Введение
Программа в философии математики
В философии математики логицизм — это программа, состоящая из одного или нескольких тезисов о том, что при некотором непротиворечивом понимании термина «логика» математика является расширением логики, некоторая часть или вся математика может быть сведена к логике, или некоторая часть или вся математика может быть представлена в логике. Эта программа была выдвинута Готлобом Фреге, поддержана Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом, а впоследствии развита Ричардом Дедекиндом и Джузеппе Пеано.
In the philosophy of mathematics, logicism is a programme comprising one or more of the theses that – for some coherent meaning of 'logic' – mathematics is an extension of logic, some or all of mathematics is reducible to logic, or some or all of mathematics may be modelled in logic. Bertrand Russell and Alfred North Whitehead championed this programme, initiated by Gottlob Frege and subsequently developed by Richard Dedekind and Giuseppe Peano.
Обзор
Путь Дедекинда к логицизму имел поворотный момент, когда ему удалось построить модель, удовлетворяющую аксиомам, характеризующим действительные числа, используя определенные множества рациональных чисел. Это и связанные с этим идеи убедили его, что арифметика, алгебра и анализ сводимы к натуральным числам плюс "логика" классов. Кроме того, к 1872 году он пришел к выводу, что сами натуральные числа сводимы к множествам и отображениям. Вероятно, что другие логики, прежде всего Фреге, также руководствовались новыми теориями действительных чисел, опубликованными в 1872 году. Философским импульсом логицистской программы Фреге, начиная с "Оснований арифметики" и далее, была его неудовлетворенность эпистемологическими и онтологическими обязательствами существовавших тогда представлений о натуральных числах и его убеждение, что использование Кантом истин о натуральных числах в качестве примеров синтетических априорных истин было ошибочным. Это положило начало периоду расширения логицизма, с Дедекиндом и Фреге в качестве его главных представителей. Однако этот начальный этап логицистской программы был поставлен под угрозу открытия классических парадоксов теории множеств (Кантор, 1896; Зермело и Рассел, 1900–1901). Фреге отказался от проекта после того, как Рассел обнаружил и сообщил о парадоксе, выявляющем противоречие в системе Фреге, изложенной в "Основах арифметики". Следует отметить, что наивная теория множеств также страдает от этой трудности. С другой стороны, Рассел написал "Принципы математики" в 1903 году, используя парадокс и разработки школы геометрии Джузеппе Пеано. Поскольку он рассматривал вопрос о примитивных понятиях в геометрии и теории множеств, этот текст стал водоразделом в развитии логицизма. Доказательства в пользу логицизма были собраны Расселом и Уайтхедом в их "Principia Mathematica". Сегодня считается, что большая часть существующей математики может быть логически выведена из небольшого числа экстралогических аксиом, таких как аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля (или ее расширения ZFC), из которых пока не было выведено никаких противоречий. Таким образом, элементы логицистских программ оказались жизнеспособными, но в процессе теории классов, множеств и отображений, а также логики высшего порядка, отличной от семантики Хенкина, стали рассматриваться как экстралогические по своей природе, отчасти под влиянием более поздних идей Куайна. Теоремы о неполноте Курта Гёделя показывают, что никакая формальная система, из которой могут быть выведены аксиомы Пеано для натуральных чисел – например, системы Рассела в "PM" – не может решить все корректно сформулированные предложения этой системы. Этот результат нанес ущерб программе Давида Гильберта по обоснованию математики, в соответствии с которой "бесконечно большие" теории, такие как "PM", должны были быть доказаны непротиворечивыми на основе конечных теорий, чтобы те, кто испытывал неуверенность в отношении "бесконечно больших методов", могли быть уверены, что их использование не приведет к выводу противоречия. Результат Гёделя предполагает, что для сохранения логицистской позиции, сохраняя при этом как можно больше классической математики, необходимо принять некоторую аксиому бесконечности как часть логики. На первый взгляд, это также наносит ущерб логицистской программе, хотя и только для тех, кто уже сомневается в "бесконечно больших методах". Тем не менее, позиции, вытекающие как из логицизма, так и из гильбертовского финитизма, продолжали выдвигаться после публикации результата Гёделя. Одним из аргументов в пользу того, что программы, основанные на логицизме, остаются действительными, может быть то, что теоремы о неполноте "доказываются логикой, как и любые другие теоремы". Однако этот аргумент, по-видимому, не учитывает различие между теоремами логики первого порядка и теоремами логики высшего порядка. Первые могут быть доказаны с использованием финистических методов, в то время как вторые – как правило – не могут. Теорема Тарского о недефинируемости показывает, что нумерация Гёделя может использоваться для доказательства синтаксических конструкций, но не семантических утверждений. Следовательно, утверждение о том, что логицизм остается действительной программой, может привести к убеждению, что система доказательств, основанная на существовании и свойствах натуральных чисел, менее убедительна, чем система, основанная на какой-либо конкретной формальной системе. Логицизм – особенно благодаря влиянию Фреге на Рассела и Витгенштейна, а позднее на Дюмета – внес значительный вклад в развитие аналитической философии в течение двадцатого века.
