Введение

Левый присоединитель к забывчивому функтору в множества
В математике идея свободного объекта является одной из базовых концепций абстрактной алгебры. Неформально, свободный объект над множеством A можно представить как "универсальную" алгебраическую структуру над A: единственные соотношения, выполняющиеся между элементами свободного объекта, – это те, которые вытекают из определяющих аксиом алгебраической структуры. Примеры включают свободные группы, тензорные алгебры или свободные решетки. Это понятие является частью универсальной алгебры, поскольку оно применимо ко всем типам алгебраических структур (с финитарными операциями). Существует также формулировка в терминах теории категорий, хотя и в еще более абстрактном виде.

Определение

Свободные объекты являются прямым обобщением понятия базиса в векторном пространстве на категории. Линейное отображение u : E1 → E2 между векторными пространствами полностью определяется своими значениями на базисе векторного пространства E1. Следующее определение переносит это на любую категорию. Конкретная категория – это категория, снабжённая верным функтором в Set, категорию множеств. Пусть 'C' – конкретная категория с верным функтором U : 'C' → 'Set'. Пусть X – множество (то есть объект в Set), которое будет базисом свободного объекта, который мы определяем. Свободный объект над X – это пара, состоящая из объекта в 'C' и инъекции (называемой канонической инъекцией), удовлетворяющей следующему универсальному свойству: для любого объекта B в 'C' и любого отображения между множествами , существует единственный морфизм в 'C' такой, что. Иначе говоря, следующая диаграмма коммутативна:

Если свободные объекты существуют в 'C', то универсальное свойство подразумевает, что каждое отображение между двумя множествами индуцирует единственный морфизм между свободными объектами, построенными на них, и это определяет функтор. Следовательно, если свободные объекты существуют в 'C', то функтор F, называемый свободным функтором, является левым сопряжённым к верному функтору U; то есть, существует биекция.

Примеры

Создание свободных объектов происходит в два этапа. Для алгебр, удовлетворяющих ассоциативному закону, первым шагом является рассмотрение множества всех возможных слов, сформированных из алфавита. Затем на слова накладывается набор отношений эквивалентности, где эти отношения являются определяющими для рассматриваемого алгебраического объекта. Свободный объект состоит из набора классов эквивалентности. Рассмотрим, например, построение свободной группы с двумя образующими. Начинаем с алфавита, состоящего из пяти букв. На первом этапе буквам и еще не присвоено никакого значения; это будет сделано позже, на втором этапе. Таким образом, можно было бы также начать с алфавита из пяти букв, то есть . В этом примере множество всех слов или строк будет включать строки, такие как aebecede и abdc, и так далее, произвольной конечной длины, с буквами, расположенными в любом возможном порядке. На следующем шаге накладывается набор отношений эквивалентности. Отношения эквивалентности для группы – это умножение на единичный элемент и умножение на обратные элементы: применяя эти отношения к строкам выше, получаем,

где подразумевается, что является заменой для , а – заменой для , при этом – единичный элемент. Аналогично, имеем

Обозначая отношение эквивалентности или конгруэнтность через , свободный объект представляет собой множество классов эквивалентности слов. Таким образом, в этом примере свободная группа с двумя образующими является факторгруппой. Это часто записывается как , где – множество всех слов, а – класс эквивалентности единичного элемента после наложения отношений, определяющих группу. Более простым примером являются свободные моноиды. Свободный моноид на множестве X – это моноид всех конечных строк, использующих X в качестве алфавита, с операцией конкатенации строк. Единичным элементом является пустая строка. По сути, свободный моноид – это просто множество всех слов без каких-либо наложенных отношений эквивалентности. Этот пример развивается далее в статье о звезде Клине.

Общее положение

В общем случае алгебраические отношения не обязаны быть ассоциативными, и в этом случае отправной точкой является не множество всех слов, а строки, снабженные скобками, которые используются для обозначения неассоциативных группировок букв. Такую строку можно эквивалентно представить в виде двоичного дерева или свободной магмы; листья дерева соответствуют буквам алфавита. Алгебраические отношения могут быть заданы как отношения общей или конечной арности на листьях дерева. Вместо того чтобы начинать с множества всех возможных строк в скобках, зачастую удобнее начинать с вселенной Гербранда. Правильное описание или перечисление содержимого свободного объекта может быть простым или сложным, в зависимости от конкретного рассматриваемого алгебраического объекта. Например, свободная группа с двумя образующими легко описывается. В отличие от неё, о структуре свободных алгебр Гейтинга с более чем одним образующим известно очень мало. Задача определения, принадлежат ли две различные строки одному и тому же классу эквивалентности, известна как задача о слове. Как показывают примеры, свободные объекты напоминают синтаксические конструкции; можно, в некоторой степени, взглянуть на это с обратной стороны, утверждая, что основные применения синтаксиса можно объяснить и охарактеризовать как свободные объекты, что делает кажущуюся сложной "пунктуацию" понятной (и более запоминающейся).

Свободные универсальные алгебры

Пусть — любое множество, и пусть — алгебраическая структура типа , порожденная множеством . Пусть основным множеством этой алгебраической структуры, иногда называемым её носителем, будет , и пусть — функция. Мы говорим, что (или неформально просто ) является свободной алгеброй (типа ) над множеством свободных образующих , если для каждой алгебры типа и каждой функции , где — носитель , существует единственный гомоморфизм такой, что

Свободный функтор

Наиболее общая постановка для свободного объекта находится в теории категорий, где определяется функтор, свободный функтор, являющийся левым сопряженным к забывающему функтору. Рассмотрим категорию C алгебраических структур; объекты можно рассматривать как множества с операциями, удовлетворяющими определенным законам. Эта категория имеет функтор, забывающий функтор, который отображает объекты и морфизмы в C в Set, категорию множеств. Забывающий функтор очень прост: он просто игнорирует все операции. Свободный функтор F, если он существует, является левым сопряженным к U. То есть, U отображает множества X из Set в соответствующие свободные объекты F(X) в категории C. Множество X можно рассматривать как множество "порождающих" свободного объекта F(X). Для того чтобы свободный функтор был левым сопряженным, необходимо также иметь морфизм множеств. Более точно, F, с точностью до изоморфизмов в C, характеризуется следующим универсальным свойством: для любой алгебры B в C и любого морфизма (морфизма в категории множеств) g: X → B, существует единственный морфизм f: F(X) → B в C такой, что f∘ι = g, где ι: X → F(X) – включение. Конкретно, это отображает множество в свободный объект, построенный на этом множестве; это "включение базиса". Злоупотребляя обозначениями, будем писать g: X → F(X) (это злоупотребление обозначениями, поскольку X – множество, а F(X) – алгебра; корректно было бы писать g: X → F(X)). Естественное преобразование η: X → F(X) называется единицей; вместе с коединицей ε: F(X) → X можно построить T-алгебру, и, следовательно, монаду. Косвободный функтор является правым сопряженным к забывающему функтору.

Общее положение

Другие типы забывчивости также порождают объекты, подобные свободным, поскольку они являются левыми сопряженными к забывающему функтору, не обязательно к множествам. Например, построение тензорной алгебры для векторного пространства является левым сопряженным к функтору из ассоциативных алгебр, который игнорирует алгебраическую структуру. Поэтому её часто также называют свободной алгеброй. Аналогично, симметричная и внешняя алгебры являются свободными симметричными и антисимметричными алгебрами на векторном пространстве.