Введение

Метрика, основанная на точном решении уравнений Эйнштейна в общей теории относительности.

Метрика Фридмана — Лематра — Робертсона — Уокера (FLRW) — это метрика, основанная на точном решении уравнений Эйнштейна в общей теории относительности. Эта метрика описывает однородную и изотропную расширяющуюся (или сжимающуюся) Вселенную, которая является связной, но не обязательно просто связной. Общая форма метрики вытекает из геометрических свойств однородности и изотропии; уравнения Эйнштейна необходимы лишь для вывода масштабного фактора Вселенной как функции времени. В зависимости от географических или исторических предпочтений, группа из четырех ученых — Александр Фридман, Жорж Лематр, Говард П. Робертсон и Артур Джеффри Уокер — может быть объединена различными способами: Фридман, Фридман — Робертсон — Уокер (FRW), Робертсон — Уокер (RW) или Фридман — Лематр (FL). Эта модель иногда называется стандартной моделью современной космологии, хотя это описание также связано с более развитой моделью ΛCDM. Модель FLRW была разработана независимо этими авторами в 1920-х и 1930-х годах.

Общая метрика

Метрика FLRW начинается с предположения об однородности и изотропии пространства. Она также предполагает, что пространственная составляющая метрики может зависеть от времени. Общая метрика, удовлетворяющая этим условиям, имеет вид

где охватывает трехмерное пространство с однородной кривизной, то есть эллиптическое пространство, евклидово пространство или гиперболическое пространство. Обычно она записывается как функция трех пространственных координат, но существует несколько соглашений относительно этого, которые подробно описаны ниже. не зависит от t – вся временная зависимость заключена в функции a(t), известной как "масштабный фактор".

Решение

Уравнения поля Эйнштейна не используются при выводе общей формы метрики: она вытекает из геометрических свойств однородности и изотропии. Однако для определения временной эволюции требуется использовать уравнения поля Эйнштейна вместе со способом вычисления плотности, например, космологическим уравнением состояния. Эта метрика имеет аналитическое решение уравнений поля Эйнштейна, приводящее к уравнениям Фридмана, когда тензор энергии-импульса также предполагается изотропным и однородным. Получающиеся уравнения:

Эти уравнения лежат в основе стандартной космологической модели Большого взрыва, включая современную модель ΛCDM. Поскольку модель FLRW предполагает однородность, некоторые популярные изложения ошибочно утверждают, что модель Большого взрыва не может объяснить наблюдаемую неоднородность Вселенной. В строгой модели FLRW не существует скоплений галактик или звезд, поскольку это объекты гораздо более плотные, чем типичная область Вселенной. Тем не менее, модель FLRW используется в качестве первого приближения для эволюции реальной, неоднородной Вселенной, поскольку она проста в вычислениях, а модели, учитывающие неоднородность Вселенной, добавляются к моделям FLRW в качестве расширений. Большинство космологов согласны с тем, что наблюдаемая Вселенная хорошо аппроксимируется почти FLRW-моделью, то есть моделью, следующей метрике FLRW за исключением флуктуаций плотности на ранних стадиях. По состоянию на 2003 год теоретические последствия различных расширений модели FLRW, по-видимому, были хорошо изучены, и задача состоит в том, чтобы согласовать их с наблюдениями, полученными с помощью COBE и WMAP.