Происхождение названия "логизм"
Ивор Граттан Гиннесс утверждает, что французское слово 'Logistique' было "введено Кутуратом и другими на Международном философском конгрессе 1904 года и использовалось Расселом и другими с тех пор в формах, соответствующих различным языкам" (ГГ 2000:501). По всей видимости, первое (и единственное) использование этого слова Расселом встречается в его работе 1919 года: "Расселл несколько раз ссылался на Фреге, представляя его как первого, кому удалось "логицизировать" математику" (с. 7). Помимо неточности (которую Рассел частично исправил, уточнив собственное понимание роли арифметики в математике), этот отрывок примечателен словом, которое он заключил в кавычки. Однако само наличие кавычек говорит о некоторой нерешительности, и Рассел больше никогда не использовал это слово, поэтому термин "логицизм" появился лишь к концу 1920-х годов" (ГГ 2002:434). Примерно в то же время, что и Рудольф Карнап (1929), но, по-видимому, независимо от него, Френкель (1928) использовал это слово: "Он без каких-либо комментариев использовал название "логицизм" для обозначения позиции Уайтхеда и Рассела (в заголовке раздела на с. 244, с объяснением на с. 263)" (ГГ 2002:269). Карнап использовал несколько иное слово – 'Logistik'; Бехман выразил недовольство его использованием в рукописи Карнапа, в связи с чем Карнап предложил термин 'Logizismus', но в итоге остановился на своем первоначальном выборе – 'Logistik' (ГГ 2002:501). В конечном счете, "распространение этого термина было в основном заслугой Карнапа, начиная с 1930 года" (ГГ 2000:502).
Намерение или цель логики
Открытое намерение логицизма – вывести всю математику из символической логики (Фреге, Дедекинд, Пеано, Рассел). В отличие от алгебраической логики (булевой логики), использующей арифметические понятия, символическая логика начинается с крайне ограниченного набора знаков (неарифметических символов), нескольких «логических» аксиом, воплощающих «законы мышления», и правил вывода, определяющих, как эти знаки должны собираться и манипулироваться – например, подстановка и modus ponens (то есть, из [1] A материально влечет B и [2] A следует B). Логицизм также заимствует из работ Фреге редукцию высказываний естественного языка из структуры «субъект|предикат» либо к пропозициональным «атомам», либо к «аргумент|функция» «обобщения» – понятиям «все», «некоторые», «класс» (множество, агрегат) и «отношение». В логицистском выводе натуральных чисел и их свойств не должно «проникать» никакой «интуиции» числа, ни в качестве аксиомы, ни случайно. Цель состоит в том, чтобы вывести всю математику, начиная с натуральных чисел, а затем и действительных чисел, исключительно из выбранных «законов мышления», без каких-либо неявных предположений о «до» и «после» или «меньше» и «больше», вплоть до понятий «последователь» и «предшественник». Гёдель в 1944 году резюмировал логицистские «конструкции» Рассела, сравнивая их с «конструкциями» в фундаментальных системах интуиционизма и формализма («гильбертовская школа»), следующим образом: «Обе эти школы основывают свои построения на математической интуиции, избежание которой является одной из главных целей конструктивизма Рассела» (Гёдель 1944 в Собрании сочинений 1990:119).
Эпистемология, онтология и логики
Эпистемологии Дедекинда и Фреге представляются менее четко определенными, чем у Рассела, но оба, по-видимому, принимают априори обычные «законы мысли» относительно простых суждений (обычно убеждений); эти законы были бы достаточны сами по себе, если бы дополнялись теорией классов и отношений (например, x R y) между индивидами x и y, связанных обобщением R. Аргумент Дедекинда начинается с «1. В дальнейшем под вещью я понимаю каждый объект нашего мышления»; мы, люди, используем символы для обсуждения этих «вещей» нашего разума; «Вещь полностью определяется всем, что может быть утверждено или помыслено о ней» (с. 44). В последующем абзаце Дедекинд обсуждает, что такое «система S: это агрегат, многообразие, совокупность связанных элементов (вещей) a, b, c»; он утверждает, что «такая система S, как объект нашего мышления, также является вещью (1); она полностью определяется, когда в отношении каждой вещи определяется, является ли она элементом S или нет» (с. 45, курсивом выделено). * указывает на сноску, где он заявляет: «Кронекер не так давно (Crelle's Journal, Vol. 99, стр. 334–336) пытался наложить определенные ограничения на свободное формирование понятий в математике, которые, по моему мнению, не оправданы» (с. 45). Действительно, он ожидает, что Кронекер «опубликует свои доводы в пользу необходимости или, по крайней мере, целесообразности этих ограничений» (с. 45). Кронекер, известный своим утверждением, что «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человека», имел своих противников, среди которых был и Гильберт. Гильберт назвал Кронекера «догматиком, поскольку он принимает целое число с его существенными свойствами как догму и не оглядывается назад» и приравнял его крайнюю конструктивистскую позицию к интуиционизму Брауэра, обвиняя обоих в «субъективизме»: «Одна из задач науки – освободить нас от произвола, чувства и привычки и защитить нас от субъективизма, который уже проявился во взглядах Кронекера и, как мне кажется, достигает кульминации в интуиционизме». Затем Гильберт заявляет, что «математика – это наука без предпосылок. Для ее основания мне не нужен Бог, как Кронекеру…» (с. 479). Реализм Рассела служил ему противоядием от британского идеализма, с элементами, заимствованными из европейского рационализма и британского эмпиризма. Прежде всего, «Рассел был реалистом