Кобб-Дуглас өндіріс функциясы: макроэкономикалық формуласы

Кіріспе

Экономика мен эконометрияда Кобб-Дуглас өндірістік функциясы – өндіріс функциясының ерекше функционалдық түрі. Ол екі немесе одан көп фактордың (әсіресе физикалық капитал және еңбек) мөлшері мен осы факторлардың көмегімен өндірілетін өнімнің мөлшері арасындағы технологиялық қатынасты бейнелеу үшін кеңінен қолданылады. Кобб-Дуглас түрі 1927-1947 жылдар аралығында Чарльз Кобб және Пол Дуглас тарапынан статистикалық деректермен салыстырылып, тексерілді. Дугластың сөзіне сүйенсек, бұл функционалдық формаға негіз салмаған Филип Уикстед.

Тарих

Пол Дуглас өзінің Кобб-Дуглас өндірістік функциясының алғашқы тұжырымы 1927 жылы жасалғанын түсіндірді; жұмысшылар мен капиталға қатысты есептеген бағалауларын байланыстыратын функционалдық форма іздегенде, ол математик және әріптесі Чарльз Коббпен ақылдасты, ол бұрын Кнут Уикселл, Филип Уикстед және Леон Вальрас қолданған формадағы функцияны ұсынды, бірақ Дуглас тек Уикстед пен Вальрастың үлесін мойындайды. Кнут Уикселл 1926 жылы қайтыс болғаннан кейін көп ұзамай Пол Дуглас пен Чарльз Кобб өндіруші теориясы тақырыбын алғаш рет қамтитын жұмыстарында Кобб-Дуглас функциясын қолданды. Ол ең кіші квадраттар әдісін пайдаланып, еңбектің көрсеткіші 0,75 екенін анықтады, бұл кейіннен Ұлттық экономикалық зерттеулер бюросымен 0,741 деп расталды. 1940 жылдардағы жұмыстар оларды K және L көрсеткіштерін өзгертуге итермеледі, нәтижесінде алынған бағалаулар сол кездегі өнімділікті жақсарту өлшемдеріне өте жақын болды. Сол кездегі басты сын – өндіріс функциясының бағалаулары, көріне жақсы болғанымен, оларға сену қиын болғандықтан, өте аз деректерге негізделгендігі еді. Дуглас: "Мен бұл сынға көңілім толып, күш-жігерді тоқтату туралы ойладым, бірақ маған жалғастыру керектігін айтқан бір нәрсе болды" деді.

Кеміп бара жатқан пайданың заңы

Капиталға қатысты капиталдың шекті өнімінің туындысын алу (яғни, капиталға қатысты өндіріс функциясының екінші туындысын алу), мынаны береді:

Егер , онда және демек . Осылайша, бұл функция "азаятын өнімділік" заңын қанағаттандырады; яғни, капиталдың шекті өнімі, әрқашан оң болғанымен, төмендеп барады. Капитал көбейгенде (еңбек және жалпы факторлық өнімділікті өзгеріссіз ұстап тұрғанда), өнім де көбейеді, бірақ азаятын қарқынмен. Осыған ұқсас логика еңбекке де қатысты.

