Физические свойства фортепиано и акустика звука

Введение

Набор физических свойств фортепиано, влияющих на его звучание.

Акустика фортепиано – это совокупность физических свойств фортепиано, определяющих его звук. Это область изучения в рамках музыкальной акустики.

Длина, масса и напряжение струны

Струны пианино различаются по диаметру, а следовательно, по массе на единицу длины, при этом нижние струны толще верхних. Типичный диапазон составляет от для самых низких басовых струн до , размер струны 13, для самых высоких нот в дисканте. Эти различия в толщине струн обусловлены хорошо известными акустическими свойствами струн. Если взять две струны одинаковой натяженности и массы, одна из которых вдвое длиннее другой, то более длинная струна будет вибрировать на октаву ниже, чем более короткая. Однако, если бы этот принцип применялся при создании пианино, то есть если бы начинали с самых высоких нот и затем удваивали длину струн для каждой следующей октавы вниз, было бы невозможно разместить басовые струны в раме разумного размера. Более того, при вибрации струн амплитуда колебаний связана с длиной струны; в таком гипотетическом сверхдлинном пианино самые низкие струны сталкивались бы друг с другом во время игры. Вместо этого производители пианино используют тот факт, что более тяжелая струна вибрирует медленнее, чем легкая струна той же длины и натяжения; таким образом, басовые струны в пианино короче, чем предсказывает правило удвоения длины с каждой октавой, и значительно толще остальных. Другим фактором, влияющим на высоту звука, помимо длины, плотности и массы, является натяжение. Натяжение отдельных струн в концертном рояле может в среднем составлять , а суммарное натяжение превышает каждое.

Негармония и размер фортепиано

Любой вибрирующий объект производит колебания на ряде частот, превышающих основную высоту звука. Эти колебания называются обертонами. Когда обертоны являются целыми кратными (например, 2×, 3×, 6×) основной частоты (называемыми гармониками), то, пренебрегая затуханием, колебание становится периодическим – то есть, вибрирует точно так же снова и снова. Многим нравится звук периодических колебаний; поэтому многие музыкальные инструменты, включая фортепиано, сконструированы для создания почти периодических колебаний, то есть для того, чтобы обертоны были максимально близки к гармоникам основного тона. В идеальной вибрирующей струне, когда длина волны на натянутой струне значительно больше толщины струны (теоретический идеал – струна с нулевой толщиной и нулевым сопротивлением изгибу), скорость волны на струне постоянна, а обертоны соответствуют гармоникам. Именно поэтому многие инструменты изготавливаются из тонких струн или тонких воздушных столбов. Однако для высоких обертонов с короткими длинами волн, приближающимися к диаметру струны, струна ведет себя скорее как толстый металлический стержень: ее механическое сопротивление изгибу становится дополнительной силой, действующей в дополнение к натяжению, что «повышает высоту» обертонов. Только когда сила изгиба значительно меньше натяжения струны, ее скорость волны (и высота обертонов, соответствующих гармоникам) остаются неизменными. Обертоны с повышенной частотой (выше гармоник), называемые «частичными», могут вызывать неприятный эффект, называемый негармоничностью. Основные стратегии снижения негармоничности включают уменьшение толщины струны или увеличение ее длины, выбор гибкого материала с низкой силой изгиба и увеличение силы натяжения, чтобы она значительно превышала силу изгиба. Намотка струны позволяет эффективно уменьшить ее толщину. В намотанной струне сопротивление изгибу оказывает только внутренний сердечник, в то время как обмотка служит только для увеличения линейной плотности струны. Толщина внутреннего сердечника ограничена его прочностью и натяжением; более прочные материалы позволяют использовать более тонкие сердечники при более высоком натяжении, снижая негармоничность. Поэтому конструкторы фортепиано выбирают высококачественную сталь для струн, поскольку ее прочность и долговечность помогают им минимизировать диаметр струн. Если бы диаметр струны, натяжение, масса, однородность и длина были единственными определяющими факторами, все фортепиано могли бы быть небольшими инструментами типа спинет. Однако производители фортепиано обнаружили, что более длинные струны увеличивают мощность, гармоничность и резонанс инструмента, а также помогают добиться правильной темперации строя. Более длинные струны позволяют большим фортепиано достигать более длинных длин волн и желаемых тональных характеристик. Конструкторы фортепиано стремятся разместить в корпусе как можно более длинные струны; кроме того, при прочих равных условиях, разумный покупатель фортепиано стремится приобрести самый большой инструмент, соответствующий его бюджету и доступному пространству. Негармоничность непрерывно возрастает по мере удаления нот от середины фортепиано и является одним из практических ограничений общего диапазона инструмента. Самые низкие струны, которые неизбежно являются самыми длинными, больше всего ограничены размером фортепиано. Конструктор небольшого фортепиано вынужден использовать толстые струны для увеличения массовой плотности и, следовательно, вынужден мириться с большей негармоничностью. Самые высокие струны должны быть под максимальным натяжением, но также должны быть достаточно тонкими, чтобы обеспечить низкую массовую плотность. Ограниченная прочность стали (то есть слишком тонкая струна оборвется под натяжением) вынуждает конструктора фортепиано использовать очень короткие и немного более толстые струны, короткие длины волн которых, таким образом, генерируют негармоничность. Естественная негармоничность фортепиано используется настройщиком для внесения небольших корректировок в строй инструмента. Настройщик «растягивает» ноты, слегка повышая высоту высоких нот и понижая высоту низких, чтобы обертоны низких нот имели ту же частоту, что и основные тона более высоких нот. См. также: Фортепианная струна, Настройка фортепиано, Психоакустика.