по двум ключевым вопросам: универсалиям и материальным объектам» (Рассел, 1912: xi). Для Рассела столы – это реальные вещи, существующие независимо от Рассела-наблюдателя. Рационализм внес понятие априорного знания, а эмпиризм – роль эмпирического знания (индукции из опыта). Рассел приписывает Канту идею «априорного» знания, но он выдвигает возражение, которое считает «фатальным»: «Факты [мира] всегда должны соответствовать логике и арифметике. Утверждать, что логика и арифметика вносятся нами, не объясняет этого» (1912: 87); Рассел заключает, что априорное знание, которым мы обладаем, «относится к вещам, а не только к мыслям» (1912: 89). И в этом эпистемология Рассела, кажется, отличается от веры Дедекинда в то, что «числа являются свободными творениями человеческого разума» (Дедекинд, 1887: 31). Но его эпистемология относительно врожденного (он предпочитает слово «априорное», когда оно применяется к логическим принципам, см. 1912: 74) сложна. Он бы решительно и однозначно выразил поддержку платоническим «универсалиям» (ср. 1912: 91–118) и пришел к выводу, что истина и ложь «существуют вне нас»; умы создают убеждения, и то, что делает убеждение истинным, – это факт, «и этот факт не (за исключением исключительных случаев) включает в себя ум человека, который имеет это убеждение» (1912: 130). Откуда Рассел почерпнул эти эпистемические понятия? Он рассказывает нам в предисловии к своим «Принципам математики» 1903 года. Обратите внимание, что он утверждает: вера «Эмили – кролик» не существует, и все же истинность этого несуществующего утверждения не зависит от какого-либо знающего ума; если Эмили действительно кролик, то факт этой истины существует, независимо от того, жив Рассел или любой другой ум, и отношение Эмили к кроличьей сущности является «окончательным»: «По фундаментальным вопросам философии моя позиция, во всех ее главных чертах, происходит от г-на Г. Э. Мура. Я принял от него неэкзистенциальную природу предложений (за исключением тех, которые утверждают существование) и их независимость от любого знающего разума; также плюрализм, который рассматривает мир, как существующий, так и сущности, как состоящий из бесконечного числа взаимно независимых сущностей, с отношениями, которые являются окончательными и не сводятся к прилагательным их терминов или целого, которое они составляют… Доктрины, только что упомянутые, по моему мнению, совершенно необходимы для любой даже в достаточной степени удовлетворительной философии математики, как я надеюсь показать на следующих страницах… Формально мои посылки просто предполагаются; но тот факт, что они позволяют математике быть истинной, что большинство современных философий не делают, безусловно, является мощным аргументом в их пользу» (Предисловие, 1903: viii).
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
В 1902 году Рассел обнаружил «порочный круг» (парадокс Рассела) в «Grundgesetze der Arithmetik» Фреге, вытекающий из Основного закона V Фреге, и он был полон решимости не повторить это в своих «Принципах математики» 1903 года. В двух приложениях, добавленных в последнюю минуту, он посвятил 28 страниц как подробному анализу теории Фреге в контрасте со своей собственной, так и исправлению парадокса. Но он не был оптимистичен по поводу результата: «В случае классов, должен признаться, я не смог обнаружить концепцию, удовлетворяющую условиям, необходимым для понятия класса. И противоречие, обсуждаемое в главе x, доказывает, что что-то не так, но что именно, я до сих пор не смог обнаружить» (Предисловие к Расселу, 1903: vi).
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
Гёдель в 1944 году не согласился бы с молодым Расселом 1903 года («мои посылки позволяют математике быть истинной»), но, вероятно, согласился бы с цитатой Рассела выше («что-то не так»); теория Рассела не смогла прийти к удовлетворительному основанию математики: результат был «по существу отрицательным; то есть классы и понятия, введенные таким образом, не обладают всеми свойствами, необходимыми для использования математики» (Гёдель, 1944: 132). Как Рассел оказался в этой ситуации? Гёдель отмечает, что Рассел – удивительный «реалист» с изюминкой: он цитирует Рассела, 1919: 169: «Логика имеет отношение к реальному миру точно так же, как зоология» (Гёдель, 1944: 120). Но он отмечает, что «когда он приступал к конкретной проблеме, объекты, подлежащие анализу (например, классы или предложения), вскоре в основном превращались в «логические фикции». [что означает] только то, что у нас нет непосредственного восприятия их» (Гёдель, 1944: 120).
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
В наблюдении, относящемся к логицизму Рассела, Перри отмечает, что Рассел прошел через три фазы реализма: крайнюю, умеренную и конструктивистскую (Перри, 1997: xxv). В 1903 году он находился в своей крайней фазе; к 1905 году он перешел в умеренную фазу. Через несколько лет он «откажется от физических или материальных объектов как от основных элементов мироздания. Он попытается сконструировать их из чувственных данных» в своей следующей книге «Наше знание о внешнем мире» [1914]» (Перри, 1997: xxvi). Эти конструкции, которые Гёдель 1944 года назвал бы «номиналистическим конструктивизмом – который лучше назвать фикционализмом», произошли из «более радикальной идеи Рассела, теории отсутствия классов» (с. 125): «согласно которой классы или понятия никогда не существуют как реальные объекты, и предложения, содержащие эти термины, имеют смысл только в той мере, в какой их можно интерпретировать как способ говорить о других вещах» (с. 125). См. больше в разделах «Критика» ниже.
