Введение

Обобщение гамма-распределения на многомерный случай

В статистике распределение Вишарта является обобщением гамма-распределения на многомерный случай. Оно названо в честь Джона Вишарта, который впервые сформулировал это распределение в 1928 году. Другие названия включают вишартовский ансамбль (в теории случайных матриц распределения вероятностей над матрицами обычно называют "ансамблями"), или вишартовско-Лагерровский ансамбль (поскольку распределение собственных значений связано с полиномами Лагерра), или LOE, LUE, LSE (по аналогии с GOE, GUE, GSE). Это семейство распределений вероятностей, определенных на симметричных, положительно определенных случайных матрицах (то есть случайных переменных, принимающих матричные значения). Эти распределения имеют большое значение при оценке матриц ковариации в многомерной статистике. В байесовской статистике распределение Вишарта является сопряжённым априорным распределением для обратной матрицы ковариации многомерного нормального случайного вектора.

Возникновение

Распределение Вишарта возникает как распределение матрицы ковариаций выборки для выборки из многомерного нормального распределения. Оно часто встречается в тестах отношения правдоподобия в многомерном статистическом анализе. Оно также возникает в спектральной теории случайных матриц и в многомерном байесовском анализе. Кроме того, оно используется в беспроводной связи при анализе характеристик каналов беспроводной связи MIMO с замираниями Рэлея.

Использование в байесовской статистике

В байесовской статистике, в контексте многомерного нормального распределения, распределение Вишарта является сопряжённым априорным распределением для матрицы точности, где Σ — матрица ковариаций.

Выбор параметров

Наименее информативный, корректный априорный распределение Вишарта получается при установке
Среднее априорное значение Wp(V, n) равно nV, что позволяет предположить, что разумным выбором для V будет n⁻¹Σ₀⁻¹, где Σ₀ – некоторая начальная оценка матрицы ковариации.

Энтропия

Информационная энтропия распределения имеет следующую формулу: Для правильной интерпретации этой формулы требуется некоторая осторожность, поскольку нецелые комплексные степени являются многозначными; когда n не является целым числом, необходимо определить правильную ветвь посредством аналитического продолжения.

Оценка многовариантного нормального распределения

Распределение Уишарта — это распределение выборки максимального правдоподобия (MLE) оценки ковариационной матрицы многомерного нормального распределения. Вывод MLE использует спектральную теорему.

Отношения с другими распределениями

Распределение Вишарта связано с обратным распределением Вишарта, обозначаемым , следующим образом: Если 'X' ~ Wp('V', n) и мы выполним замену переменных , то . Эта связь может быть выведена, заметив, что абсолютное значение определителя якобиана этой замены переменных равно , см., например, уравнение (15.15) в. В байесовской статистике распределение Вишарта является сопряженным априорным распределением для параметра точности многомерного нормального распределения, когда параметр среднего известен. Обобщением является многомерное гамма-распределение. Другим типом обобщения является нормальное распределение Вишарта, по сути являющееся произведением многомерного нормального распределения и распределения Вишарта.