Any vibrating thing produces vibrations at a number of frequencies above the fundamental pitch. These are called overtones. When the overtones are integer multiples (e. g., 2×, 3× 6× ) of the fundamental frequency (called harmonics), then neglecting damping the oscillation is periodic—i. e., it vibrates exactly the same way over and over. Many enjoy the sound of periodic oscillations; for this reason, many musical instruments, including pianos, are designed to produce nearly periodic oscillations, that is, to have overtones as close as possible to the harmonics of the fundamental tone. In an ideal vibrating string, when the wavelength of a wave on a stretched string is much greater than the thickness of the string (the theoretical ideal being a string of zero thickness and zero resistance to bending), the wave velocity on the string is constant and the overtones are at the harmonics. That is why so many instruments are constructed of skinny strings or thin columns of air. However, for high overtones with short wavelengths that approach the diameter of the string, the string behaves more like a thick metal bar: its mechanical resistance to bending becomes an additional force to the tension, which 'raises the pitch' of the overtones. Only when the bending force is much smaller than the tension of the string, are its wave speed (and the overtones pitched as harmonics) unchanged. The frequency raised overtones (above the harmonics), called 'partials', can produce an unpleasant effect called inharmonicity. Basic strategies to reduce inharmonicity include decreasing the thickness of the string or increasing its length, choosing a flexible material with a low bending force, and increasing the tension force so that it stays much bigger than the bending force. Winding a string allows an effective decrease in the thickness of the string. In a wound string, only the inner core resists bending while the windings function only to increase the linear density of the string. The thickness of the inner core is limited by its strength and by its tension; stronger materials allow for thinner cores at higher tensions, reducing inharmonicity. Hence, piano designers choose high quality steel for their strings, as its strength and durability help them minimize string diameters. If string diameter, tension, mass, uniformity, and length compromises were the only factors—all pianos could be small, spinet sized instruments. Piano builders, however, have found that longer strings increase instrument power, harmonicity, and reverberation, and help produce a properly tempered tuning scale. With longer strings, larger pianos achieve the longer wavelengths and tonal characteristics desired. Piano designers strive to fit the longest strings possible within the case; moreover, all else being equal, the sensible piano buyer tries to obtain the largest instrument compatible with budget and space. Inharmonicity increases continuously as notes get further from the middle of the piano, and is one of the practical limits on the total range of the instrument. The lowest strings, which are necessarily the longest, are most limited by the size of the piano. The designer of a short piano is forced to use thick strings to increase mass density and is thus driven into accepting greater inharmonicity. The highest strings must be under the greatest tension, yet must also be thin enough to allow for a low mass density. The limited strength of steel (i. e. a too thin string will break under the tension) forces the piano designer to use very short and slightly thicker strings, whose short wavelengths thus generate inharmonicity. The natural inharmonicity of a piano is used by the tuner to make slight adjustments in the tuning of a piano. The tuner stretches the notes, slightly sharpening the high notes and flatting the low notes to make overtones of lower notes have the same frequency as the fundamentals of higher notes. See also Piano wire, Piano tuning, Psychoacoustics.