Dedekind's argument begins with "1. In what follows I understand by thing every object of our thought"; we humans use symbols to discuss these "things" of our minds; "A thing is completely determined by all that can be affirmed or thought concerning it" (p. 44). In a subsequent paragraph Dedekind discusses what a "system S is: it is an aggregate, a manifold, a totality of associated elements (things) a, b, c"; he asserts that "such a system S . as an object of our thought is likewise a thing (1); it is completely determined when with respect to every thing it is determined whether it is an element of S or not. *" (p. 45, italics added). The * indicates a footnote where he states that:
"Kronecker not long ago (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334 336) has endeavored to impose certain limitations upon the free formation of concepts in mathematics which I do not believe to be justified" (p. 45). Indeed he awaits Kronecker's "publishing his reasons for the necessity or merely the expediency of these limitations" (p. 45). Kronecker, famous for his assertion that "God made the integers, all else is the work of man" had his foes, among them Hilbert. Hilbert called Kronecker a "dogmatist, to the extent that he accepts the integer with its essential properties as a dogma and does not look back" and equated his extreme constructivist stance with that of Brouwer's intuitionism, accusing both of "subjectivism": "It is part of the task of science to liberate us from arbitrariness, sentiment and habit and to protect us from the subjectivism that already made itself felt in Kronecker's views and, it seems to me, finds its culmination in intuitionism". Hilbert then states that "mathematics is a presuppositionless science. To found it I do not need God, as does Kronecker . ." (p. 479). Russell's realism served him as an antidote to British idealism, with portions borrowed from European rationalism and British empiricism. To begin with, "Russell was a realist about two key issues: universals and material objects" (Russell 1912:xi). For Russell, tables are real things that exist independent of Russell the observer. Rationalism would contribute the notion of a priori knowledge, while empiricism would contribute the role of experiential knowledge (induction from experience). Russell would credit Kant with the idea of "a priori" knowledge, but he offers an objection to Kant he deems "fatal": "The facts [of the world] must always conform to logic and arithmetic. To say that logic and arithmetic are contributed by us does not account for this" (1912:87); Russell concludes that the a priori knowledge that we possess is "about things, and not merely about thoughts" (1912:89). And in this Russell's epistemology seems different from that of Dedekind's belief that "numbers are free creations of the human mind" (Dedekind 1887:31)
But his epistemology about the innate (he prefers the word a priori when applied to logical principles, cf. 1912:74) is intricate. He would strongly, unambiguously express support for the Platonic "universals" (cf. 1912:91 118) and he would conclude that truth and falsity are "out there"; minds create beliefs and what makes a belief true is a fact, "and this fact does not (except in exceptional cases) involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). Where did Russell derive these epistemic notions? He tells us in the Preface to his 1903 Principles of Mathematics. Note that he asserts that the belief: "Emily is a rabbit" is non existent, and yet the truth of this non existent proposition is independent of any knowing mind; if Emily really is a rabbit, the fact of this truth exists whether or not Russell or any other mind is alive or dead, and the relation of Emily to rabbit hood is "ultimate":
"On fundamental questions of philosophy, my position, in all its chief features, is derived from Mr G. E. Moore. I have accepted from him the non existential nature of propositions (except such as happen to assert existence) and their independence of any knowing mind; also the pluralism which regards the world, both that of existents and that of entities, as composed of an infinite number of mutually independent entities, with relations which are ultimate, and not reducible to adjectives of their terms or of the whole which these compose. . The doctrines just mentioned are, in my opinion, quite indispensable to any even tolerably satisfactory philosophy of mathematics, as I hope the following pages will show. . Formally, my premisses are simply assumed; but the fact that they allow mathematics to be true, which most current philosophies do not, is surely a powerful argument in their favour." (Preface 1903:viii)
In 1902 Russell discovered a "vicious circle" (Russell's paradox) in Frege's Grundgesetze der Arithmetik, derived from Frege's Basic Law V and he was determined not to repeat it in his 1903 Principles of Mathematics. In two Appendices added at the last minute he devoted 28 pages to both a detailed analysis of Frege's theory contrasted against his own, and a fix for the paradox. But he was not optimistic about the outcome:
"In the case of classes, I must confess, I have failed to perceive any concept fulfilling the conditions requisite for the notion of class. And the contradiction discussed in Chapter x. proves that something is amiss, but what this is I have hitherto failed to discover. (Preface to Russell 1903:vi)"
Gödel in his 1944 would disagree with the young Russell of 1903 ("[my premisses] allow mathematics to be true") but would probably agree with Russell's statement quoted above ("something is amiss"); Russell's theory had failed to arrive at a satisfactory foundation of mathematics: the result was "essentially negative; i. e. the classes and concepts introduced this way do not have all the properties required for the use of mathematics" (Gödel 1944:132). How did Russell arrive in this situation? Gödel observes that Russell is a surprising "realist" with a twist: he cites Russell's 1919:169 "Logic is concerned with the real world just as truly as zoology" (Gödel 1944:120). But he observes that "when he started on a concrete problem, the objects to be analyzed (e. g. the classes or propositions) soon for the most part turned into "logical fictions" . [meaning] only that we have no direct perception of them." (Gödel 1944:120)
In an observation pertinent to Russell's brand of logicism, Perry remarks that Russell went through three phases of realism: extreme, moderate and constructive (Perry 1997:xxv). In 1903 he was in his extreme phase; by 1905 he would be in his moderate phase. In a few years he would "dispense with physical or material objects as basic bits of the furniture of the world. He would attempt to construct them out of sense data" in his next book Our knowledge of the External World [1914]" (Perry 1997:xxvi). These constructions in what Gödel 1944 would call "nominalistic constructivism which might better be called fictionalism" derived from Russell's "more radical idea, the no class theory" (p. 125):
"according to which classes or concepts never exist as real objects, and sentences containing these terms are meaningful only as they can be interpreted as a manner of speaking about other things" (p. 125). See more in the Criticism sections, below.
