Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Конфигурация системы относительно другой
System configuration relative to another
В аналитической механике обобщённые координаты — это набор параметров, используемых для описания состояния системы в конфигурационном пространстве. Эти параметры должны однозначно определять конфигурацию системы относительно некоторого исходного состояния. Обобщённые скорости — это производные обобщённых координат системы по времени. Прилагательное «обобщённые» отличает эти параметры от традиционного использования термина «координаты» для обозначения декартовых координат. Примером обобщённой координаты может служить описание положения маятника углом отклонения от вертикали, а не его координатами x и y. Хотя для физической системы может существовать множество различных наборов обобщённых координат, они обычно выбираются таким образом, чтобы упростить вычисления, например, решение уравнений движения системы. Если координаты независимы друг от друга, то число независимых обобщённых координат определяется числом степеней свободы системы. Обобщённые координаты используются вместе с обобщёнными импульсами для определения канонических координат в фазовом пространстве.
In analytical mechanics, generalized coordinates are a set of parameters used to represent the state of a system in a configuration space. These parameters must uniquely define the configuration of the system relative to a reference state. The generalized velocities are the time derivatives of the generalized coordinates of the system. The adjective "generalized" distinguishes these parameters from the traditional use of the term "coordinate" to refer to Cartesian coordinates. An example of a generalized coordinate would be to describe the position of a pendulum using the angle of the pendulum relative to vertical, rather than by the x and y position of the pendulum. Although there may be many possible choices for generalized coordinates for a physical system, they are generally selected to simplify calculations, such as the solution of the equations of motion for the system. If the coordinates are independent of one another, the number of independent generalized coordinates is defined by the number of degrees of freedom of the system. Generalized coordinates are paired with generalized momenta to provide canonical coordinates on phase space.
Ограничения и степени свободы
Обобщенные координаты обычно выбираются таким образом, чтобы обеспечить минимальное число независимых координат, определяющих конфигурацию системы, что упрощает построение уравнений движения Лагранжа. Однако бывает и так, что полезный набор обобщенных координат может оказаться зависимым, то есть связанным одним или несколькими уравнениями связи.
Generalized coordinates are usually selected to provide the minimum number of independent coordinates that define the configuration of a system, which simplifies the formulation of Lagrange's equations of motion. However, it can also occur that a useful set of generalized coordinates may be dependent, which means that they are related by one or more constraint equations.
Нехолономические ограничения
Механическая система может включать ограничения как на обобщенные координаты, так и на их производные. Ограничения такого типа известны как нехолономные. Нехолономные ограничения первого порядка имеют вид
A mechanical system can involve constraints on both the generalized coordinates and their derivatives. Constraints of this type are known as non holonomic. First order non holonomic constraints have the form
Примером такого ограничения может служить колесо или острое лезвие, ограничивающие направление вектора скорости. Нехолономные ограничения могут также включать производные более высоких порядков, такие как обобщенные ускорения.
An example of such a constraint is a rolling wheel or knife edge that constrains the direction of the velocity vector. Non holonomic constraints can also involve next order derivatives such as generalized accelerations.
Бусы на проводе
Для бусинки, скользящей по проводу без трения, подверженной только гравитации в двумерном пространстве, условие на бусинку можно записать в виде 1=f ('r') = 0, где положение бусинки можно представить как 1='r' = (x(s), y(s)), где s – параметр, длина дуги s вдоль кривой от некоторой точки на проводе. Это подходящий выбор обобщенной координаты для системы. Вместо двух координат требуется только одна, поскольку положение бусинки можно параметризовать одним числом s, а уравнение ограничения связывает две координаты x и y; одна из них определяется через другую. Сила ограничения – это сила реакции, которую проволока оказывает на бусинку, удерживая ее на проволоке, а приложенная сила, не связанная с ограничением, – это сила тяжести, действующая на бусинку. Предположим, что проволока меняет свою форму со временем, изгибаясь. Тогда уравнение ограничения и положение частицы соответственно,
For a bead sliding on a frictionless wire subject only to gravity in 2d space, the constraint on the bead can be stated in the form 1=f ('r') = 0, where the position of the bead can be written 1='r' = (x(s), y(s)), in which s is a parameter, the arc length s along the curve from some point on the wire. This is a suitable choice of generalized coordinate for the system. Only one coordinate is needed instead of two, because the position of the bead can be parameterized by one number, s, and the constraint equation connects the two coordinates x and y; either one is determined from the other. The constraint force is the reaction force the wire exerts on the bead to keep it on the wire, and the non constraint applied force is gravity acting on the bead. Suppose the wire changes its shape with time, by flexing. Then the constraint equation and position of the particle are respectively
теперь оба зависят от времени t из-за изменяющихся координат, поскольку проволока меняет свою форму. Обратите внимание, что время появляется неявно через координаты и явно в уравнениях ограничения.
which now both depend on time t due to the changing coordinates as the wire changes its shape. Notice time appears implicitly via the coordinates and explicitly in the constraint equations.