Введение

Формулирование физики

В физике ньютоновская динамика (также известная как ньютоновская механика) — это изучение динамики частицы или небольшого тела на основе законов движения Ньютона.

Математические обобщения

Как правило, ньютоновская динамика рассматривается в трехмерном евклидовом пространстве, которое является плоским. Однако в математике законы Ньютона могут быть обобщены для многомерных и искривлённых пространств. Зачастую термин "ньютоновская динамика" ограничивается вторым законом Ньютона.

Евклидова структура

Конфигурационное пространство и фазовое пространство динамической системы являются евклидовыми пространствами, то есть они наделены евклидовой структурой. Эта евклидова структура определяется таким образом, что кинетическая энергия одной многомерной частицы с единичной массой равна сумме кинетических энергий трехмерных частиц с массами:

Ограничения и внутренние координаты

В некоторых случаях движение частиц с массами может быть ограничено. Типичные ограничения выглядят как скалярные уравнения вида. Ограничения вида называются голономными и склерономическими. В терминах радиус-вектора ньютоновской динамической системы они записываются как. Каждое такое ограничение уменьшает на единицу число степеней свободы ньютоновской динамической системы. Следовательно, ограниченная система имеет степеней свободы. Определение. Уравнения ограничений определяют -мерное многообразие в конфигурационном пространстве ньютоновской динамической системы. Это многообразие называется конфигурационным пространством ограниченной системы. Его касательное расслоение называется фазовым пространством ограниченной системы. Пусть будут внутренними координатами точки, использование которых типично для лагранжевой механики. Радиус-вектор выражается как некоторая определенная функция от :

Векторная функция разрешает уравнения ограничений в том смысле, что при подстановке в уравнения выполняются тождественно в .