Пример логической конструкции натуральных чисел: конструкция Рассела в Principia
Логицизм Фреге и Дедекинда схож с логицизмом Рассела, но отличается в деталях (см. Критику, ниже). В целом, логистические выводы натуральных чисел отличаются от выводов, основанных, например, на аксиомах Зермело для теории множеств («Z»). В то время как в выводах из Z одно из определений «числа» использует аксиому этой системы – аксиому пар – которая приводит к определению «упорядоченной пары», в различных логистических аксиоматических системах, позволяющих вывести натуральные числа, нет явной аксиомы числа. Следует отметить, что аксиомы, необходимые для вывода определения числа, могут различаться в разных аксиоматических системах теории множеств. Например, в ZF и ZFC аксиома пар, а следовательно, и понятие упорядоченной пары, выводятся из аксиомы бесконечности и аксиомы замены и требуются в определении чисел фон Неймана (но не чисел Зермело), тогда как в NFU числительные Фреге могут быть получены аналогичным образом, как и их вывод в «Grundgesetze». «Principia», как и ее предшественник «Grundgesetze», начинает построение чисел с примитивных пропозиций, таких как «класс», «пропозициональная функция» и, в частности, отношения «сходства» («эквинумеро́зность»: установление соответствия один к одному между элементами коллекций) и «порядка» (используя отношение «последующий», чтобы упорядочить коллекции эквинумеро́зных классов). Логистический вывод приравнивает кардинальные числа, построенные таким образом, к натуральным числам, и эти числа оказываются все одного «типа» – как классы классов, – в то время как в некоторых конструкциях теории множеств – например, в числах фон Неймана и числах Зермело – каждое число имеет своего предшественника в качестве подмножества. Клини отмечает следующее. (Предположения Клини (1) и (2) утверждают, что 0 обладает свойством P, и n+1 обладает свойством P, если n обладает свойством P.) «Точка зрения здесь существенно отличается от максимы [Кронекера] о том, что «Бог создал целые числа», дополненной аксиомами Пеано о числе и математической индукции, где мы исходили из интуитивного представления о последовательности натуральных чисел и выводили из него принцип, согласно которому, если дано конкретное свойство P натуральных чисел, удовлетворяющее условиям (1) и (2), то любое заданное натуральное число должно обладать этим свойством P» (Клини 1952:44). Значение построения натуральных чисел для логицистской программы проистекает из утверждения Рассела: «Тот факт, что вся традиционная чистая математика может быть выведена из натуральных чисел, является относительно недавним открытием, хотя это давно подозревалось» (1919:4). Один из выводов действительных чисел основан на теории дедекиндовых разрезов рациональных чисел, которые, в свою очередь, выводятся из натуральных. Хотя пример того, как это делается, полезен, он в первую очередь опирается на вывод натуральных чисел. Следовательно, если в логистическом выводе натуральных чисел возникнут философские трудности, этих проблем должно быть достаточно, чтобы остановить программу до их разрешения (см. Критику, ниже). Одна из попыток построения натуральных чисел была обобщена Бернайсом в 1930–1931 годах. Но вместо того, чтобы использовать краткое изложение Бернайса, которое неполно в некоторых деталях, ниже приводится попытка перефразировать конструкцию Рассела, включив некоторые конечные иллюстрации:
"The viewpoint here is very different from that of [Kronecker]'s maxim that 'God made the integers' plus Peano's axioms of number and mathematical induction], where we presupposed an intuitive conception of the natural number sequence, and elicited from it the principle that, whenever a particular property P of natural numbers is given such that (1) and (2), then any given natural number must have the property P." (Kleene 1952:44). The importance to the logicist programme of the construction of the natural numbers derives from Russell's contention "That all traditional pure mathematics can be derived from the natural numbers is a fairly recent discovery, though it had long been suspected" (1919:4). One derivation of the real numbers derives from the theory of Dedekind cuts on the rational numbers, rational numbers in turn being derived from the naturals. While an example of how this is done is useful, it relies first on the derivation of the natural numbers. So, if philosophical difficulties appear in a logicist derivation of the natural numbers, these problems should be sufficient to stop the program until these are resolved (see Criticisms, below). One attempt to construct the natural numbers is summarized by Bernays 1930–1931. But rather than use Bernays' précis, which is incomplete in some details, an attempt at a paraphrase of Russell's construction, incorporating some finite illustrations, is set out below:
Предварительные
Для Рассела коллекции (классы) – это совокупности "вещей", определяемых собственными именами, которые возникают в результате предложений (утверждений факта о вещи или вещах). Рассел проанализировал это общее понятие. Он начинает с "терминов" в предложениях, которые он анализирует следующим образом: Для Рассела "термины" – это либо "вещи", либо "концепции": "Всё, что может быть объектом мысли, или может встречаться в любом истинном или ложном предложении, или может считаться единым, я называю термином. Это, следовательно, самое широкое слово в философском словаре. Я буду использовать в качестве синонимов слова "единица", "индивидуум" и "сущность". Первые два подчеркивают тот факт, что каждый термин является одним, в то время как третий выводится из того факта, что каждый термин имеет бытие, то есть в некотором смысле существует. Человек, мгновение, число, класс, отношение, химера или что-либо другое, что можно упомянуть, несомненно является термином; и отрицать, что такая-то вещь является термином, всегда будет ложным" (Рассел 1903:43). "Среди терминов можно различить два вида, которые я буду называть соответственно вещами и концепциями; первые – это термины, обозначенные собственными именами, последние – обозначенные всеми другими словами. Среди концепций, опять же, следует различать по крайней мере два вида, а именно те, которые обозначаются прилагательными, и те, которые обозначаются глаголами" (1903:44). "Первый вид часто называют предикатами или классовыми концепциями; последний всегда или почти всегда является отношением" (1903:44). "Я буду говорить о терминах предложения как о тех терминах, какими бы многочисленными они ни были, которые встречаются в предложении и могут рассматриваться как предметы, о которых идет речь в предложении. Характерно для терминов предложения то, что любой из них может быть заменен любым другим объектом, не переставая быть предложением. Таким образом, мы скажем, что "Сократ – человек" – это предложение, имеющее только один термин; из оставшихся компонентов предложения, один – это глагол, другой – предикат. Предикаты, таким образом, являются концепциями, отличными от глаголов, которые встречаются в предложениях, имеющих только один термин или субъект" (1903:45).