Кривая рельсового спинка

Кривая Рэйлсбека, впервые измеренная О. Л. Рэйлсбеком, выражает разницу между настройкой фортепиано с учетом негармоничности и растяжением, и теоретически точной равнотемператной настройкой, в которой частоты последовательных нот соотносятся постоянным отношением, равным двенадцатому корню из двух. Для любой ноты на фортепиано отклонение между её фактической высотой и высотой в равнотемператной системе измеряется в центах (сотых долях полутона). Как показывает кривая Рэйлсбека, на хорошо настроенном фортепиано октавы обычно растягиваются. То есть, высокие ноты настраиваются выше, а низкие – ниже, чем в математически правильной равнотемпературной гамме. Рэйлсбек обнаружил, что пианино обычно настраиваются таким образом не из-за недостатка точности, а из-за негармоничности струн. В идеале, обертоновый ряд ноты состоит из частот, кратных основной частоте этой ноты. Однако на практике негармоничность, присущая струнам фортепиано, приводит к тому, что обертоны становятся последовательно выше, чем они должны быть.

Форма кривой

Негармоничность струны в основном вызвана жесткостью. Эта жесткость обусловлена присущей фортепианной проволоке твердостью и пластичностью, а также натяжением, толщиной и длиной струны. Когда настройщики регулируют натяжение проволоки во время настройки, они устанавливают высоту тона относительно уже настроенных нот. Эти ранее настроенные ноты имеют обертоны, которые повышаются из-за негармоничности, что заставляет вновь установленный тон соответствовать повышенному обертону. По мере продвижения настройки вверх и вниз по гамме негармоничность, а следовательно, и растяжка, накапливаются. Распространено ошибочное мнение, что кривая Railsback показывает, что средняя часть фортепиано менее негармонична, чем верхняя и нижняя. Это лишь кажется таким, потому что именно с этого участка начинается настройка. "Растяжка" – это относительный термин: по определению, независимо от того, с какой высоты тона начинается настройка, растяжки быть не может. Кроме того, часто полагают, что верхние ноты фортепиано особенно негармоничны, поскольку они кажутся сильно растянутыми. На самом деле, их растяжка является отражением негармоничности струн в средней части фортепиано. Более того, негармоничность верхних нот не может влиять на настройку, поскольку их верхние гармоники находятся за пределами диапазона человеческого слуха. Как и следовало ожидать, график фактической настройки представляет собой не гладкую кривую, а зигзагообразную линию с пиками и впадинами. Это может быть результатом неточной настройки, неточных измерений или присущей фортепиано изменчивости масштаба струн. Также было предположено, с использованием моделирования Монте-Карло, что такая форма обусловлена тем, как люди воспринимают и сопоставляют интервалы высоты тона.

Многострочные

Все ноты фортепиано, кроме самых низких, имеют несколько струн, настроенных на одну и ту же частоту. Ноты с двумя струнами называются бихордами, а с тремя струнами – трихордами. Они обеспечивают фортепиано громкую атаку с быстрым затуханием, но длительное сустейн в системе ADSR (атака-затухание-сустейн-релиз). Трихорд создает связанный осциллятор с тремя нормальными модами (по две поляризации в каждой). Поскольку струны слабо связаны между собой, нормальные моды имеют незначительно различающиеся частоты. Однако они передают свою вибрационную энергию деке с заметно разной скоростью. Нормальная мода, в которой все три струны колеблются согласованно, наиболее эффективно передает энергию, так как все три струны тянут в одном направлении одновременно. Она звучит громко, но быстро затухает. Эта нормальная мода отвечает за быстрый стаккато-компонент "Атаки" ноты. В двух других нормальных модах струны не колеблются согласованно, например, одна тянет вверх, а две другие – вниз. Это приводит к медленной передаче энергии деке, создавая мягкий, но почти постоянный сустейн.