Введение

Макроэкономическая формула, описывающая производительность

В экономике и эконометрике производственная функция Кобба — Дугласа представляет собой конкретную функциональную форму производственной функции, широко используемую для описания технологической взаимосвязи между количеством двух или более факторов производства (в частности, физического капитала и труда) и объемом выпуска, который может быть произведен с использованием этих факторов. Форма Кобба — Дугласа была разработана и проверена на основе статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в период с 1927 по 1947 год; по словам Дугласа, сама функциональная форма была разработана ранее Филиппом Уикстедом.

История

Пол Дуглас объяснил, что его первая формулировка производственной функции Кобба — Дугласа была разработана в 1927 году. В поисках функциональной формы для установления связи между оценками, которые он вычислил для труда и капитала, он посоветовался с математиком и коллегой Чарльзом Коббом, который предложил функцию вида , ранее использованную Кнутом Викселлем, Филиппом Викстедом и Леоном Вальрасом, хотя Дуглас признает вклад только Викстеда и Вальраса. Вскоре после смерти Кнута Викселля в 1926 году Пол Дуглас и Чарльз Кобб впервые применили функцию Кобба — Дугласа в своих работах, посвященных теории производства. Оценив ее методом наименьших квадратов, он получил значение показателя труда, равное 0,75, которое впоследствии было подтверждено Национальным бюро экономических исследований как 0,741. Более поздние исследования в 1940-х годах побудили их допустить изменение показателей при K и L, что привело к оценкам, которые впоследствии оказались очень близки к более точным показателям производительности, разработанным в то время. Основной критикой в то время было то, что оценки производственной функции, хотя и казались точными, основывались на столь ограниченных данных, что было трудно придать им высокую степень достоверности. Дуглас заметил: «Должен признать, что эта критика меня обескуражила, и я подумывал отказаться от этой работы, но что-то подсказывало мне, что нужно продолжать».

Закон убывающей прибыли

Принимая производную предельного продукта капитала по капиталу (то есть, вычисляя вторую производную производственной функции по капиталу), мы получаем:

Поскольку , то и, следовательно,

Таким образом, эта функция удовлетворяет закону убывающей отдачи; то есть предельный продукт капитала, хотя и всегда положителен, снижается. При увеличении капитала (при фиксированном объеме труда и общей факторной производительности) выпуск растет, но замедляющимися темпами. Аналогичные рассуждения применимы и к труду.

Критика

Функция подверглась критике за отсутствие теоретической основы. Кобб и Дуглас находились под влиянием статистических данных, которые, казалось, показывали, что доли труда и капитала в общем объеме выпуска оставались постоянными во времени в развитых странах; они объяснили это статистическим подбором регрессии методом наименьших квадратов для своей производственной функции. В настоящее время широко признается, что доля труда в промышленно развитых экономиках снижается. Производственная функция содержит ключевое предположение, которое не всегда может обеспечить наиболее точное представление о производственных возможностях страны и эффективности со стороны предложения. Это предположение – «постоянная доля труда в выпуске», которое может оказаться неэффективным применительно к странам, рынки труда которых растут значительными темпами. Другой проблемой в фундаментальной структуре производственной функции Кобб-Дугласа является наличие смещения уравнения одновременной оценки. При допущении конкуренции смещение уравнения одновременной оценки влияет на все типы функций, связанные с решениями фирм, включая функцию Кобб-Дугласа. В некоторых случаях это смещение не проявляется. Однако оно становится очевидным при использовании асимптотических приближений методом наименьших квадратов. Производственная функция Кобб-Дугласа не была разработана на основе знаний в области инженерии, технологий или управления производственным процессом. Это оправдание может быть верным, учитывая определение термина «Капитал». Трудочасы и капитал требуют более четкого определения. Если капитал определяется как здание, то труд уже включен в процесс его строительства. Здание состоит из товаров, труда, рисков и накладных расходов. Вместо этого она была разработана, поскольку обладала привлекательными математическими свойствами, такими как убывающая предельная отдача от любого из факторов производства и свойство, согласно которому оптимальные доли расходов на любой заданный фактор производства фирмы, использующей технологию Кобб-Дугласа, являются постоянными. Первоначально она не имела никакой полезностной основы. В современную эпоху некоторые экономисты стремятся строить модели, исходя из действий отдельных агентов, а не навязывать функциональную форму всей экономике. Производственная функция Кобб-Дугласа, при правильном определении, может применяться на микроэкономическом уровне, вплоть до макроэкономического уровня. Однако многие современные авторы разработали модели, которые дают производственные функции Кобб-Дугласа, основанные на микроэкономике, включая многие неокейнсианские модели. Тем не менее, математически некорректно предполагать, что только потому, что функция Кобб-Дугласа применима на микроэкономическом уровне, она всегда применима и на макроэкономическом уровне. Аналогично, не обязательно, чтобы макроэкономическая функция Кобб-Дугласа применялась на дезагрегированном уровне. Раннее микрообоснование агрегированной технологии Кобб-Дугласа, основанное на линейных действиях, представлено в работе Houthakker (1955). Производственная функция Кобб-Дугласа не согласуется с современными эмпирическими оценками эластичности замещения между капиталом и трудом, которые указывают на то, что капитал и труд являются грубыми взаимодополняющими факторами. Мета-анализ 2021 года, основанный на 3186 оценках, приходит к выводу, что «накопленные эмпирические данные решительно отвергают спецификацию Кобб-Дугласа».

Кобб-Дуглас Утилиты

Функция Кобба-Дугласа часто используется как функция полезности.