For Russell, "terms" are either "things" or "concepts": "Whatever may be an object of thought, or may occur in any true or false proposition, or can be counted as one, I call a term. This, then, is the widest word in the philosophical vocabulary. I shall use as synonymous with it the words, unit, individual, and entity. The first two emphasize the fact that every term is one, while the third is derived from the fact that every term has being, i. e. is in some sense. A man, a moment, a number, a class, a relation, a chimaera, or anything else that can be mentioned, is sure to be a term; and to deny that such and such a thing is a term must always be false" (Russell 1903:43)
"Among terms, it is possible to distinguish two kinds, which I shall call respectively things and concepts; the former are the terms indicated by proper names, the latter those indicated by all other words . Among concepts, again, two kinds at least must be distinguished, namely those indicated by adjectives and those indicated by verbs" (1903:44). "The former kind will often be called predicates or class concepts; the latter are always or almost always relations." (1903:44)
"I shall speak of the terms of a proposition as those terms, however numerous, which occur in a proposition and may be regarded as subjects about which the proposition is. It is a characteristic of the terms of a proposition that anyone of them may be replaced by any other entity without our ceasing to have a proposition. Thus we shall say that "Socrates is human" is a proposition having only one term; of the remaining component of the proposition, one is the verb, the other is a predicate . Predicates, then, are concepts, other than verbs, which occur in propositions having only one term or subject." (1903:45)
Suppose one were to point to an object and say: "This object in front of me named 'Emily' is a woman." This is a proposition, an assertion of the speaker's belief, which is to be tested against the "facts" of the outer world: "Minds do not create truth or falsehood. They create beliefs . what makes a belief true is a fact, and this fact does not (except in exceptional cases) in any way involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). If by investigation of the utterance and correspondence with "fact", Russell discovers that Emily is a rabbit, then his utterance is considered "false"; if Emily is a female human (a female "featherless biped" as Russell likes to call humans, following Diogenes Laërtius's anecdote about Plato), then his utterance is considered "true". "The class, as opposed to the class concept, is the sum or conjunction of all the terms which have the given predicate" (1903 p. 55). Classes can be specified by extension (listing their members) or by intension, i. e. by a "propositional function" such as "x is a u" or "x is v". But "if we take extension pure, our class is defined by enumeration of its terms, and this method will not allow us to deal, as Symbolic Logic does, with infinite classes. Thus our classes must in general be regarded as objects denoted by concepts, and to this extent the point of view of intension is essential." (1909 p. 66)
"The characteristic of a class concept, as distinguished from terms in general, is that "x is a u" is a propositional function when, and only when, u is a class concept." (1903:56)
"71. Class may be defined either extensionally or intensionally. That is to say, we may define the kind of object which is a class, or the kind of concept which denotes a class: this is the precise meaning of the opposition of extension and intension in this connection. But although the general notion can be defined in this two fold manner, particular classes, except when they happen to be finite, can only be defined intensionally, i. e. as the objects denoted by such and such concepts. . logically; the extensional definition appears to be equally applicable to infinite classes, but practically, if we were to attempt it, Death would cut short our laudable endeavour before it had attained its goal. "(1903:69)
Предположим, кто-то указывает на объект и говорит: "Этот предмет передо мной, названный 'Эмили', – это женщина". Это предложение, выражение веры говорящего, которое должно быть проверено на соответствие "фактам" внешнего мира: "Разум не создает истину или ложь. Он создает убеждения. То, что делает убеждение истинным, – это факт, и этот факт не (за исключением исключительных случаев) каким-либо образом включает в себя разум человека, который придерживается этого убеждения" (1912:130). Если в результате исследования высказывания и его соответствия "факту" Рассел обнаруживает, что Эмили – кролик, то его высказывание считается "ложным"; если Эмили – женщина (женщина – "без перьев и на двух ногах", как Рассел любит называть людей, следуя анекдоту Диогена Лаэртского о Платоне), то его высказывание считается "истинным". "Класс, в отличие от концепции класса, является суммой или соединением всех терминов, обладающих данным предикатом" (1903, с. 55). Классы могут быть определены расширением (перечислением их членов) или интенсией, то есть "предложенческой функцией", такой как "x – это u" или "x – это v". Но "если мы берем чистое расширение, наш класс определяется перечислением его терминов, и этот метод не позволит нам иметь дело, как это делает символическая логика, с бесконечными классами. Таким образом, наши классы должны рассматриваться как объекты, обозначаемые концепциями, и в этой степени точка зрения интенции необходима" (1909, с. 66).