Сындар

Бұл функция негізсіздігі үшін сынға ұшырады. Кобб пен Дуглас дамыған елдерде еңбек пен капиталдың жалпы өнімдегі үлесі уақыт өте келе тұрақты екенін көрсететін статистикалық деректерге сүйенді; олар мұны өндірістік функцияларының статистикалық ең кіші квадраттар регрессиясы арқылы түсіндірді. Бүгінде өнеркәсіптік экономикаларда еңбек үлесінің төмендеп бара жатқаны кеңінен танылған. Өндіріс функциясы негізгі болжамға ие, ол әрқашан елдің өндірістік мүмкіндіктерін және ұсыныс тарапының тиімділігін ең дәл бейнелемейді. Бұл болжам – «өндірістегі еңбектің тұрақты үлесі», ол еңбек нарығы айтарлықтай өсіп жатқан елдердің жағдайларына қолданылғанда тиімді болмауы мүмкін. Кобб-Дуглас өндіріс функциясының негізгі құрамында тағы бір мәселе – бір мезгілде теңдеудің қателігінің болуы. Бәсекелестік болжамдалған жағдайда, бір мезгілде теңдеудің қателігі фирма шешімдеріне қатысты барлық функция түрлеріне, соның ішінде Кобб-Дуглас функциясына әсер етеді. Кейбір жағдайларда бұл қателік байқалмайды. Дегенмен, ең кіші квадраттардың асимптотикалық жуықтамалары қолданылғанда ол айқын болады. Кобб-Дуглас өндіріс функциясы инженерлік, технологиялық немесе өндіріс процесін басқару туралы білімге негізделмеген. Бұл негіздеме капитал терминінің анықтамасымен байланысты болуы мүмкін. Еңбек сағаттары мен капиталға нақтырақ анықтама қажет. Егер капитал ғимарат ретінде анықталса, онда еңбек осы ғимаратты дамытуға қатысқан болады. Ғимараттар тауарлардан, еңбек, тәуекелдер мен жалпы шарттардан тұрады. Оның орнына, ол өндіріс факторларының біріне қатысты шегіндегі кірістің төмендеуі және Кобб-Дуглас технологиясын қолданатын фирманың кез келген факторға арналған оңтайлы шығындар үлесінің тұрақты болуы сияқты тартымды математикалық қасиеттері болғандықтан дамытылды. Бастапқыда оған ешқандай пайдалы негіз болған жоқ. Қазіргі заманда кейбір экономистер бүкіл экономикаға функционалдық форманы таңудың орнына жеке агенттердің әрекеттерінен модельдер құруға тырысады. Егер Кобб-Дуглас өндіріс функциясы дұрыс анықталса, оны микроэкономикалық деңгейден макроэкономикалық деңгейге дейін қолдануға болады. Алайда, көптеген заманауи авторлар, оның ішінде көптеген жаңа кейнсиандық модельдерді әзірледі, олар микроэкономикалық негізделген Кобб-Дуглас өндіріс функцияларын ұсынады. Дегенмен, Кобб-Дуглас функциясы микроэкономикалық деңгейде қолданылатындықтан, ол әрқашан макроэкономикалық деңгейде де қолданылады деп есептеу математикалық қателік. Сол сияқты, макро Кобб-Дуглас агрегаттық деңгейде қолданылуы міндетті емес. Сызықтық белсенділікке негізделген агрегаттық Кобб-Дуглас технологиясының алғашқы микронегізі Houthakker (1955) еңбегінде келтірілген. Кобб-Дуглас өндіріс функциясы капитал мен еңбек арасындағы ішкі алмасудың икемділігі туралы қазіргі эмпирикалық бағалаулармен үйлеспейді, бұл капитал мен еңбектің толықтыратындығын көрсетеді. 2021 жылғы 3186 бағалаудың мета-талдауы «эмпирикалық әдебиетте жинақталған деректердің салмағы Кобб-Дуглас спецификациясын нақты жоққа шығарады» деген қорытындыға келді.

The function has been criticised for its lack of foundation. Cobb and Douglas were influenced by statistical evidence that appeared to show that labor and capital shares of total output were constant over time in developed countries; they explained this by statistical fitting least squares regression of their production function. It is now widely accepted that labor share is declining in industrialized economies. The production function contains a principal assumption that may not always provide the most accurate representation of a country's productive capabilities and supply side efficiencies. This assumption is a "constant share of labor in output," which may not be effective when applied to cases of countries whose labor markets are growing at significant rates. Another issue within the fundamental composition the Cobb–Douglas production function is the presence of simultaneous equation bias. When competition is presumed, the simultaneous equation bias has impact on all function types involving firm decisions – including the Cobb–Douglas function. In some cases this simultaneous equation bias doesn't appear. However, it is apparent when least squares asymptotic approximations are used. The Cobb–Douglas production function was not developed on the basis of any knowledge of engineering, technology, or management of the production process. This rationale may be true given the definition of the Capital term. Labor hours and Capital need a better definition. If capital is defined as a building, labor is already included in the development of that building. A building is composed of commodities, labor and risks and general conditions. It was instead developed because it had attractive mathematical characteristics, such as diminishing marginal returns to either factor of production and the property that the optimal expenditure shares on any given input of a firm operating a Cobb–Douglas technology are constant. Initially, there were no utility foundations for it. In the modern era, some economists try to build models up from individual agents acting, rather than imposing a functional form on an entire economy. The Cobb–Douglas production function, if properly defined, can be applied at a micro economic level, up to a macro economic level. However, many modern authors have developed models which give microeconomically based Cobb–Douglas production functions, including many New Keynesian models. It is nevertheless a mathematical mistake to assume that just because the Cobb–Douglas function applies at the microeconomic level, it also always applies at the macroeconomic level. Similarly, it is not necessarily the case that a macro Cobb–Douglas applies at the disaggregated level. An early microfoundation of the aggregate Cobb–Douglas technology based on linear activities is derived in Houthakker (1955). The Cobb–Douglas production function is inconsistent with modern empirical estimates of the elasticity of substitution between capital and labor, which suggest that capital and labor are gross complements. A 2021 meta analysis of 3186 estimates concludes that "the weight of evidence accumulated in the empirical literature emphatically rejects the Cobb–Douglas specification."

Кобб-Дугалас коммуналдық шаруашылықтары

Кобб-Дуглас функциясы көбінесе пайдалылық функциясы ретінде қолданылады.