Введение

Потеря одной степени свободы в трехмерном механизме с тремя осями вращения.

Блокировка осей (gimbal lock) – это потеря одной степени свободы в многомерном механизме при определенных взаимном расположении осей. В трехмерном механизме с тремя осями вращения блокировка осей возникает, когда оси двух осей вращения приводятся в параллельную конфигурацию, "запирая" систему во вращение в вырожденном двухмерном пространстве. Термин "блокировка осей" может вводить в заблуждение, поскольку ни одна из отдельных осей вращения на самом деле не зафиксирована. Все три оси вращения могут свободно вращаться вокруг своих соответствующих осей подвеса. Тем не менее, из-за параллельной ориентации осей двух осей вращения, отсутствует ось вращения, способная обеспечить вращение вокруг одной из осей, что фактически блокирует (т.е. делает невозможным вращение) подвешенного объекта вокруг этой оси. Данную проблему можно обобщить и для других случаев, когда система координат теряет определение одной из своих переменных при определенных значениях других переменных.

Джимбал

Гимбал — это кольцо, подвешенное таким образом, чтобы вращаться вокруг оси. Обычно гимбалы вкладываются один в другой для обеспечения вращения вокруг нескольких осей. Они используются в гироскопах и инерциальных измерительных блоках, чтобы ориентация внутреннего гимбала оставалась неизменной, в то время как внешняя подвеска гимбала может принимать любую ориентацию. В компасах и механизмах накопления энергии с помощью маховика они позволяют объектам сохранять вертикальное положение. Они применяются для ориентации двигателей на ракетах. Некоторые системы координат в математике ведут себя как реальные гимбалы, используемые для измерения углов, в частности углов Эйлера. При наличии трех или менее вложенных гимбалов в системе неизбежно возникает блокировка гимбала из-за свойств покрывающих пространств.

В машиностроении

Хотя точный захват кардана возникает только при двух конкретных ориентациях, практические механические карданы испытывают трудности вблизи этих ориентаций. Когда набор карданов приближается к заблокированной конфигурации, небольшие повороты платформы кардана требуют больших перемещений окружающих карданов. Несмотря на то, что соотношение становится бесконечным только в точке захвата кардана, практические ограничения скорости и ускорения карданов – обусловленные инерцией (возникающей из-за массы каждого кольца кардана), трением подшипников, сопротивлением воздуха или другой жидкости, окружающей карданы (если они не находятся в вакууме), и другими физическими и инженерными факторами – ограничивают движение платформы вблизи этой точки.

В двух измерениях

Замок гимбала может возникать в системах гимбалов с двумя степенями свободы, таких как теодолит с вращениями вокруг азимута (горизонтальный угол) и высоты (вертикальный угол). Эти двумерные системы могут испытывать замок в зените и надире, поскольку в этих точках азимут не определен однозначно, и вращение в направлении азимута не изменяет направление, куда направлен теодолит. Представьте себе отслеживание вертолета, летящего к теодолиту с горизонта. Теодолит – это телескоп, установленный на штатив, позволяющий ему перемещаться по азимуту и высоте для отслеживания вертолета. Вертолет летит к теодолиту и отслеживается телескопом по высоте и азимуту. Вертолет пролетает непосредственно над штативом (то есть достигает зенита), после чего меняет направление и летит под углом 90 градусов к своему предыдущему курсу. Телескоп не может отследить этот маневр без разрывного скачка в одной или обеих ориентациях гимбала. Не существует непрерывного движения, позволяющего ему следовать за целью. Он находится в состоянии замка гимбала. Таким образом, вокруг зенита существует бесконечное множество направлений, по которым телескоп не может непрерывно отслеживать все движения цели. Следует отметить, что даже если вертолет не проходит точно через зенит, а лишь близко к нему, так что замок гимбала не возникает, система все равно должна двигаться исключительно быстро, чтобы отследить его, поскольку он быстро переходит от одного пеленга к другому. Чем ближе к зениту ближайшая точка, тем быстрее это должно происходить, и если вертолет действительно проходит через зенит, предел этих "все более быстрых" движений становится бесконечно большим, то есть разрывным. Чтобы выйти из состояния замка гимбала, оператору необходимо обойти зенит – а именно: уменьшить высоту, изменить азимут, чтобы он соответствовал азимуту цели, а затем изменить высоту, чтобы она соответствовала высоте цели. Математически это соответствует тому факту, что сферические координаты не определяют однозначную координатную сетку на сфере в зените и надире. Альтернативно, соответствующее отображение T2→S2 с тора T2 на сферу S2 (заданное точкой с заданным азимутом и высотой) не является покрывающим отображением в этих точках.