For Russell, "terms" are either "things" or "concepts": "Whatever may be an object of thought, or may occur in any true or false proposition, or can be counted as one, I call a term. This, then, is the widest word in the philosophical vocabulary. I shall use as synonymous with it the words, unit, individual, and entity. The first two emphasize the fact that every term is one, while the third is derived from the fact that every term has being, i. e. is in some sense. A man, a moment, a number, a class, a relation, a chimaera, or anything else that can be mentioned, is sure to be a term; and to deny that such and such a thing is a term must always be false" (Russell 1903:43)
"Among terms, it is possible to distinguish two kinds, which I shall call respectively things and concepts; the former are the terms indicated by proper names, the latter those indicated by all other words . Among concepts, again, two kinds at least must be distinguished, namely those indicated by adjectives and those indicated by verbs" (1903:44). "The former kind will often be called predicates or class concepts; the latter are always or almost always relations." (1903:44)
"I shall speak of the terms of a proposition as those terms, however numerous, which occur in a proposition and may be regarded as subjects about which the proposition is. It is a characteristic of the terms of a proposition that anyone of them may be replaced by any other entity without our ceasing to have a proposition. Thus we shall say that "Socrates is human" is a proposition having only one term; of the remaining component of the proposition, one is the verb, the other is a predicate . Predicates, then, are concepts, other than verbs, which occur in propositions having only one term or subject." (1903:45)
Suppose one were to point to an object and say: "This object in front of me named 'Emily' is a woman." This is a proposition, an assertion of the speaker's belief, which is to be tested against the "facts" of the outer world: "Minds do not create truth or falsehood. They create beliefs . what makes a belief true is a fact, and this fact does not (except in exceptional cases) in any way involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). If by investigation of the utterance and correspondence with "fact", Russell discovers that Emily is a rabbit, then his utterance is considered "false"; if Emily is a female human (a female "featherless biped" as Russell likes to call humans, following Diogenes Laërtius's anecdote about Plato), then his utterance is considered "true". "The class, as opposed to the class concept, is the sum or conjunction of all the terms which have the given predicate" (1903 p. 55). Classes can be specified by extension (listing their members) or by intension, i. e. by a "propositional function" such as "x is a u" or "x is v". But "if we take extension pure, our class is defined by enumeration of its terms, and this method will not allow us to deal, as Symbolic Logic does, with infinite classes. Thus our classes must in general be regarded as objects denoted by concepts, and to this extent the point of view of intension is essential." (1909 p. 66)
"The characteristic of a class concept, as distinguished from terms in general, is that "x is a u" is a propositional function when, and only when, u is a class concept." (1903:56)
"71. Class may be defined either extensionally or intensionally. That is to say, we may define the kind of object which is a class, or the kind of concept which denotes a class: this is the precise meaning of the opposition of extension and intension in this connection. But although the general notion can be defined in this two fold manner, particular classes, except when they happen to be finite, can only be defined intensionally, i. e. as the objects denoted by such and such concepts. . logically; the extensional definition appears to be equally applicable to infinite classes, but practically, if we were to attempt it, Death would cut short our laudable endeavour before it had attained its goal. "(1903:69)
"Характерной чертой концепции класса, в отличие от терминов в целом, является то, что "x – это u" является предложенческой функцией тогда и только тогда, когда u – это концепция класса" (1903:56).