Ньютоновская интерпретация

Это связано с работами МакКреа и Милна, хотя иногда ошибочно приписывается Фридману. Уравнения Фридмана эквивалентны следующей паре уравнений:

Первое уравнение утверждает, что уменьшение массы, содержащейся в фиксированном кубе (с длиной стороны, мгновенно равной a), равно количеству массы, покидающей куб через его грани из-за расширения Вселенной, плюс масса, эквивалентная работе, совершаемой давлением при выталкивании материала. Это выражение закона сохранения массы-энергии (первого закона термодинамики) для части Вселенной. Второе уравнение утверждает, что сумма кинетической энергии (наблюдаемой из начала координат) частицы единичной массы, движущейся вместе с расширением, и ее (отрицательной) гравитационной потенциальной энергии (относительно массы, содержащейся в сфере материи, расположенной ближе к началу координат), равна константе, связанной с кривизной Вселенной. Иными словами, энергия (относительно начала координат) сопутствующей частицы, находящейся в свободном падении, сохраняется. Общая теория относительности лишь устанавливает связь между пространственной кривизной Вселенной и энергией такой частицы: положительная полная энергия соответствует отрицательной кривизне, а отрицательная полная энергия – положительной кривизне. Космологическая постоянная рассматривается как темная энергия и, следовательно, включается в члены плотности и давления. В эпоху Планка нельзя пренебрегать квантовыми эффектами, поэтому они могут приводить к отклонениям от уравнений Фридмана.

Имя и история

Советский математик Александр Фридман впервые вывел основные результаты модели FLRW в 1922 и 1924 годах. Хотя престижный физический журнал Zeitschrift für Physik опубликовал его работу, она осталась относительно незамеченной современниками. Фридман поддерживал прямую связь с Альбертом Эйнштейном, который от имени Zeitschrift für Physik выступал в качестве научного рецензента работы Фридмана. В конечном итоге Эйнштейн признал правильность расчетов Фридмана, но не смог оценить физическую значимость его предсказаний. Фридман умер в 1925 году. В 1927 году Жорж Леметр, бельгийский священник, астроном и адъюнкт-профессор физики в Католическом университете Лёвена, независимо пришел к результатам, аналогичным результатам Фридмана, и опубликовал их в "Анналах Брюссельского научного общества". В свете наблюдательных данных о расширении Вселенной, полученных Эдвином Хабблом в конце 1920-х годов, результаты Леметра были особо отмечены Артуром Эддингтоном, и в 1930–31 годах статья Леметра была переведена на английский язык и опубликована в "Monthly Notices of the Royal Astronomical Society". Говард П. Робертсон из США и Артур Джеффри Уокер из Великобритании продолжили изучение этой проблемы в 1930-х годах. В 1935 году Робертсон и Уокер строго доказали, что метрика FLRW является единственной метрикой пространства-времени, обладающей пространственной однородностью и изотропностью (как отмечалось выше, это геометрический результат и не связан напрямую с уравнениями общей теории относительности, которые Фридман и Леметр всегда подразумевали). Это решение, часто называемое метрикой Робертсона — Уокера, поскольку они доказали его общие свойства, отличается от динамических моделей "Фридмана — Леметра", которые представляют собой частные решения для a(t), предполагающие, что единственными вкладами в тензор энергии-импульса являются холодная материя ("пыль"), излучение и космологическая постоянная.

Текущий статус

В современной стандартной космологической модели, ΛCDM, используется метрика FLRW. Сопоставляя данные наблюдений, полученные в ходе экспериментов, таких как WMAP и Planck, с теоретическими результатами теоремы Элерса — Герена — Сакса и её обобщений, астрофизики пришли к согласию, что ранняя Вселенная почти однородна и изотропна (при усреднении по очень большому масштабу) и, следовательно, близка к пространству-времени FLRW. Однако, попытки подтвердить чисто кинематическую интерпретацию диполя космического микроволнового фона (КМФ) посредством изучения радиогалактик и квазаров демонстрируют расхождения в величине. Если воспринимать эти наблюдения буквально, они противоречат описанию Вселенной с помощью метрики FLRW. Более того, можно утверждать, что в рамках космологии FLRW существует максимальное значение постоянной Хаббла, допустимое текущими наблюдениями, равное км/с/Мпк, и в зависимости от того, к каким значениям сходятся локальные определения, это может указывать на нарушение применимости метрики FLRW в поздней Вселенной, что потребует объяснения, выходящего за рамки метрики FLRW.