Кіріспе

Гамма үлестірілімін көп өлшемділікке обобщау

Статистикада Вишарт үлестірілімі – гамма үлестірілімінің көп өлшемділікке обобщау түрі болып табылады. Ол 1928 жылы алғаш рет осы үлестіріліні жасаған Джон Вишарттың құрметіне аталған. Басқа атаулары: Вишарт жиынтығы (күрделі матрица теориясында матрицалар бойынша ықтималдық үлестірілімдерін әдетте "жиынтықтар" деп атайды), немесе Вишарт-Лагер жиынтығы (өйткені оның меншік мәндерінің үлестірілімі Лагер полиномдарын қамтиды), немесе LOE, LUE, LSE (GOE, GUE, GSE-ге ұқсас). Бұл симметриялық, оң анықталған кездейсоқ матрицалар бойынша анықталған ықтималдық үлестірілімдерінің отбасы (яғни матрицалық мәнді кездейсоқ айнымалылар). Бұл үлестірілімдер көпөлшемді статистикада ковариациялық матрицаларды бағалауда маңызды рөл атқарады. Байес статистикасында Вишарт үлестірілімі – көпөлшемді нормальді кездейсоқ вектордың кері ковариациялық матрицасының конъюгат алдынан шығарушысы болып табылады.

Пайда болуы

Вишарт үлестірімі көпөлшемді қалыпты үлестірімнен алынған үлгі үшін үлгілік ковариациялық матрицаның үлестірімі ретінде туындайды. Ол көпөлшемді статистикалық талдаудағы ықтималдық қатынасы сынақтарында жиі кездеседі. Сонымен қатар, ол кездейсоқ матрицалардың спектрлік теориясында және көпөлшемді Байес талдауында қолданылады. Бұған қоса, ол сымсыз байланыста, Rayleigh жоғалуы бар MIMO сымсыз каналдарының өнімділігін талдағанда да кездеседі.

Байес статистикасында қолдану

Байес статистикасында, көпөлшемді қалыпты үлестірім контекстінде, Вишарт үлестірімі – дәлдік матрицасының конъюгатты алдынғы үлестірімі, мұнда 'Σ' ковариациялық матрицаны білдіреді.

Параметрлерді таңдау

Ең аз ақпаратты, дұрыс Вишарт алдын ала таралуы Wp('V', n) үшін алдын ала орташаны орнату арқылы алынады, ол n'V'-ге тең, бұл 'V' үшін қолайлы таңдау n^(−1)'Σ'0^(−1) болар еді, мұнда 'Σ'0 – дисперсиялық матрицаға жасалған алдын ала болжам.

Энтропия

Таралудың ақпараттық энтропиясы мына формуламен сипатталады: Бұл формуланы дұрыс түсіну үшін сақтық қажет, себебі бүтін емес кешенді дәрежелер көпмәнді болады; n бүтін емес болған жағдайда, дұрыс тармақ аналитикалық жалғастыру арқылы анықталуы тиіс.

Көптүрлі қалыпты үлестірілімнің бағалаушысы

Вишарт үлестірімі – көпөлшемді қалыпты үлестірілімнің ковариациялық матрицасының ең жоғары ықтималдық бағалаушысының (МЖБ) іріктемелік үлестірімі. МЖБ-ның шығарылуы спектрлік теореманы пайдаланады.

Басқа үлестірулермен байланысы

Уишарт үлестірімі кері Уишарт үлестірімімен байланысты, ол арқылы белгіленеді: Егер 'X' ~ Wp('V', n) және егер айнымалыларды , деп алмастырсақ, онда . Бұл қатынасты осы айнымалылардың алмасуының Якобиандық детерминантының абсолюттік мәні , екенін ескере отырып шығаруға болады, мысалы, (15.15) теңдеуін қараңыз. Байес статистикасында Уишарт үлестірімі – орташа параметрі белгілі болғанда көпөлшемді қалыпты үлестірілімнің дәлдік параметрі үшін конъюгатты алдын ала үлестірілім болып табылады. Көпөлшемді гамма-үлестірілім – оның жалпылама түрі. Тағы бір жалпылама түрі – нормалды Уишарт үлестірілімі, ол көпөлшемді қалыпты үлестірілім мен Уишарт үлестірілімінің көбейтіндісінен тұрады.