For Russell, "terms" are either "things" or "concepts": "Whatever may be an object of thought, or may occur in any true or false proposition, or can be counted as one, I call a term. This, then, is the widest word in the philosophical vocabulary. I shall use as synonymous with it the words, unit, individual, and entity. The first two emphasize the fact that every term is one, while the third is derived from the fact that every term has being, i. e. is in some sense. A man, a moment, a number, a class, a relation, a chimaera, or anything else that can be mentioned, is sure to be a term; and to deny that such and such a thing is a term must always be false" (Russell 1903:43)
"Among terms, it is possible to distinguish two kinds, which I shall call respectively things and concepts; the former are the terms indicated by proper names, the latter those indicated by all other words . Among concepts, again, two kinds at least must be distinguished, namely those indicated by adjectives and those indicated by verbs" (1903:44). "The former kind will often be called predicates or class concepts; the latter are always or almost always relations." (1903:44)
"I shall speak of the terms of a proposition as those terms, however numerous, which occur in a proposition and may be regarded as subjects about which the proposition is. It is a characteristic of the terms of a proposition that anyone of them may be replaced by any other entity without our ceasing to have a proposition. Thus we shall say that "Socrates is human" is a proposition having only one term; of the remaining component of the proposition, one is the verb, the other is a predicate . Predicates, then, are concepts, other than verbs, which occur in propositions having only one term or subject." (1903:45)
Suppose one were to point to an object and say: "This object in front of me named 'Emily' is a woman." This is a proposition, an assertion of the speaker's belief, which is to be tested against the "facts" of the outer world: "Minds do not create truth or falsehood. They create beliefs . what makes a belief true is a fact, and this fact does not (except in exceptional cases) in any way involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). If by investigation of the utterance and correspondence with "fact", Russell discovers that Emily is a rabbit, then his utterance is considered "false"; if Emily is a female human (a female "featherless biped" as Russell likes to call humans, following Diogenes Laërtius's anecdote about Plato), then his utterance is considered "true". "The class, as opposed to the class concept, is the sum or conjunction of all the terms which have the given predicate" (1903 p. 55). Classes can be specified by extension (listing their members) or by intension, i. e. by a "propositional function" such as "x is a u" or "x is v". But "if we take extension pure, our class is defined by enumeration of its terms, and this method will not allow us to deal, as Symbolic Logic does, with infinite classes. Thus our classes must in general be regarded as objects denoted by concepts, and to this extent the point of view of intension is essential." (1909 p. 66)
"The characteristic of a class concept, as distinguished from terms in general, is that "x is a u" is a propositional function when, and only when, u is a class concept." (1903:56)
"71. Class may be defined either extensionally or intensionally. That is to say, we may define the kind of object which is a class, or the kind of concept which denotes a class: this is the precise meaning of the opposition of extension and intension in this connection. But although the general notion can be defined in this two fold manner, particular classes, except when they happen to be finite, can only be defined intensionally, i. e. as the objects denoted by such and such concepts. . logically; the extensional definition appears to be equally applicable to infinite classes, but practically, if we were to attempt it, Death would cut short our laudable endeavour before it had attained its goal. "(1903:69)
"71. Класс может быть определен либо экстенсионально, либо интенсионально. То есть мы можем определить, какой вид объекта является классом, или какой вид концепции обозначает класс: в этом контексте именно в этом смысле противопоставляются расширение и интенсия. Но хотя общее понятие может быть определено таким образом, отдельные классы, за исключением случаев, когда они конечны, могут быть определены только интенсионально, то есть как объекты, обозначаемые такими-то концепциями. Логически экстенсиональное определение представляется одинаково применимым к бесконечным классам, но практически, если бы мы попытались это сделать, смерть прервала бы наши похвальные усилия до достижения цели" (1903:69).
For Russell, "terms" are either "things" or "concepts": "Whatever may be an object of thought, or may occur in any true or false proposition, or can be counted as one, I call a term. This, then, is the widest word in the philosophical vocabulary. I shall use as synonymous with it the words, unit, individual, and entity. The first two emphasize the fact that every term is one, while the third is derived from the fact that every term has being, i. e. is in some sense. A man, a moment, a number, a class, a relation, a chimaera, or anything else that can be mentioned, is sure to be a term; and to deny that such and such a thing is a term must always be false" (Russell 1903:43)
"Among terms, it is possible to distinguish two kinds, which I shall call respectively things and concepts; the former are the terms indicated by proper names, the latter those indicated by all other words . Among concepts, again, two kinds at least must be distinguished, namely those indicated by adjectives and those indicated by verbs" (1903:44). "The former kind will often be called predicates or class concepts; the latter are always or almost always relations." (1903:44)
"I shall speak of the terms of a proposition as those terms, however numerous, which occur in a proposition and may be regarded as subjects about which the proposition is. It is a characteristic of the terms of a proposition that anyone of them may be replaced by any other entity without our ceasing to have a proposition. Thus we shall say that "Socrates is human" is a proposition having only one term; of the remaining component of the proposition, one is the verb, the other is a predicate . Predicates, then, are concepts, other than verbs, which occur in propositions having only one term or subject." (1903:45)
Suppose one were to point to an object and say: "This object in front of me named 'Emily' is a woman." This is a proposition, an assertion of the speaker's belief, which is to be tested against the "facts" of the outer world: "Minds do not create truth or falsehood. They create beliefs . what makes a belief true is a fact, and this fact does not (except in exceptional cases) in any way involve the mind of the person who has the belief" (1912:130). If by investigation of the utterance and correspondence with "fact", Russell discovers that Emily is a rabbit, then his utterance is considered "false"; if Emily is a female human (a female "featherless biped" as Russell likes to call humans, following Diogenes Laërtius's anecdote about Plato), then his utterance is considered "true". "The class, as opposed to the class concept, is the sum or conjunction of all the terms which have the given predicate" (1903 p. 55). Classes can be specified by extension (listing their members) or by intension, i. e. by a "propositional function" such as "x is a u" or "x is v". But "if we take extension pure, our class is defined by enumeration of its terms, and this method will not allow us to deal, as Symbolic Logic does, with infinite classes. Thus our classes must in general be regarded as objects denoted by concepts, and to this extent the point of view of intension is essential." (1909 p. 66)
"The characteristic of a class concept, as distinguished from terms in general, is that "x is a u" is a propositional function when, and only when, u is a class concept." (1903:56)
"71. Class may be defined either extensionally or intensionally. That is to say, we may define the kind of object which is a class, or the kind of concept which denotes a class: this is the precise meaning of the opposition of extension and intension in this connection. But although the general notion can be defined in this two fold manner, particular classes, except when they happen to be finite, can only be defined intensionally, i. e. as the objects denoted by such and such concepts. . logically; the extensional definition appears to be equally applicable to infinite classes, but practically, if we were to attempt it, Death would cut short our laudable endeavour before it had attained its goal. "(1903:69)