов между любыми двумя объектами в C.
Специализации
Если в моноидной категории объекты и естественно изоморфны образом, совместимым с условиями когерентности, мы говорим о косой моноидной категории. Если, кроме того, этот естественный изоморфизм является своим собственным обратным, то мы имеем симметричную моноидную категорию. Закрытая моноидная категория – это моноидная категория, в которой функтор имеет правое сопряженное, называемое "внутренним функтором Hom". Примеры включают картезианно замкнутые категории, такие как Set, категория множеств, и компактно замкнутые категории, такие как FdVect, категория конечномерных векторных пространств. Автономные категории (или компактно замкнутые категории, или жесткие категории) – это моноидные категории, в которых существуют дуалы с хорошими свойствами; они абстрагируют идею FdVect. Моноидные категории с кинжалом, снабженные дополнительным функтором кинжала, абстрагируют идею FdHilb, конечномерных гильбертовых пространств. К ним относятся компактные категории с кинжалом. Таннакийские категории – это моноидные категории, обогащенные полем, которые очень похожи на категории представлений линейных алгебраических групп.