В трех измерениях

Рассмотрим случай платформы определения уровня на самолете, летящем строго на север, с тремя взаимно перпендикулярными осями карданового подвеса (то есть, углы крена, тангажа и рыскания равны нулю). Если самолет поднимет нос на 90 градусов, ось рыскания самолета и платформы станет параллельна оси крена, и изменения рыскания больше не смогут быть компенсированы.

Решение

Эта проблема может быть преодолена использованием четвертого карданного подвеса, активно приводимого в действие двигателем для поддержания большого угла между осями крена и рыскания. Другое решение заключается в повороте одного или нескольких карданных подвесов в произвольное положение при обнаружении блокировки карданного подвеса, тем самым сбрасывая устройство. Современная практика заключается в полном отказе от использования карданных подвесов. В контексте инерциальных навигационных систем это можно реализовать путем непосредственного монтажа инерциальных датчиков на корпус транспортного средства (это называется системой жесткого крепления) и цифровой интеграции измеренных угловых скоростей и ускорений с использованием кватернионных методов для определения ориентации и скорости транспортного средства. Альтернативным способом замены карданных подвесов является использование жидкостных подшипников или камеры с жидкостью.

Робототехника

В робототехнике, замок гимбала обычно называют "переворотом запястья" из-за использования "тройного вращательного запястья" в роботизированных манипуляторах, где три оси запястья, контролирующие рыскание, тангаж и крен, пересекаются в одной точке. Пример переворота запястья, также называемый сингулярностью запястья, возникает, когда траектория движения робота приводит к выравниванию первой и третьей осей запястья. Вторая ось запястья затем пытается повернуться на 180° за нулевое время, чтобы сохранить ориентацию рабочего органа. Последствия сингулярности могут быть весьма серьезными и негативно сказаться на роботизированном манипуляторе, рабочем органе и технологическом процессе. Важность избежания сингулярностей в робототехнике привела к тому, что американский национальный стандарт для промышленных роботов и робототехнических систем – Требования безопасности определяет сингулярность как "состояние, вызванное коллинеарным выравниванием двух или более осей робота, приводящее к непредсказуемому движению и скоростям робота".

В прикладной математике

Проблема блокировки шарнира (ги́мбала) возникает при использовании углов Эйлера в прикладной математике; разработчики 3D-компьютерных программ, таких как 3D-моделирование, встроенные навигационные системы и видеоигры, должны принимать меры для её избежания. Формально, блокировка шарнира происходит из-за того, что отображение из углов Эйлера в вращения (топологически, с 3-то́ра T3 в реальное проективное пространство RP3, которое совпадает с пространством вращений для трёхмерных жёстких тел, формально обозначаемым SO(3)) не является локальным гомеоморфизмом в каждой точке, и, следовательно, в некоторых точках ранг (число степеней свободы) должен опускаться ниже 3, что и приводит к блокировке шарнира. Углы Эйлера предоставляют способ числового описания любого вращения в трёхмерном пространстве с помощью трёх чисел, но это описание не только не является однозначным, но и существуют точки, в которых не каждое изменение в целевом пространстве (вращениях) может быть реализовано изменением в исходном пространстве (углах Эйлера). Это топологическое ограничение – не существует покрывающего отображения с 3-то́ра на 3-мерное реальное проективное пространство; единственное (нетривиальное) покрывающее отображение – с 3-сферы, как это происходит при использовании кватернионов. Для сравнения, все перемещения можно описать с помощью трёх чисел , , и , как последовательность трёх последовательных линейных перемещений вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей , и . То же самое справедливо и для вращений: все вращения можно описать с помощью трёх чисел , , и , как последовательность трёх вращательных перемещений вокруг трёх взаимно перпендикулярных осей. Это сходство между линейными и угловыми координатами делает углы Эйлера очень интуитивными, но, к сожалению, они подвержены проблеме блокировки шарнира.

Альтернативное представление ориентации

Причиной блокировки карданова подвеса является представление ориентации в вычислениях как трех осевых вращений, основанных на углах Эйлера. Следовательно, потенциальным решением является представление ориентации иным способом. Это может быть матрица вращения, кватернион (см. кватернионы и пространственное вращение) или аналогичное представление ориентации, рассматривающее ориентацию как единое значение, а не как три отдельных связанных значения. Используя такое представление, пользователь сохраняет ориентацию как значение. Для количественной оценки угловых изменений, вызванных преобразованием, изменение ориентации выражается в виде вращения на дельта-угол вокруг оси. Полученную ориентацию необходимо повторно нормализовать, чтобы предотвратить накопление ошибок округления в последовательных преобразованиях. Для матриц повторная нормализация результата требует приведения матрицы к ближайшему ортонормальному виду. Для кватернионов повторная нормализация требует выполнения нормализации кватерниона.